Zkosení (geometrie) - Chamfer (geometry)
v geometrie, srážení hran nebo zkrácení okraje je topologický operátor, který upravuje jeden mnohostěn na jiný. Je to podobné jako expanze, pohybující se tváře od sebe a ven, ale také udržuje původní vrcholy. U mnohostěnů tato operace přidá novou šestihrannou plochu na místo každé původní hrany.
v Conwayova mnohostěnová notace je to reprezentováno písmenem C. Mnohostěn s E hrany budou mít zkosený tvar obsahující 2E nové vrcholy, 3E nové hrany a E nové šestihranné tváře.
Zkosené platonické pevné látky
V kapitolách pod zkosením pěti Platonické pevné látky jsou podrobně popsány. Každý z nich je zobrazen ve verzi se stejnými okraji a v kanonické verzi, kde se všechny hrany dotýkají stejně midsphere. (Zřetelně se liší pouze u těles obsahujících trojúhelníky.) Na obrázku duální jsou dvojí vůči kanonickým verzím.
Semínko | ![]() ![]() {3,3} | ![]() {4,3} | ![]() {3,4} | ![]() {5,3} | ![]() {3,5} |
---|---|---|---|---|---|
Zkosený | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Zkosený čtyřstěn
Zkosený čtyřstěn | |
---|---|
![]() (se stejnou délkou hrany) | |
Conwayova notace | cT |
Goldbergův mnohostěn | GPIII(2,0) = {3+,3}2,0 |
Tváře | 4 trojúhelníky 6 šestiúhelníky |
Hrany | 24 (2 typy) |
Vrcholy | 16 (2 typy) |
Konfigurace vrcholů | (12) 3.6.6 (4) 6.6.6 |
Skupina symetrie | Čtyřboká (Td) |
Duální mnohostěn | Alternativní triakis tetratetrahedron |
Vlastnosti | konvexní, rovnostranný - tváří v tvář |
![]() síť |
The zkosený čtyřstěn (nebo alternativní zkrácená kostka) je konvexní mnohostěn konstruován jako střídavě zkrácená kostka nebo zkosení operace na čtyřstěnu, nahrazení jeho 6 hran šestiúhelníky.
To je Goldbergův mnohostěn GIII(2,0), obsahující trojúhelníkové a šestihranné plochy.

![]() zkosený čtyřstěn (kanonický) | ![]() duální tetratetrahedron | ![]() zkosený čtyřstěn (kanonický) |
![]() alternativní triakis tetratetrahedron | ![]() tetratetrahedron | ![]() alternativní triakis tetratetrahedron |
Zkosená kostka
Zkosená kostka | |
---|---|
![]() (se stejnou délkou hrany) | |
Conwayova notace | cC = t4daC |
Goldbergův mnohostěn | GPIV(2,0) = {4+,3}2,0 |
Tváře | 6 čtverce 12 šestiúhelníky |
Hrany | 48 (2 typy) |
Vrcholy | 32 (2 typy) |
Konfigurace vrcholů | (24) 4.6.6 (8) 6.6.6 |
Symetrie | Óh, [4,3], (*432) Th, [4,3+], (3*2) |
Duální mnohostěn | Tetrakis cuboctahedron |
Vlastnosti | konvexní, rovnostranný - tváří v tvář |
![]() síť |
The zkosená kostka je konvexní mnohostěn s 32 vrcholy, 48 hranami a 18 plochami: 12 šestiúhelníků a 6 čtverců. Je konstruován jako zkosení a krychle. Čtverce jsou zmenšeny a místo všech původních hran jsou přidány nové šestihranné plochy. Jeho duální je tetrakis cuboctahedron.
Také se nepřesně nazývá a zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn, ačkoli tento název spíše naznačuje a kosočtverec. Přesněji jej lze nazvat a čtyřstěnný kosočtverečný dvanáctistěn protože jsou zkráceny pouze vrcholy řádu 4.
Šestihranné tváře jsou rovnostranný ale ne pravidelný. Jsou tvořeny komolým kosočtvercem, mají 2 vnitřní úhly asi 109,47 ° a 4 vnitřní úhly asi 125,26 °, zatímco běžný šestiúhelník by měl všech 120 ° úhlů.
Protože všechny jeho tváře mají sudý počet stran se symetrií rotace o 180 °, je to a zonohedron. Je to také Goldbergův mnohostěn GPIV(2,0) nebo {4 +, 3}2,0, obsahující čtvercové a šestihranné tváře.
