Sériové zrychlení - Series acceleration

v matematika, sériové zrychlení je jednou ze sbírek sekvenční transformace pro zlepšení rychlost konvergence a série. Často se používají techniky sériového zrychlení numerická analýza, kde se používají ke zvýšení rychlosti numerická integrace. Lze také použít techniky zrychlení série, například k získání různých identit na speciální funkce. To znamená, že Eulerova transformace aplikován na hypergeometrická řada poskytuje některé z klasických známých identit hypergeometrické řady.

Definice

Vzhledem k tomu, sekvence

{ displaystyle S = {s_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}

mít limit

{ displaystyle lim _ {n to infty} s_ {n} = ell,}

zrychlená řada je druhá sekvence

{ displaystyle S '= {s' _ {n} } _ {n in mathbb {N}}}

který konverguje rychleji na ${ displaystyle ell}$ než původní sekvence v tom smyslu

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {s '_ {n} - ell} {s_ {n} - ell}} = 0.}

Pokud je původní sekvence odlišný, sekvenční transformace působí jako metoda extrapolace do antilimit ${ displaystyle ell}$ .

Mapování z původní do transformované řady může být lineární (jak je definováno v článku sekvenční transformace ), nebo nelineární. Obecně platí, že nelineární sekvenční transformace mají tendenci být silnější.

Přehled

Dvě klasické techniky pro sériové zrychlení jsou Eulerova transformace řady^[1] a Kummerova transformace série.^[2] Ve 20. století byla vyvinuta řada mnohem rychlejších konvergentních a speciálních nástrojů Richardsonova extrapolace, představil Lewis Fry Richardson na počátku 20. století, ale také známé a používané Katahiro Takebe v roce 1722; the Aitkenův delta-kvadratický proces, představil Alexander Aitken v roce 1926, ale také známý a používaný Takakazu Seki v 18. století; the metoda epsilon dána Peter Wynn v roce 1956; the Levinova u-transformace; a metoda Wilf-Zeilberger-Ekhad nebo Metoda WZ.

Pro střídavé řady několik výkonných technik, které nabízejí konvergenční poměry od ${ displaystyle 5.828 ^ {- n}}$ až do ${ displaystyle 17,93 ^ {- n}}$ pro součet ${ displaystyle n}$ termíny, popisuje Cohen et al..^[3]

Eulerova transformace

Základní příklad a lineární transformace sekvence, nabízející vylepšenou konvergenci, je Eulerova transformace. Je určen k použití na střídavou řadu; je to dáno

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac { Delta ^ {n} a_ {0}} {2 ^ {n + 1}}}}

kde ${ displaystyle Delta}$ je operátor dopředného rozdílu:

{ displaystyle Delta ^ {n} a_ {0} = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n zvolte k} a_ {n-k}.}

Pokud se původní série na levé straně sbližuje jen pomalu, přední rozdíly budou mít tendenci se poměrně rychle zmenšovat; přídavný výkon dvou dále zlepšuje rychlost, s jakou konverguje pravá strana.

Obzvláště efektivní numerická implementace Eulerovy transformace je van Wijngaardenova transformace.^[4]

Konformní mapování

Série

{ displaystyle S = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}}

lze zapsat jako f (1), kde je funkce f (z) definována jako

{ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n}}

Funkce f (z) může mít singularity v komplexní rovině (singularity větvicího bodu, póly nebo esenciální singularity), které omezují poloměr konvergence řady. Pokud je bod z = 1 blízko nebo na hranici disku konvergence, řada pro S bude konvergovat velmi pomalu. Jeden pak může zlepšit konvergenci řady pomocí konformního mapování, které posune singularity tak, že bod, který je mapován na z = 1, skončí hlouběji na novém disku konvergence.

