Symmetrohedron - Symmetrohedron

Symmetrohedron I (*; 2; 3; e) má pravidelné pětiúhelníky a šestiúhelníky a lichoběžníkové mezery.

Symmetrohedron s pyritohedrální symetrie, objednávka 24

v geometrie, a symetrohedron je vysoká symetrie mnohostěn obsahující konvexní pravidelný mnohostěn na osách symetrie s mezerami na konvexní obal vyplněné nepravidelnými mnohostěnami. Název vytvořil Craig S. Kaplan a George W. Hart.^[1]

Triviální případy jsou Platonické pevné látky, Archimédovy pevné látky se všemi běžnými polygony. První třída se nazývá motýlek které obsahují páry lichoběžníkový tváře. Druhá třída má papírový drak tváře. Jmenuje se další třída LCM symetrohedra.

Symbolická notace

Každý symetrohedron je popsán symbolickým výrazem G (l; m; n; α). G představuje skupinu symetrie (T, O, I). Hodnoty l, ma an jsou multiplikátory; multiplikátor m způsobí, že pravidelný km-gon bude umístěn na každou k-násobnou osu G. V notaci se předpokládá, že stupně os budou seřazeny v sestupném pořadí, 5,3,2 pro I, 4,3 , 2 pro O a 3,3,2 pro T. Povolujeme také dvě speciální hodnoty pro multiplikátory: *, což znamená, že na dané osy by neměly být umístěny žádné polygony, a 0, což znamená, že konečné těleso musí mít na osách vrchol (polygon s nulovou stranou). Vyžadujeme, aby jedna nebo dvě z l, ma an byla kladná celá čísla. Poslední parametr, α, řídí relativní velikosti nedegenerovaných osových gonů.

Conwayova mnohostěnová notace je další způsob, jak popsat tyto mnohostěny, počínaje běžným formulářem a použitím operátorů předpony. Zápis neznamená, které tváře by měly být pravidelné nad rámec jednotných řešení Archimédovy pevné látky.

1-bod generátoru

Tyto symetrohedry jsou produkovány jediným bodem generátoru v základních doménách, reflexní symetrií přes hranice domén. Okraje existují kolmo na každou hranici trojúhelníku a pravidelné plochy existují na střed v každém ze 3 rohů trojúhelníku.

Symetrohedra může být rozšířena na euklidovské obklady pomocí symetrie pravidelného čtvercové obklady a dvojice párů trojúhelníkový a šestihranné obklady. Obklady, Q je čtvercová symetrie p4m, H je šestihranná symetrie p6m.

Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy pro ně existují jednotný mnohostěn řešení, představující polohu bodu generátoru v základní doméně. Každý uzel představuje jedno ze 3 zrcadel na okraji trojúhelníku. Zrcadlový uzel je vyzváněn, pokud je bod generátoru aktivní, mimo zrcadlo a vytváří nové hrany mezi bodem a jeho zrcadlovým obrazem.

Doména	Hrany	Čtyřboká (3 3 2)		Osmistěn (4 3 2)		Icosahedral (5 3 2)		Trojúhelníkový (6 3 2)			Čtverec (4 4 2)
		Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Dvojí	Symbol	obraz	Dvojí
	1	T (1; *; *; e) T,		C, O (1; *; *; e)		I (1; *; *; e) D,		H (1; *; *; e) H,			Q (1; *; *; e) Q,
	1	T (*; 1; *; e) dT,		O (*; 1; *; e) Ó,		I (*; 1; *; e) Já,		H (*; 1; *; e) dH,			Q (*; 1; *; e) dQ,
	2	T (1; 1; *; e) v,		O (1; 1; *; e) AC,		I (1; 1; *; e) inzerát,		H (1; 1; *; e) aH,			Q (1; 1; *; e) aQ,
	3	T (2; 1; *; e) tT,		O (2; 1; *; e) tC,		I (2; 1; *; e) tD,		H (2; 1; *; e) tH,			Q (2; 1; *; e) tQ,
	3	T (1; 2; *; e) dtT,		O (1; 2; *; e) na,		I (1; 2; *; e) tI,		H (1; 2; *; e) dtH,			Q (1; 2; *; e) dtQ,
	4	T (1; 1; *; 1) eT,		O (1; 1; *; 1) eC,		I (1; 1; *; 1) eD,		H (1; 1; *; 1) eH,			Q (1; 1; *; 1) ekv,
	6	T (2; 2; *; e) bT,		O (2; 2; *; e) před naším letopočtem,		I (2; 2; *; e) bD,		H (2; 2; *; e) bH,			Q (2; 2; *; e) bQ,