The zkosená kostka je Minkowského součet kosočtverečného dvanáctistěnu a krychle o délce strany 1, když je osm vrcholů kosočtverečného dvanáctistěnu a jeho šest vrcholů je na permutacích .
A topologické ekvivalent s pyritohedrální symetrie a obdélníkové plochy lze zkonstruovat zkosením axiálních hran a pyritohedron. K tomu dochází v pyrit krystaly.
Pyritohedron a jeho zkrácení osy | Historické krystalografické modely |

![]() zkosená kostka (kanonická) | ![]() kosočtverečný dvanáctistěn | ![]() zkosený osmistěn (kanonický) |
![]() tetrakis cuboctahedron | ![]() cuboctahedron | ![]() triakis cuboctahedron |
Zkosený osmistěn
Zkosený osmistěn | |
---|---|
![]() (se stejnou délkou hrany) | |
Conwayova notace | cO = t3daO |
Tváře | 8 trojúhelníky 12 šestiúhelníky |
Hrany | 48 (2 typy) |
Vrcholy | 30 (2 typy) |
Konfigurace vrcholů | (24) 3.6.6 (6) 6.6.6 |
Symetrie | Óh, [4,3], (*432) |
Duální mnohostěn | Triakis cuboctahedron |
Vlastnosti | konvexní |
v geometrie, zkosený osmistěn je konvexní mnohostěn postavena z kosočtverečný dvanáctistěn podle zkrácení 8 vrcholů (pořadí 3).
Může se také nazývat a tritrunovaný kosočtverečný dvanáctistěn, zkrácení vrcholů řádu 3 kosočtverečný dvanáctistěn.
8 vrcholů je zkráceno tak, aby všechny hrany byly stejně dlouhé. Původní 12 kosočtverečný tváře se stávají zploštělými šestiúhelníky a zkrácené vrcholy se stávají trojúhelníky.
Šestihranné tváře jsou rovnostranný ale ne pravidelný.

Zkosený dvanáctistěn
Zkosený dvanáctistěn | |
---|---|
![]() (se stejnou délkou hrany) | |
Conwayova notace | cD] = t5daD = dk5aD |
Goldbergův mnohostěn | GPROTI(2,0) = {5+,3}2,0 |
Fulleren | C80[1] |
Tváře | 12 pětiúhelníky 30 šestiúhelníky |
Hrany | 120 (2 typy) |
Vrcholy | 80 (2 typy) |
Konfigurace vrcholů | (60) 5.6.6 (20) 6.6.6 |
Skupina symetrie | Icosahedral (Jáh) |
Duální mnohostěn | Pentakis icosidodecahedron |
Vlastnosti | konvexní, rovnostranný - tváří v tvář |
The zkosený dvanáctistěn je konvexní mnohostěn s 80 vrcholy, 120 hranami a 42 plochami: 30 šestiúhelníků a 12 pětiúhelníků. Je konstruován jako zkosení a pravidelný dvanáctistěn. Pětiúhelníky jsou zmenšeny a na místo všech původních hran jsou přidány nové šestihranné plochy. Jeho duální je pentakis icosidodecahedron.
Také se nepřesně nazývá a zkrácený kosočtverečný triacontahedron, ačkoli tento název spíše naznačuje a rhombicosidodecahedron. Přesněji jej lze nazvat a pětimístný kosočtverečný triacontahedron protože jsou zkráceny pouze vrcholy řádu 5.

![]() zkosený dvanáctistěn (kanonický) | ![]() kosočtverečný triacontahedron | ![]() zkosený dvacetistěn (kanonický) |
![]() pentakis icosidodecahedron | ![]() icosidodecahedron | ![]() triakis icosidodecahedron |
Zkosený dvacetistěn
Zkosený dvacetistěn | |
---|---|
![]() (se stejnou délkou hrany) | |
Conwayova notace | cI = t3daI |
Tváře | 20 trojúhelníky 30 šestiúhelníky |
Hrany | 120 (2 typy) |
Vrcholy | 72 (2 typy) |
Konfigurace vrcholů | (24) 3.6.6 (12) 6.6.6 |
Symetrie | Jáh, [5,3], (*532) |
Duální mnohostěn | triakis icosidodecahedron |
Vlastnosti | konvexní |
v geometrie, zkosený dvacetistěn je konvexní mnohostěn postavena z kosočtverečný triacontahedron podle zkrácení 20 vrcholů řádu 3. Lze vyrobit šestihranné plochy rovnostranný ale ne pravidelný.
