Selbergův integrál - Selberg integral
V matematice Selbergův integrál je zobecněním Funkce Euler beta na n rozměry zavedené Atle Selberg (1944 ).
Selbergův integrální vzorec
Selbergův vzorec naznačuje Dixonova identita pro dobře připravené hypergeometrické řady a některé speciální případy Dysonova domněnka.
Aomotův integrální vzorec
Aomoto (1987) se ukázal o něco obecnější integrální vzorec:
Mehta je integrální
Mehtaův integrál je
Je to funkce rozdělení pro plyn bodových nábojů pohybujících se po vedení, které jsou přitahovány k počátku (Mehta 2004 ). Jeho hodnotu lze odvodit z hodnoty Selbergova integrálu a je
To předpokládal Mehta & Dyson (1963), kteří nevěděli o Selbergově dřívější práci.
Macdonaldův integrál
Macdonald (1982) předpokládal následující rozšíření Mehtaova integrálu do všech konečných kořenových systémů, Mehta původní případ odpovídá An−1 kořenový systém.
Produkt je přes kořeny r kořenového systému a čísel dj jsou stupně generátorů prstenu invariantů reflexní skupiny. Opdam (1989) poskytl jednotný důkaz pro všechny krystalografické reflexní skupiny. O několik let později to dokázal v plné obecnosti (Opdam (1993) ), s využitím výpočtů podporovaných počítačem od Garvana.
Reference
- Andrews, George E.; Askey, Richarde; Roy, Ranjan (1999), Speciální funkceEncyklopedie matematiky a její aplikace, 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62321-6, PAN 1688958 (Kapitola 8)
- Aomoto, K (1987), „O komplexním Selbergově integrálu“, Quarterly Journal of Mathematics, 38 (4): 385–399, doi:10.1093 / qmath / 38.4.385
- Forrester, Peter J .; Warnaar, S. Ole (2008), „Význam Selbergova integrálu“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 45 (4): 489–534, arXiv:0710.3981, doi:10.1090 / S0273-0979-08-01221-4
- Macdonald, I. G. (1982), „Některé dohady o kořenových systémech“, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 13 (6): 988–1007, doi:10.1137/0513070, ISSN 0036-1410, PAN 0674768
- Mehta, Madan Lal (2004), Náhodné maticeČistá a aplikovaná matematika (Amsterdam), 142 (3. vyd.), Elsevier / Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, PAN 2129906
- Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. (1963), „Statistická teorie energetických hladin komplexních systémů. V“, Journal of Mathematical Physics, 4 (5): 713–719, Bibcode:1963JMP ..... 4..713M, doi:10.1063/1.1704009, ISSN 0022-2488, PAN 0151232
- Opdam, E.M. (1989), „Některé aplikace operátorů hypergeometrického posunu“, Vymyslet. Matematika., 98 (1): 275–282, Bibcode:1989InMat..98 .... 1O, doi:10.1007 / BF01388841, PAN 1010152
- Opdam, E.M. (1993), „Dunkl operátoři, Besselovy funkce a diskriminátor konečné skupiny Coxeterů“, Compositio Mathematica, 85 (3): 333–373, PAN 1214452, Zbl 0778.33009
- Selberg, Atle (1944), „Poznámky k vícenásobnému integrálu“, Norsk Mat. Tidsskr., 26: 71–78, PAN 0018287