2-generátorové body

Doména	Hrany	Čtyřboká (3 3 2)		Osmistěn (4 3 2)		Icosahedral (5 3 2)		Trojúhelníkový (6 3 2)			Čtverec (4 4 2)
		Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Dvojí	Symbol	obraz	Dvojí
	6	T (1; 2; *; [2]) atT		O (1; 2; *; [2]) atO		I (1; 2; *; [2]) atI		H (1; 2; *; [2]) atΔ			Q (1; 2; *; [2]) Q (2; 1; *; [2]) atQ
	6			O (2; 1; *; [2]) atC		I (2; 1; *; [2]) atD		H (2; 1; *; [2]) atH
	7	T (3; *; *; [2]) T (*; 3; *; [2]) dKdT		O (3; *; *; [2]) dKdC		I (3; *; *; [2]) dKdD		H (3; *; *; [2]) dKdH			Q (3; *; *; [2]) Q (*; 3; *; [2]) dKQ
	7			O (*; 3; *; [2]) dKdO		I (*; 3; *; [2]) dKdI		H (*; 3; *; [2]) dKdΔ
	8	T (2; 3; *; α) T (3; 2; *; α) dM0T		O (2; 3; *; a) dM0dělat		I (2; 3; *; α) dM0dI		H (2; 3; *; a) dM0dΔ			Q (2; 3; *; α) Q (3; 2; *; α) dM0Q
	8			O (3; 2; *; a) dM0DC		I (3; 2; *; α) dM0dD		H (3; 2; *; a) dM0dH
	9	T (2; 4; *; e) T (4; 2; *; e) ttT		O (2; 4; *; e) ttO		I (2; 4; *; e) ttI		H (2; 4; *; e) ttΔ			Q (4; 2; *; e) Q (2; 4; *; e) ttQ
	9			O (4; 2; *; e) ttC		I (4; 2; *; e) ttD		H (4; 2; *; e) ttH
	7	T (2; 1; *; 1) T (1; 2; *; 1) dM3T		O (1; 2; *; 1) dM3Ó		I (1; 2; *; 1) dM3Já		H (1; 2; *; 1) dM3Δ			Q (2; 1; *; 1) Q (1; 2; *; 1) dM3dQ
	7			O (2; 1; *; 1) dM3C		I (2; 1; *; 1) dM3D		H (2; 1; *; 1) dM3H
	9	T (2; 3; *; e) T (3; 2; *; e) dm3T		O (2; 3; *; e) dm3C		I (2; 3; *; e) dm3D		H (2; 3; *; e) dm3H			Q (2; 3; *; e) Q (3; 2; *; e) dm3Q
	9			O (3; 2; *; e) dm3Ó		I (3; 2; *; e) dm3Já		H (3; 2; *; e) dm3Δ
	10	T (2; *; 3; e) T (*; 2; 3; e) dXdT 3.4.6.6		O (*; 2; 3; e) dXdO		I (*; 2; 3; e) dXdI		H (*; 2; 3; e) dXdΔ			Q (2; *; 3; e) Q (*; 2; 3; e) dXdQ
	10			O (2; *; 3; e) dXdC 3.4.6.8		I (2; *; 3; e) dXdD 3.4.6.10		H (2; *; 3; e) dXdH 3.4.6.12

3-generátorové body

Doména	Hrany	Čtyřboká (3 3 2)		Osmistěn (4 3 2)		Icosahedral (5 3 2)		Trojúhelníkový (6 3 2)			Čtverec (4 4 2)
		Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Symbol	obraz	Dvojí	Symbol	obraz	Dvojí
	6	T (2; 0; *; [1])		O (0; 2; *; [1]) dL0dělat		I (0; 2; *; [1]) dL0dI		H (0; 2; *; [1]) dL0H			Q (2; 0; *; [1]) Q (0; 2; *; [1]) dL0dQ
	6			O (2; 0; *; [1]) dL0DC		I (2; 0; *; [1]) dL0dD		H (2; 0; *; [1]) dL0Δ
	7	T (3; 0; *; [2])		O (0; 3; *; [2]) dLdO		I (0; 3; *; [2]) dLdI		H (0; 3; *; [2]) dLH			Q (2; 0; *; [1]) Q (0; 2; *; [2]) dLQ
	7			O (3; 0; *; [2]) dLdC		I (3; 0; *; [2]) dLdD		H (3; 0; *; [2]) dLΔ
	12	T (2; 2; *; a) amT		O (2; 2; *; a) amC		I (2; 2; *; a) dop		H (2; 2; *; a) amH			Q (2; 2; *; a) amQ

Viz také

• Johnson téměř solidní
• Conwayova mnohostěnová notace

Reference

externí odkazy

• Symmetrohedra
• Antiprism Svobodný software, který zahrnuje Symmetro pro generování a prohlížení těchto mnohostěn s notací Kaplan-Hart.