Může se také nazývat a tritruncated kosočtverečný triacontahedron, zkrácení vrcholů řádu 3 kosočtverečný triacontahedron.
Zkosené pravidelné obklady
![]() Čtvercové obklady, Q {4,4} | ![]() Trojúhelníkový obklad, Δ {3,6} | ![]() Šestihranný obklad, H {6,3} | ![]() Kosočtverec, daH dr {6,3} |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
cQ | cΔ | cH | cdaH |
Vztah k Goldbergově mnohostěně
Operace zkosení použitá v sérii vytváří postupně větší mnohostěn s novými šestihrannými plochami nahrazujícími hrany z předchozího. Operátor zkosení transformuje GP (m, n) na GP (2m, 2n).
Pravidelný mnohostěn, GP (1,0), vytvoří a Goldbergova mnohostěna sekvence: GP (1,0), GP (2,0), GP (4,0), GP (8,0), GP (16,0) ...
GP (1,0) | GP (2,0) | GP (4,0) | GP (8,0) | GP (16,0) ... | |
---|---|---|---|---|---|
GPIV {4+,3} | ![]() C | ![]() cC | ![]() ccC | ![]() cccC | |
GPPROTI {5+,3} | ![]() D | ![]() CD | ![]() ccD | ![]() cccD | ![]() ccccD |
GPVI {6+,3} | ![]() H | ![]() cH | ![]() ccH | cccH | ccccH |
The zkrácený osmistěn nebo zkrácený dvacetistěn, GP (1,1) vytváří Goldbergovu sekvenci: GP (1,1), GP (2,2), GP (4,4), GP (8,8) ....
GP (1,1) | GP (2,2) | GP (4,4) ... | |
---|---|---|---|
GPIV {4+,3} | ![]() na | ![]() ctO | ![]() cctO |
GPPROTI {5+,3} | ![]() tI | ![]() ctI | ![]() cctI |
GPVI {6+,3} | ![]() tH | ![]() ctH | cctH |
A zkrácen tetrakis hexahedron nebo pentakis dodecahedron, GP (3,0), vytváří Goldbergovu sekvenci: GP (3,0), GP (6,0), GP (12,0) ...
GP (3,0) | GP (6,0) | GP (12,0) ... | |
---|---|---|---|
GPIV {4+,3} | ![]() tkC | ![]() ctkC | cctkC |
GPPROTI {5+,3} | ![]() tkD | ![]() ctkD | cctkD |
GPVI {6+,3} | ![]() tkH | ![]() ctkH | cctkH |
Zkosené polytopy a voštiny
Stejně jako operace rozšíření lze zkosení použít na libovolnou dimenzi. U polygonů ztrojnásobuje počet vrcholů. U polychory se kolem původních okrajů vytvářejí nové buňky. Buňky jsou hranoly, které obsahují dvě kopie původní tváře, s pyramidami rozšířenými na boky hranolu.
Viz také
Reference
- ^ "Izomery C80". Archivovány od originál dne 12. 8. 2014. Citováno 2014-08-09.
- Goldberg, Michael (1937). „Třída vícesymetrických mnohostěnů“. Matematický deník Tohoku. 43: 104–108.
- Joseph D. Clinton, Clintonova domněnka rovného středního úhlu [1]
- Hart, Georgi (2012). „Goldbergova mnohostěna“. v Senechal, Marjorie (vyd.). Tvarování prostoru (2. vyd.). Springer. str.125 –138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
- Hart, Georgi (18. června 2013). „Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra“. Simons Science News.
- Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullereny a koordinační mnohostěny versus vložení poloviny krychle, 1998 PDF [2] (str. 72 obr. 26. zkosený čtyřstěn)
- Deza, A .; Deza, M.; Grishukhin, V. (1998), „Fullereny a koordinační mnohostěny versus vložení poloviny krychle“, Diskrétní matematika, 192 (1): 41–80, doi:10.1016 / S0012-365X (98) 00065-X, archivovány z originál dne 06.02.2007.
externí odkazy
- Zkosený čtyřstěn
- Zkosené tělesa
- Zkrácení vrcholů a hran platónských a archimédských těles vedoucích k vrcholům přechodných mnohostěnů Livio Zefiro
- VRML polyedrický generátor (Conwayova mnohostěnová notace )
- VRML Modelka Zkosená kostka
- 3.2.7. Systematické číslování pro (C80-Ih) [5,6] fulleren
- Fulleren C80
- Jak vyrobit zkosenou kostku