Kleetope - Kleetope - Wikipedia

v geometrie a polyedrická kombinatorika, Kleetope a mnohostěn nebo vyšší dimenze konvexní mnohostěn P je další mnohostěn nebo mnohostěn P^K. vytvořen jejich nahrazením aspekt z P s mělkým pyramida.^[1] Kleetopy jsou pojmenovány po Victor Klee.^[2]

Příklady

The triakis čtyřstěn je Kleetope a čtyřstěn, triakis octahedron je Kleetope z osmistěn a triakis icosahedron je Kleetope z dvacetistěnu. V každém z těchto případů je Kleetope vytvořen přidáním trojúhelníkové pyramidy na každou stranu původního mnohostěnu. Conway zevšeobecňuje Kepler je kis předpona stejná operátor kis.

Kleetopy z Platonické pevné látky

triakis čtyřstěn Kleetope of čtyřstěn.

tetrakis hexahedron Kleetope of krychle.

triakis octahedron Kleetope of osmistěn.

pentakis dodecahedron Kleetope of dvanáctistěn.

triakis icosahedron Kleetope of dvacetistěnu.

The tetrakis hexahedron je Kleetope of the krychle, vytvořený přidáním čtvercové pyramidy na každou z jejích tváří a pentakis dodecahedron je Kleetope of the dvanáctistěn, vytvořený přidáním pětiúhelníkové pyramidy na každou stranu dodecahedronu.

Některé další konvexní Kleetopy

disdyakis dodecahedron Kleetope of kosočtverečný dvanáctistěn.

disdyakis triacontahedron Kleetope of kosočtverečný triacontahedron.

tripentakis icosidodecahedron Kleetope of icosidodecahedron.

Bipyramidy, jako je tento pětiúhelníkový bipyramid, lze považovat za Kleetope jejich příslušných dihedra.

Základní mnohostěn Kleetope nemusí být a Platonická pevná látka. Například disdyakis dodecahedron je Kleetope of the kosočtverečný dvanáctistěn, vytvořený jejich nahrazením kosočtverec tvář dodekaedru kosočtvercovou pyramidou a disdyakis triacontahedron je Kleetope of the kosočtverečný triacontahedron. Ve skutečnosti základní mnohostěn Kleetope nemusí být Přechodný obličej, jak je vidět z tripentakis icosidodecahedron výše.

The Goldner – Hararyův graf může být reprezentován jako graf vrcholů a hran Kleetope z trojúhelníkový bipyramid.

Některé nekonvexní Kleetopy založené na Kepler-Poinsotovy pevné látky

malý stellapentakis dodecahedron Kleetope of malý hvězdný dvanáctistěn.

velký stellapentakis dodecahedron Kleetope of velký hvězdný dvanáctistěn.

velký pentakis dodecahedron Kleetope of velký dvanáctistěn.

velký triakis icosahedron Kleetope of velký dvacetistěn.

Definice

Jeden způsob formování Kleetope polytopu P je umístit nový vrchol ven P, blízko těžiště každého aspektu. Pokud jsou všechny tyto nové vrcholy umístěny dostatečně blízko odpovídajícím centroidům, pak pouze jejich další vrcholy, které budou viditelné, budou vrcholy fazet, ze kterých jsou definovány. V tomto případě Kleetope of P je konvexní obal spojení vrcholů P a množina nových vrcholů.^[3]

Alternativně může být Kleetope definován dualita a jeho duální provoz, zkrácení: Kleetope of P je duální mnohostěn o zkrácení duálu z P.

Vlastnosti a aplikace

Li P má dostatek vrcholů vzhledem ke své dimenzi, potom Kleetope of P je rozměrově jednoznačné: graf tvořený jeho hranami a vrcholy není grafem jiného mnohostěnu nebo mnohoúhelníku s jinou dimenzí. Přesněji řečeno, pokud je počet vrcholů a d-dimenzionální polytop P je alespoň d²/2, pak P^K. je rozměrově jednoznačný.^[4]

Pokud každý i-rozměrná tvář a d-dimenzionální polytop P je simplexní, a pokud i ≤ d − 2, pak každý (i + 1)-rozměrná tvář P^K. je také simplexní. Zejména Kleetope jakéhokoli trojrozměrného mnohostěnu je a zjednodušený mnohostěn, mnohostěn, ve kterém jsou všechny fazety trojúhelníky.

Kleetopy mohou být použity ke generování mnohostěnů, které žádné nemají Hamiltonovské cykly: jakákoli cesta jedním z vrcholů přidaných v konstrukci Kleetope musí jít dovnitř a ven z vrcholu přes jeho sousedy v původním mnohostěnu, a pokud existuje více nových vrcholů než původních vrcholů, není dostatek sousedů k obcházení. Zejména Goldner – Hararyův graf, Kleetope trojúhelníkového bipyramidu, má v konstrukci Kleetope přidáno šest vrcholů a pouze pět v bipyramidu, ze kterého byl vytvořen, takže není hamiltonovský; je to nejjednodušší možný nehamiltonovský zjednodušený mnohostěn.^[5] Pokud mnohostěn s n vrcholy se tvoří opakováním konstrukce Kleetope několikrát, počínaje čtyřstěnem, pak jeho nejdelší cesta má délku Ó(n^{log₃ 2}); toto je exponent krátkosti těchto grafů je log₃ 2, přibližně 0,630930. Stejná technika to ukazuje v jakékoli vyšší dimenzidexistují jednoduché polytopy s exponentem krátkosti log_d 2.^[6] Podobně, Plummer (1992) použil konstrukci Kleetope k poskytnutí nekonečné rodiny příkladů zjednodušených mnohostěnů se sudým počtem vrcholů, které nemají perfektní shoda.

Kleetopy mají také některé extrémní vlastnosti související s jejich stupně vrcholů: pokud každá hrana v a rovinný graf je incident na nejméně sedmi dalších okrajích, pak musí existovat vrchol stupně nejvýše pěti, přičemž všichni, kromě jednoho, jehož sousedé mají stupeň 20 nebo více, a Kleetope of the Kleetope of the icosahedron provides an example in which the high-degree vrcholy mají stupeň přesně 20.^[7]

Poznámky

Reference

• Jendro'l, Stanislav; Madaras, Tomáš (2005), „Poznámka k existenci vrcholů malého stupně s maximálně jedním sousedem velkého stupně v rovinných grafech“, Matematické publikace o Tatrách, 30: 149–153, PAN  2190255.
• Goldner, A .; Harary, F. (1975), „Poznámka k nejmenšímu nehamiltoniánskému maximálnímu rovinnému grafu“, Býk. Malajská matematika. Soc., 6 (1): 41–42. Viz také stejný deník 6(2): 33 (1975) a 8: 104-106 (1977). Odkaz od seznam Hararyho publikací.
• Grünbaum, Branko (1963), "Jednoznačné mnohostěnné grafy", Israel Journal of Mathematics, 1 (4): 235–238, doi:10.1007 / BF02759726, PAN  0185506, S2CID  121075042.
• Grünbaum, Branko (1967), Konvexní Polytopes, Wiley Interscience.
• Moon, J. W .; Moser, L. (1963), "Jednoduché cesty na mnohostěně", Pacific Journal of Mathematics, 13 (2): 629–631, doi:10,2140 / pjm.1963.13.629, PAN  0154276.
• Plummer, Michael D. (1992), „Rozšíření shody v rovinných grafech IV“, Diskrétní matematika, 109 (1–3): 207–219, doi:10.1016 / 0012-365X (92) 90292-N, PAN  1192384.