Konformní transformace ${ displaystyle z = Phi (w)}$ je třeba zvolit tak, aby ${ displaystyle Phi (0) = 0}$ a obvykle si vybereme funkci, která má konečnou derivaci na w = 0. Lze to předpokládat ${ displaystyle Phi (1) = 1}$ aniž by došlo ke ztrátě obecnosti, protože je možné vždy změnit měřítko w, aby se předefinovalo ${ displaystyle Phi}$ . Poté zvážíme funkci

{ displaystyle g (w) = f left ( Phi (w) right)}

Od té doby ${ displaystyle Phi (1) = 1}$ , máme f (1) = g (1). Můžeme získat sériové rozšíření g (w) vložením ${ displaystyle z = Phi (w)}$ v sériové expanzi f (z), protože ${ displaystyle Phi (0) = 0}$ ; prvních n podmínek rozšíření řady pro f (z) přinese prvních n podmínek rozšíření řady pro g (w), pokud ${ displaystyle Phi '(0) neq 0}$ . Vložením w = 1 do této řady expanze tedy získá řadu takovou, že pokud konverguje, bude konvergovat na stejnou hodnotu jako původní řada.

Nelineární transformace sekvence

Příklady takových nelineárních sekvenčních transformací jsou Apostati Padé, Shanksova transformace, a Sekvenční transformace typu Levin.

Zejména nelineární sekvenční transformace často poskytují výkonné numerické metody pro součet z divergentní série nebo asymptotická série které vznikají například v teorie poruch, a mohou být použity jako vysoce účinné metody extrapolace.

Aitkenova metoda

Jednoduchá nelineární transformace sekvence je Aitkenova extrapolace nebo metoda delta-kvadrát,

{ displaystyle mathbb {A}: S to S '= mathbb {A} (S) = {(s' _ {n})} _ {n in mathbb {N}}}

definován

{ displaystyle s '_ {n} = s_ {n + 2} - { frac {(s_ {n + 2} -s_ {n + 1}) ^ {2}} {s_ {n + 2} -2s_ {n + 1} + s_ {n}}}.}

Tato transformace se běžně používá ke zlepšení rychlost konvergence pomalu konvergující sekvence; heuristicky vylučuje největší část absolutní chyba.

Viz také

Reference

^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 3, ekv. 3.6.27“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 3, ekv. 3.6.26“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.
^ Henri Cohen, Fernando Rodriguez Villegas a Don Zagier,"Konvergence zrychlení střídavé řady ", Experimentální matematika, 9: 1 (2000) strana 3.
^ William H. Press, et al., Numerické recepty v jazyce C.(1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Viz část 5.1).

C. Brezinski a M. Redivo Zaglia, Extrapolační metody. Teorie a praxe, Severní Holandsko, 1991.
G. A. Baker Jr. a P. Graves-Morris, Pádé přibližné, Cambridge UP, 1996.
Weisstein, Eric W. „Zlepšení konvergence“. MathWorld.
Herbert H. H. Homeier, Skalární sekvenční transformace typu Levin, Journal of Computational and Applied Mathematics, roč. 122, č. 1–2, s. 81 (2000). Homeier, H. H. H. (2000). "Skalární transformace sekvence typu Levin". Journal of Computational and Applied Mathematics. 122: 81. arXiv:matematika / 0005209. Bibcode:2000JCoAM.122 ... 81H. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00359-9., arXiv:matematika / 0005209.
Brezinski, C., & Redivo-Zaglia, M. (2019). Geneze a raný vývoj Aitkenova procesu, Shanksova transformace, ${ displaystyle epsilon}$ -algoritmus a související metody pevných bodů. Numerické algoritmy, 80 (1), 11-133.

externí odkazy

[1] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 3, ekv. 3.6.27“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.

[2] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 3, ekv. 3.6.26“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.

[3] Henri Cohen, Fernando Rodriguez Villegas a Don Zagier,"Konvergence zrychlení střídavé řady ", Experimentální matematika, 9: 1 (2000) strana 3.

[4] William H. Press, et al., Numerické recepty v jazyce C.(1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Viz část 5.1).

[1]

[2]

[3]

[4]