Zákon kotangensů - Law of cotangents

Trojúhelník, ukazující „incircle“ a rozdělení stran. Úhlové osy se setkávají na stimulant, který je středem incircle.

Z výše uvedeného důvodu je všech šest částí zobrazeno.

v trigonometrie, zákon kotangens^[1] je vztah mezi délkami stran trojúhelníku a kotangensy polovin tří úhlů.

Stejně jako tři veličiny, jejichž rovnost vyjadřuje sinusový zákon se rovnají průměru opsaná kružnice trojúhelníku (nebo na jeho vzájemnost, podle toho, jak je vyjádřen zákon), takže i zákon kotangensů souvisí s poloměrem vepsaný kruh a trojúhelník (dále jen inradius ) do stran a úhlů.

Prohlášení

Používáme obvyklé notace pro trojúhelník (viz obrázek vpravo nahoře), kde $A$ , $b$ , $C$ jsou délky tří stran, $A$ , $B$ , $C$ jsou vrcholy naproti těmto třem příslušným stranám, $α$ , $β$ , $y$ jsou odpovídající úhly v těchto vrcholech, $s$ je poloobvod, tj. $s = A + b + C / 2$ , a $r$ je poloměr vepsané kružnice, zákon o kotangens tvrdí, že

{ displaystyle { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right)} {sa}} = { frac { cot left ({ tfrac { beta} {2 }} right)} {sb}} = { frac { cot left ({ tfrac { gamma} {2}} right)} {sc}} = { frac {1} {r}} ,}

a dále, že inradius je dán

{ displaystyle r = { sqrt { frac {(s-a) (s-b) (s-c)} {s}}} ,.}

Důkaz

Na horním obrázku body tečnosti incircle se stranami trojúhelníku rozdělují obvod na 6 segmentů, ve 3 párech. V každé dvojici jsou segmenty stejně dlouhé. Například 2 segmenty sousedící s vrcholem $A$ jsou rovny. Pokud vybereme jeden segment z každé dvojice, jejich součet bude semiperimetr $s$ . Příkladem toho jsou segmenty zobrazené na obrázku barevně. Dva segmenty tvořící červenou čáru se sčítají $A$ , takže modrý segment musí mít délku $s - A$ . Je zřejmé, že dalších pět segmentů musí mít také délky $s - A$ , $s - b$ nebo $s - C$ , jak je znázorněno na dolním obrázku.

Prohlédnutím obrázku pomocí definice kotangensové funkce máme

{ displaystyle cot left ({ frac { alpha} {2}} right) = { frac {s-a} {r}} ,}

a podobně pro ostatní dva úhly, což dokazuje první tvrzení.

U druhého - inradiusového vzorce - vycházíme z obecný sčítací vzorec:

{ displaystyle postýlka (u + v + w) = { frac { postýlka u + postýlka v + postýlka w- postýlka u postýlka v postýlka w} {1- postýlka u postýlka v- postýlka v postýlka w- postýlka w postýlka u}}.}

Přihlašování k $dětská postýlka (α / 2 + β / 2 + y / 2) = dětská postýlka π / 2 = 0$ , získáváme:

{ displaystyle cot left ({ frac { alpha} {2}} right) cot left ({ frac { beta} {2}} right) cot left ({ frac { gamma} {2}} right) = cot left ({ frac { alpha} {2}} right) + cot left ({ frac { beta} {2}} right) + cot left ({ frac { gamma} {2}} right).}

(To je také trojitá kotangensová identita )

Dosazením hodnot získaných v první části získáme:

{ displaystyle { frac {(sa)} {r}} { frac {(sb)} {r}} { frac {(sc)} {r}} = { frac {sa} {r}} + { frac {sb} {r}} + { frac {sc} {r}} = { frac {3s-2s} {r}} = { frac {s} {r}}.}

Násobení $r 3 / s$ dává hodnotu $r 2$ , což dokazuje druhé tvrzení.

Některé důkazy využívající zákon kotangensů

Ze zákona kotangensů lze odvodit řadu dalších výsledků.

Heronův vzorec. Všimněte si, že oblast trojúhelníku $ABC$ je také rozdělena na 6 menších trojúhelníků, také ve 3 párech, přičemž trojúhelníky v každé dvojici mají stejnou plochu. Například dva trojúhelníky blízko vrcholu $A$ , jsou pravé trojúhelníky šířky $s - A$ a výška $r$ , každý má plochu $1 / 2 r (s - A)$ . Takže tyto dva trojúhelníky mají plochu o $r (s - A)$ a oblast $S$ celého trojúhelníku je tedy

{ displaystyle { begin {zarovnáno} S & = r (sa) + r (sb) + r (sc) = r { bigl (} 3s- (a + b + c) { bigr)} = r (3 s -2 s) = rs [8 bodů] konec {zarovnáno}}}

To dává výsledek

S = \sqrt s (s - A)(s - b)(s - C)

podle potřeby.

Mollweideův první vzorec. Z sčítacího vzorce a zákona kotangensů máme

{ displaystyle { frac { sin left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right)} { sin left ({ tfrac { alpha} {2}} + { tfrac { beta} {2}} vpravo)}} = { frac { cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) - cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right)} { cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) + cot left ({ tfrac { alpha } {2}} vpravo)}} = { frac {ab} {2s-ab}}.}

To dává výsledek

{ displaystyle { dfrac {ab} {c}} = { dfrac { sin vlevo ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} vpravo)} { cos left ({ tfrac { gamma} {2}} right)}}}

podle potřeby.

Mollweideův druhý vzorec. Z sčítacího vzorce a zákona kotangensů, které máme

{ displaystyle { begin {aligned} & { frac { cos left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right)} { cos left ({ tfrac { alpha} {2}} + { tfrac { beta} {2}} right)}} = { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2} } right) cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) +1} { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right) cot left ({ tfrac { beta} {2}} vpravo) -1}} [6pt] = {} & { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right ) + cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) +2 cot left ({ tfrac { gamma} {2}} right)} { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right) + cot left ({ tfrac { beta} {2}} right)}} = { frac {4s-ab-2c} {2s-ab }}. end {zarovnáno}}}

Zde je zapotřebí další krok k transformaci produktu na součet podle vzorce součet / produkt.

To dává výsledek

{ displaystyle { dfrac {b + a} {c}} = { dfrac { cos vlevo ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} vpravo )} { sin left ({ tfrac { gamma} {2}} right)}}}

podle potřeby.

The zákon tečen lze z toho také odvodit (Silvester 2001, str. 99).

Viz také

Reference

^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, strana 530. Anglická verze George Allen a Unwin, 1964. Přeloženo z německé verze Meyers Rechenduden, 1960.

Silvester, John R. (2001). Geometrie: starověká a moderní. Oxford University Press. p. 313. ISBN 9780198508250.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[1] The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, strana 530. Anglická verze George Allen a Unwin, 1964. Přeloženo z německé verze Meyers Rechenduden, 1960.

[1]