Rod (matematika) - Genus (mathematics) - Wikipedia

Povrch rodu-2

v matematika, rod (množný rody) má několik různých, ale úzce souvisejících významů. Nejběžnější pojem, rod (orientovatelný ) povrch, je počet „děr“, které má, takže a koule má rod 0 a torus má rod 1. Toto je zpřesněno níže.

Topologie

Orientovatelné povrchy

Šálek kávy a kobliha zobrazené v této animaci mají rod jeden.

The rod a připojeno, orientovatelný povrch je celé číslo představující maximální počet řízků podél neprotínajících se uzavřené jednoduché křivky bez vykreslení výslednice potrubí odpojen.^[1] Rovná se počtu rukojeti na to. Alternativně to může být definováno z hlediska Eulerova charakteristika χprostřednictvím vztahu χ = 2 − 2G pro uzavřené povrchy, kde G je rod. Pro povrchy s b hranice komponent, přečte rovnice χ = 2 − 2G − b. Laicky řečeno, je to počet „děr“, které má objekt („díry“ interpretované ve smyslu koblihových děr; za dutou kouli se v tomto smyslu považuje nulová díra). Kobliha nebo torus má 1 takový otvor, zatímco koule má 0. Zelený povrch na obrázku výše má 2 otvory příslušného druhu.

Například:

The koule S² a a disk oba mají rod nula.
A torus má rod jedna, stejně jako povrch hrnečku na kávu s rukojetí. To je zdroj vtipu „topologové jsou lidé, kteří nedokáží rozeznat koblihu z hrnku na kávu.“

Explicitní konstrukce povrchů rodu G je uveden v článku o základní polygon.

Rod orientovatelných povrchů
rod 0
rod 1
rod 2
rod 3

Jednoduše řečeno, hodnota rodu orientovatelného povrchu se rovná počtu „děr“, které má.^[2]

Neorientovatelné povrchy

The neorientovatelný rod, demigenusnebo Rod Euler připojeného, neorientovatelného uzavřeného povrchu je kladné celé číslo představující počet křížky připojeno k a koule. Alternativně jej lze definovat pro uzavřený povrch z hlediska Eulerovy charakteristiky χ, prostřednictvím vztahu χ = 2 - k, kde k je neorientovatelný rod.

Například:

A skutečná projektivní rovina má neorientovatelný rodový rod.
A Kleinova láhev má neorientovatelný rod dva.

Uzel

The rod a uzel K. je definován jako minimální rod všech Seifertovy povrchy pro K..^[3] Seifertův povrch uzlu je však a potrubí s hranicí, přičemž hranicí je uzel, tj. homomorfní k jednotkové kružnici. Rod takového povrchu je definován jako rod dvojitého potrubí, který je získán lepením jednotkového disku podél hranice.

Řídítka

The rod trojrozměrného řídítka je celé číslo představující maximální počet řízků podél vloženého disky aniž by došlo k odpojení výsledného potrubí. Rovná se počtu úchytů na něm.

Například:

A míč má rod nula.
Pevný torus D² × S¹ má rod jeden.

Teorie grafů

The rod a graf je minimální celé číslo n takže graf lze nakreslit bez křížení na kouli s n rukojeti (tj. orientovaný povrch rodu n). Tak, a rovinný graf má rod 0, protože ho lze nakreslit na kouli bez samokřížení.

The neorientovatelný rod a graf je minimální celé číslo n takže graf lze nakreslit bez křížení na kouli s n křížky (tj. neorientovatelný povrch (neorientovatelného) rodu) n). (Toto číslo se také nazývá demigenus.)

The Rod Euler je minimální celé číslo n tak, že graf lze nakreslit bez křížení na kouli s n křížky nebo na kouli s n / 2 rukojeti.^[4]

v teorie topologických grafů existuje několik definic rodu a skupina. Arthur T. White představil následující koncept. Rod skupiny G je minimální rod a (spojený, neorientovaný) Cayleyův graf pro G.

The problém s rodem grafů je NP-kompletní.^[5]

Algebraická geometrie

Existují dvě související definice rod jakékoli projektivní algebraiky systém X: aritmetický rod a geometrický rod.^[6] Když X je algebraická křivka s pole definice komplexní čísla, a pokud X nemá žádný singulární body, pak tyto definice souhlasí a shodují se s topologickou definicí aplikovanou na Riemannův povrch z X (své potrubí komplexních bodů). Například definice eliptická křivka z algebraická geometrie je spojená nesingulární projektivní křivka rodu 1 s danou racionální bod na to.

Podle Riemann-Rochova věta, neredukovatelná rovinná křivka stupně ${ displaystyle d}$ dané úběžníkem části ${ displaystyle s in Gamma ( mathbb {P} ^ {2}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (d))}$ má geometrický rod

{ displaystyle g = { frac {(d-1) (d-2)} {2}} - s,}

kde s je počet singularit, když jsou správně spočítány.

Biologie

Rod lze také vypočítat pro graf překlenutý sítí chemických interakcí v nukleových kyselinách nebo proteinech. Zejména lze studovat růst rodu podél řetězce. Taková funkce (nazývaná stopa rodu) ukazuje topologickou složitost a strukturu domény biomolekul.^[7]

Viz také

Reference

^ Munkres, James R. Topologie. Sv. 2. Horní sedlo: Prentice Hall, 2000.
^ "Rod".
^ Adams, Colin (2004), Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3678-1CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Grafy na plochách.
^ Thomassen, Carsten (1989). "Problém rodu grafů je NP-úplný". Journal of Algorithms. 10 (4): 568–576. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774. Zbl 0689.68071.
^ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topologické metody v algebraické geometrii. Klasika z matematiky. Překlad z němčiny a dodatek jedna R. L. E. Schwarzenbergera. Dodatek dva od A. Borela (Dotisk 2., opravný tisk 3. vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.
^ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I .; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe lenost; Geary, Cody; Zając, Sebastian (03.12.2018). „Rodová stopa odhaluje topologickou složitost a doménovou strukturu biomolekul“. Vědecké zprávy. 8 (1): 17537. doi:10.1038 / s41598-018-35557-3. ISSN 2045-2322. PMC 6277428. PMID 30510290.

Tento článek obsahuje seznam souvisejících položek, které mají stejný název (nebo podobné názvy).
Pokud interní odkaz nesprávně vás sem přivedl, možná budete chtít změnit odkaz tak, aby odkazoval přímo na zamýšlený článek.

[1] Munkres, James R. Topologie. Sv. 2. Horní sedlo: Prentice Hall, 2000.

[2] "Rod".

[3] Adams, Colin (2004), Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3678-1CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[4] Grafy na plochách.

[5] Thomassen, Carsten (1989). "Problém rodu grafů je NP-úplný". Journal of Algorithms. 10 (4): 568–576. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774. Zbl 0689.68071.

[6] Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topologické metody v algebraické geometrii. Klasika z matematiky. Překlad z němčiny a dodatek jedna R. L. E. Schwarzenbergera. Dodatek dva od A. Borela (Dotisk 2., opravný tisk 3. vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.

[7] Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I .; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe lenost; Geary, Cody; Zając, Sebastian (03.12.2018). „Rodová stopa odhaluje topologickou složitost a doménovou strukturu biomolekul“. Vědecké zprávy. 8 (1): 17537. doi:10.1038 / s41598-018-35557-3. ISSN 2045-2322. PMC 6277428. PMID 30510290.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]