Isserlisova věta - Isserlis theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Isserlisova věta nebo Wickova věta o pravděpodobnosti je vzorec, který umožňuje vypočítat momenty vyššího řádu vícerozměrné normální rozdělení pokud jde o jeho kovarianční matici. Je pojmenován po Leon Isserlis.

Tato věta je také zvláště důležitá v částicová fyzika, kde je znám jako Wickova věta po práci Wick (1950).^[1] Mezi další aplikace patří analýza návratnosti portfolia,^[2] kvantová teorie pole^[3] a generování barevného šumu.^[4]

Prohlášení

Li ${ displaystyle (X_ {1}, tečky, X_ {n})}$ je nulový průměr vícerozměrný normální náhodný vektor

kde součet přesahuje všechna párování ${ displaystyle {1, ldots, n }}$, tj. všechny odlišné způsoby rozdělení ${ displaystyle {1, ldots, n }}$ do dvojic ${ displaystyle {i, j }}$a produkt je přes páry obsažené v ${ displaystyle p}$.^[5][6]

Ve svém původním příspěvku^[7] Leon Isserlis dokazuje tuto větu matematickou indukcí a zobecňuje vzorec pro ${ displaystyle 4 ^ { text {th}}}$ objednat momenty,^[8] který má vzhled

${ displaystyle operatorname {E} [, X_ {1} X_ {2} X_ {3} X_ {4} ,] = operatorname {E} [X_ {1} X_ {2}] , operatorname {E} [X_ {3} X_ {4}] + operatorname {E} [X_ {1} X_ {3}] , operatorname {E} [X_ {2} X_ {4}] + operatorname { E} [X_ {1} X_ {4}] , operatorname {E} [X_ {2} X_ {3}].}$

Zvláštní případ, ${ displaystyle n in 2 mathbb {N} +1}$

Li ${ displaystyle n = 2m + 1}$ je liché, neexistuje žádné spárování ${ displaystyle {1, ldots, 2m + 1 }}$. Podle této hypotézy Isserlisova věta naznačuje, že:

Sudý případ, ${ displaystyle n in 2 mathbb {N}}$

Li ${ displaystyle n = 2 m}$ je dokonce, existují ${ displaystyle (2m)! / (2 ^ {m} m!) = (2m-1) !!}$ (vidět dvojitý faktoriál ) spárujte oddíly ${ displaystyle {1, ldots, 2m }}$: toto přináší ${ displaystyle (2m)! / (2 ^ {m} m!) = (2m-1) !!}$ podmínky v součtu. Například pro ${ displaystyle 4 ^ { text {th}}}$ objednávkové momenty (tj. ${ displaystyle 4}$ náhodné proměnné) existují tři termíny. Pro ${ displaystyle 6 ^ { text {th}}}$-objednejte si momenty ${ displaystyle 3 krát 5 = 15}$ podmínky a pro ${ displaystyle 8 ^ { text {th}}}$-objednejte si momenty ${ displaystyle 3 krát 5 krát 7 = 105}$ podmínky.

Zobecnění

Gaussova integrace po částech

Ekvivalentní formulace Wickova vzorce pravděpodobnosti je Gaussian integrace po částech. Li ${ displaystyle (X_ {1}, tečky X_ {n})}$ je nulový průměr vícerozměrný normální náhodný vektor

${ displaystyle operatorname {E} (X_ {1} f (X_ {1}, ldots, X_ {n})) = sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Cov} (X_ { 1} X_ {i}) operatorname {E} ( částečné _ {X_ {i}} f (X_ {1}, ldots, X_ {n}))}$.

Wickův vzorec pravděpodobnosti lze získat indukcí, s ohledem na funkci ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ definován: ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = x_ {2} ldots x_ {n}}$. Mimo jiné je tato formulace důležitá v Liouville konformní teorie pole získat konformní Wardovy identity, BPZ rovnice^[9] a dokázat Fyodorov-Bouchaudův vzorec.^[10]

Non-Gaussovy náhodné proměnné

U negaussovských náhodných proměnných jekumulanty vzorec^[11] nahradí vzorec pravděpodobnosti Wicka. Li ${ displaystyle (X_ {1}, tečky X_ {n})}$ je vektorem náhodné proměnné, pak

kde součet přesahuje všechny oddíly z ${ displaystyle {1, ldots, n }}$, produkt je přes bloky ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle kappa { big (} (X_ {i}) _ {i in b} { big)}}$ je kumulanty z ${ displaystyle (X_ {i}) _ {i v b}}$.

Viz také

• Wickova věta
• Kumulanty
• Normální distribuce

Reference

Další čtení

• Koopmans, Lambert G. (1974). Spektrální analýza časových řad. San Diego, CA: Akademický tisk.