Zákon tečen - Law of tangents

Trigonometrie |
---|
![]() |
Odkaz |
Zákony a věty |
Počet |
v trigonometrie, zákon tečen[1] je prohlášení o vztahu mezi tečnami dvou úhlů a trojúhelník a délky protilehlých stran.
Na obrázku 1 A, b, a C jsou délky tří stran trojúhelníku a α, β, a y jsou úhly naproti tyto tři příslušné strany. Zákon z tečny tvrdí, že
Zákon tečen, i když ne tak běžně známý jako sinusový zákon nebo zákon kosinů, je ekvivalentní zákonu sinusů a lze jej použít v každém případě, kdy jsou známy dvě strany a zahrnutý úhel nebo dva úhly a strana.
Důkaz
K prokázání zákonitosti tečen lze začít s sinusový zákon:
Nechat
aby
Z toho vyplývá, že
Za použití trigonometrická identita, faktorový vzorec konkrétně pro sinusy
dostaneme
Jako alternativu k použití identity pro součet nebo rozdíl dvou sinusů lze uvést trigonometrickou identitu
(vidět tangensový polohranný vzorec ).
aplikace
Zákon tečen lze použít k výpočtu chybějící strany a úhlů trojúhelníku, ve kterém jsou dvě strany A a b a uzavřený úhel y jsou uvedeny. Z
lze vypočítat α − β; dohromady s α + β = 180° − y toto přináší α a β; zbývající strana C pak lze vypočítat pomocí sinusový zákon. V době, kdy byly k dispozici elektronické kalkulačky, byla tato metoda výhodnější než aplikace zákon kosinů C = √A2 + b2 − 2ab cos y, protože tento druhý zákon vyžadoval další vyhledávání v a logaritmická tabulka, abychom mohli vypočítat druhou odmocninu. V moderní době může být zákon tečen lepší numerické vlastnosti než zákon kosinů: Pokud y je malý a A a b jsou téměř stejné, pak aplikace zákona kosinusů vede k odečtení téměř stejných hodnot, což znamená a ztráta významných číslic.
Sférická verze
Na kouli o poloměru jednotky jsou strany trojúhelníku oblouky velké kruhy. V souladu s tím mohou být jejich délky vyjádřeny v radiánech nebo v jiných jednotkách úhlové míry. Nechat A, B, C být úhly na třech vrcholech trojúhelníku a nechat A, b, C být příslušné délky protilehlých stran. Sférický zákon tečen říká[2]
Dějiny
Zákon tečen pro sférické trojúhelníky popsal ve 13. století Perský matematik Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), který ve své pětisvazkové práci také představil zákon sinusů pro rovinné trojúhelníky Pojednání o čtyřúhelníku.[3][4]
Viz také
- Zákon sinusů
- Zákon kosinů
- Zákon kotangensů
- Mollweidův vzorec
- Poloviční formule
- Tečný poloviční úhel vzorec
Poznámky
- ^ Vidět Eli Maor, Trigonometrické rozkoše, Princeton University Press, 2002.
- ^ Daniel Zwillinger, Standardní matematické tabulky a vzorce CRC, 32. vydání, CRC Press, 2011, strana 219.
- ^ Marie-Thérèse Debarnot (1996). "Trigonometrie". V Rushdī Rāshid, Régis Morelon (ed.). Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2. Routledge. str. 182. ISBN 0-415-12411-5.
- ^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). "Trigonometrie". V C. E. Bosworth, M. S. Asimov (ed.). Dějiny civilizací ve Střední Asii, svazek 4, část 2. Motilal Banarsidass. str. 190. ISBN 81-208-1596-3.