Sférickost - Sphericity - Wikipedia

Schematické znázornění rozdílu ve tvaru zrna. Jsou zobrazeny dva parametry: sférická (vertikální) a zaokrouhlování (horizontální).

Sférickost je měřítkem toho, jak blízko se tvar objektu podobá dokonalému koule. Například sférický tvar koule uvnitř a kuličkové ložisko určuje kvalitní ložiska, jako je zatížení, které unese, nebo rychlost, kterou se může otáčet, aniž by došlo k poruše. Sféricita je konkrétním příkladem a míra kompaktnosti tvaru. Definováno Wadellem v roce 1935,^[1] sférickost, ${ displaystyle Psi}$, částice je poměr plocha povrchu koule se stejným objemem jako daná částice na plochu povrchu částice:

${ displaystyle Psi = { frac { pi ^ { frac {1} {3}} (6V_ {p}) ^ { frac {2} {3}}} {A_ {p}}}}$

kde ${ displaystyle V_ {p}}$ je objem částice a ${ displaystyle A_ {p}}$ je povrchová plocha částice. Kulovitost koule je jednota podle definice a podle izoperimetrická nerovnost, jakákoli částice, která není koulí, bude mít sférickost menší než 1.

Platí sférickost tři rozměry; jeho analog v dva rozměry, tak jako průřez kruhy podél a válcovitý objekt jako a hřídel, je nazýván kulatost.

Elipsoidní objekty

Sférickost, ${ displaystyle Psi}$, z zploštělý sféroid (podobný tvaru planety Země ) je:

${ displaystyle Psi = { frac { pi ^ { frac {1} {3}} (6V_ {p}) ^ { frac {2} {3}}} {A_ {p}}} = { frac {2 { sqrt [{3}] {ab ^ {2}}}} {a + { frac {b ^ {2}} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} } ln { left ({ frac {a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} {b}} right)}}},}$

kde A a b jsou poloviční a semi-menší os.

Derivace

Hakon Wadell definoval sférickost jako povrch koule o stejném objemu jako částice dělený skutečným povrchem částice.

Nejprve musíme zapsat povrch koule, ${ displaystyle A_ {s}}$ z hlediska objemu částice, ${ displaystyle V_ {p}}$

${ displaystyle A_ {s} ^ {3} = vlevo (4 pi r ^ {2} vpravo) ^ {3} = 4 ^ {3} pi ^ {3} r ^ {6} = 4 pi left (4 ^ {2} pi ^ {2} r ^ {6} right) = 4 pi cdot 3 ^ {2} left ({ frac {4 ^ {2} pi ^ { 2}} {3 ^ {2}}} r ^ {6} right) = 36 pi left ({ frac {4 pi} {3}} r ^ {3} right) ^ {2} = 36 , pi V_ {p} ^ {2}}$

proto

${ displaystyle A_ {s} = vlevo (36 , pi V_ {p} ^ {2} vpravo) ^ { frac {1} {3}} = 36 ^ { frac {1} {3} } pi ^ { frac {1} {3}} V_ {p} ^ { frac {2} {3}} = 6 ^ { frac {2} {3}} pi ^ { frac {1 } {3}} V_ {p} ^ { frac {2} {3}} = pi ^ { frac {1} {3}} vlevo (6V_ {p} vpravo) ^ { frac {2 } {3}}}$

tedy definujeme ${ displaystyle Psi}$ tak jako:

${ displaystyle Psi = { frac {A_ {s}} {A_ {p}}} = { frac { pi ^ { frac {1} {3}} vlevo (6V_ {p} vpravo) ^ { frac {2} {3}}} {A_ {p}}}}$

Kulovitost běžných předmětů

název	Obrázek	Objem	Plocha povrchu	Sférickost
Platonické pevné látky
čtyřstěn		${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {12}} , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle { sqrt {3}} , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle left ({ frac { pi} {6 { sqrt {3}}}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,671}$
krychle (šestihran)		${ displaystyle , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle 6 , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle left ({ frac { pi} {6}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,806}$
osmistěn		${ displaystyle { frac {1} {3}} { sqrt {2}} , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle 2 { sqrt {3}} , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle left ({ frac { pi} {3 { sqrt {3}}}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,846}$
dvanáctistěn		${ displaystyle { frac {1} {4}} vlevo (15 + 7 { sqrt {5}} vpravo) , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle 3 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle left ({ frac { left (15 + 7 { sqrt {5}} right) ^ {2} pi} {12 left (25 + 10 { sqrt {5}} right ) ^ { frac {3} {2}}}} vpravo) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,910}$
dvacetistěnu		${ displaystyle { frac {5} {12}} vlevo (3 + { sqrt {5}} vpravo) , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle 5 { sqrt {3}} , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle left ({ frac { left (3 + { sqrt {5}} right) ^ {2} pi} {60 { sqrt {3}}}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,939}$
Kulaté tvary
ideál kužel ${ displaystyle (h = 2 { sqrt {2}} r)}$		${ displaystyle { frac {1} {3}} pi , r ^ {2} h}$ ${ displaystyle = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}} pi , r ^ {3}}$	${ displaystyle pi , r (r + { sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$ ${ displaystyle = 4 pi , r ^ {2}}$	${ displaystyle left ({ frac {1} {2}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,794}$
polokoule (poloviční koule)		${ displaystyle { frac {2} {3}} pi , r ^ {3}}$	${ displaystyle 3 pi , r ^ {2}}$	${ displaystyle left ({ frac {16} {27}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,840}$
ideál válec ${ displaystyle (h = 2 , r)}$		${ displaystyle pi r ^ {2} h = 2 pi , r ^ {3}}$	${ displaystyle 2 pi r (r + h) = 6 pi , r ^ {2}}$	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,874}$
ideál torus ${ displaystyle (R = r)}$		${ displaystyle 2 pi ^ {2} Rr ^ {2} = 2 pi ^ {2} , r ^ {3}}$	${ displaystyle 4 pi ^ {2} Rr = 4 pi ^ {2} , r ^ {2}}$	${ displaystyle left ({ frac {9} {4 pi}} right) ^ { frac {1} {3}} přibližně 0,894}$
koule		${ displaystyle { frac {4} {3}} pi r ^ {3}}$	${ displaystyle 4 pi , r ^ {2}}$	${ displaystyle 1 ,}$
Jiné tvary
kosočtverečný triacontahedron		${ displaystyle 4 { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} , s ^ ​​{3}}$	${ displaystyle 12 { sqrt {5}} , s ^ ​​{2}}$	${ displaystyle { frac { pi ^ { frac {1} {3}} vlevo (24 { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} , s ^ ​​{3} vpravo) ^ { frac {2} {3}}} {12 { sqrt {5}} , s ^ ​​{2}}} přibližně 0,9609}$
disdyakis triacontahedron		${ displaystyle { frac {180} {11}} { sqrt {179-24 { sqrt {5}}}}}$	${ displaystyle { frac {180} {11}} vlevo (5 + 4 { sqrt {5}} vpravo)}$	${ displaystyle { frac { left ( left (5 + 4 { sqrt {5}} right) ^ {2} { frac {11 pi} {5}} right) ^ { frac { 1} {3}}} { sqrt {179-24 { sqrt {5}}}}} přibližně 0,9857}$

Viz také

• Ekvivalentní sférický průměr
• Zploštění
• Index kulovitosti
• Izoperimetrický poměr
• Zaokrouhlení (sediment)
• Energie Willmore

Reference

externí odkazy

• Morfologie obilí: Kulatost, povrchové vlastnosti a kulovitost zrn