Série Mercator - Mercator series - Wikipedia

Polynomiální aproximace na logaritmus s n = 1, 2, 3 a 10 v intervalu (0,2).

v matematika, Série Mercator nebo Série Newton – Mercator je Taylor série pro přirozený logaritmus:

${ displaystyle ln (1 + x) = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - { frac {x ^ { 4}} {4}} + cdots}$

v součtová notace,

${ displaystyle ln (1 + x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n}.}$

Série konverguje na přirozený logaritmus (posunutý o 1) kdykoli ${ displaystyle -1$ .

Dějiny

Série byla objevena nezávisle na sobě Nicholas Mercator a Isaac Newton. Poprvé to vydal Mercator ve svém pojednání z roku 1668 Logarithmotechnia.

Derivace

Série lze získat od Taylorova věta tím, že indukčně výpočet n^th derivát ${ displaystyle ln (x)}$ na ${ displaystyle x = 1}$ , začínání s

${ displaystyle { frac {d} {dx}} ln (x) = { frac {1} {x}}.}$

Alternativně lze začít s konečným geometrické řady (${ displaystyle t neq -1}$)

${ displaystyle 1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} = { frac {1 - (- t) ^ {n}} {1 + t}}}$

který dává

${ displaystyle { frac {1} {1 + t}} = 1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} + { frac {(-t) ^ { n}} {1 + t}}.}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} { frac {dt} {1 + t}} = int _ {0} ^ {x} vlevo (1-t + t ^ {2} - cdots + (- t) ^ {n-1} + { frac {(-t) ^ {n}} {1 + t}} vpravo) dt}$

a integrací termwise,

${ displaystyle ln (1 + x) = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots + (- 1) ^ {n-1} { frac {x ^ {n}} {n}} + (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {x} { frac {t ^ {n}} { 1 + t}} dt.}$

Li ${ displaystyle -1$ , zbývající člen má tendenci k 0 jako ${ displaystyle n to infty}$.

Tento výraz může být integrován iterativně k vícekrát výtěžek

${ displaystyle -xA_ {k} (x) + B_ {k} (x) ln (1 + x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} { frac {x ^ {n + k}} {n (n + 1) cdots (n + k)}},}$

kde

${ displaystyle A_ {k} (x) = { frac {1} {k!}} součet _ {m = 0} ^ {k} {k vybrat m} x ^ {m} součet _ {l = 1} ^ {km} { frac {(-x) ^ {l-1}} {l}}}$

a

${ displaystyle B_ {k} (x) = { frac {1} {k!}} (1 + x) ^ {k}}$

jsou polynomy v X.^[1]

Speciální případy

Nastavení ${ displaystyle x = 1}$ v řadě Mercator přináší střídavé harmonické řady

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} = ln (2).}$

Komplexní série

The komplex výkonová řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n}} = z + { frac {z ^ {2}} {2}} + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {4}} {4}} + cdots}$

je Taylor série pro ${ displaystyle - log (1-z)}$ , kde log označuje hlavní větev z komplexní logaritmus. Tato řada přesně konverguje pro všechna komplexní čísla ${ displaystyle | z | leq 1, z neq 1}$. Ve skutečnosti, jak je vidět z poměrový test, má to poloměr konvergence rovno 1, proto konverguje Absolutně na každém disk B(0, r) s poloměrem r <1. Navíc konverguje rovnoměrně na každém okusovaném disku ${ displaystyle scriptstyle { overline {B (0,1)}} setminus B (1, delta)}$, s δ > 0. Toto vyplývá najednou z algebraické identity:

${ displaystyle (1-z) součet _ {n = 1} ^ {m} { frac {z ^ {n}} {n}} = z- součet _ {n = 2} ^ {m} { frac {z ^ {n}} {n (n-1)}} - { frac {z ^ {m + 1}} {m}},}$

pozorujeme, že pravá strana je rovnoměrně konvergentní na celém uzavřeném disku jednotky.

Viz také

• John Craig

Reference

• Weisstein, Eric W. „Série Mercator“. MathWorld.
• Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, Strana 134, via Internetový archiv
• Eriksson, Larsson a Wahde. Matematisk analyzuje doposud, část 3. Gothenburg 2002. s. 10.
• Někteří současníci Descartes, Fermat, Pascal a Huygens z Krátký popis dějin matematiky (4. vydání, 1908) autorem W. W. Rouse Ball