Cirkulární zákon - Circular law
v teorie pravděpodobnosti, konkrétněji studium náhodné matice, cirkulární zákon se týká distribuce vlastní čísla z n × n náhodná matice s nezávislé a identicky distribuované položky v limitun → ∞.
Tvrdí, že pro jakoukoli sekvenci náhodný n × n matice jejichž záznamy jsou nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné, vše s znamenat nula a rozptyl rovná 1/n, limitujícím spektrálním rozdělením je rovnoměrné rozdělení přes disk jednotky.
Přesné prohlášení
Nechat být posloupností n × n maticové soubory, jejichž záznamy jsou i.i.d. kopie složité náhodné proměnné X s znamenat 0 a rozptyl 1. Nechte označit vlastní čísla z . Definujte empirickou spektrální míru tak jako
S ohledem na tyto definice to cirkulární zákon tvrdí téměř jistě (tj. s pravděpodobností jedna), sled opatření konverguje v distribuci na jednotnou míru na disku jednotky.
Dějiny
Pro náhodné matice s Gaussovým rozdělením záznamů ( Soubory Ginibre), byl oběžní zákon zaveden v 60. letech 20. století Jean Ginibre.[1] V 80. letech představil Vyacheslav Girko[2] přístup, který umožnil stanovit zákon o oběhu pro obecnější distribuce. Bylo dosaženo dalšího pokroku[3] Zhidong Bai, který ustanovil kruhový zákon za určitých předpokladů hladkosti distribuce.
Předpoklady byly dále uvolněny v pracích Terence Tao a Van H. Vu,[4] Guangming Pan a Wang Zhou,[5] a Friedrich Götze a Alexander Tikhomirov.[6] A konečně, v roce 2010 se Tao a Vu prokázaly[7] cirkulární zákon za minimálních předpokladů uvedených výše.
Výsledek kruhového zákona byl v roce 1988 rozšířen Sommersem, Crisantim, Sompolinským a Steinem na eliptický zákon pro soubory matic s libovolnými korelacemi.[8] Eliptické a kruhové zákony dále zobecnili Aceituno, Rogers a Schomerus na hypotrochoidní zákon, který zahrnuje korelace vyšších řádů.[9]
Viz také
Reference
- ^ Ginibre, Jean (1965). "Statistické soubory komplexních, čtvercových a skutečných matic". J. Math. Phys. 6: 440–449. Bibcode:1965JMP ..... 6..440G. doi:10.1063/1.1704292. PAN 0173726.
- ^ Girko, V.L. (1984). „Kruhový zákon“. Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya. 29 (4): 669–679.
- ^ Bai, Z.D. (1997). „Cirkulární zákon“. Annals of Probability. 25 (1): 494–529. doi:10.1214 / aop / 1024404298. PAN 1428519.
- ^ Tao, T .; Vu, V.H. (2008). "Náhodné matice: kruhový zákon". Commun. Kontemp. Matematika. 10 (2): 261–307. arXiv:0708.2895. doi:10,1142 / s0219199708002788. PAN 2409368.
- ^ Pan, G .; Zhou, W. (2010). "Cirkulární zákon, extrémní singulární hodnoty a teorie potenciálu". J. Multivariační Anal. 101 (3): 645–656. arXiv:0705.3773. doi:10.1016 / j.jmva.2009.08.005.
- ^ Götze, F .; Tikhomirov, A. (2010). Msgstr "Kruhový zákon pro náhodné matice". Annals of Probability. 38 (4): 1444–1491. arXiv:0709.3995. doi:10.1214 / 09-aop522. PAN 2663633.
- ^ Tao, Terence; Vu, Van (2010). dodatek Manjunath Krishnapur. "Náhodné matice: Univerzálnost ESD a cirkulární zákon". Annals of Probability. 38 (5): 2023–2065. arXiv:0807.4898. doi:10.1214 / 10-AOP534. PAN 2722794.
- ^ Sommers, H.J .; Crisanti, A .; Sompolinsky, H .; Stein, Y. (1988). "Spektrum velkých asymetrických matic". Dopisy o fyzické kontrole. 60 (19): 1895–1898.
- ^ Aceituno, P.V .; Rogers, T .; Schomerus, H. (2019). "Univerzální hypotrochoidní zákon pro náhodné matice s cyklickými korelacemi". Fyzický přehled E. 100 (1): 010302.