Diferenciace trigonometrických funkcí - Differentiation of trigonometric functions

Funkce	Derivát
${displaystyle sin (x)}$	${displaystyle cos (x)}$
${displaystyle cos (x)}$	${displaystyle -sin (x)}$
${displaystyle an (x)}$	${displaystyle sec ^ {2} (x)}$
${displaystyle postýlka (x)}$	${displaystyle -csc ^ {2} (x)}$
${displaystyle sec (x)}$	${displaystyle sec (x) an (x)}$
${displaystyle csc (x)}$	${displaystyle -csc (x) postýlka (x)}$
${displaystyle arcsin (x)}$	${displaystyle {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${displaystyle arccos (x)}$	${displaystyle - {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${displaystyle arctan (x)}$	${displaystyle {frac {1} {x ^ {2} +1}}}$
${displaystyle operatorname {arccot} (x)}$	${displaystyle - {frac {1} {x ^ {2} +1}}}$
${displaystyle operatorname {arcsec} (x)}$	${displaystyle {frac {1} {\| x \| {sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$
${displaystyle operatorname {arccsc} (x)}$	${displaystyle - {frac {1} {\| x \| {sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

The diferenciace trigonometrických funkcí je matematický proces hledání derivát a trigonometrická funkce nebo jeho rychlost změny vzhledem k proměnné. Například derivace sinusové funkce se píše sin ′ (A) = cos (A), což znamená, že rychlost změny hříchu (X) pod určitým úhlem x = a je dán kosinusem tohoto úhlu.

Všechny deriváty kruhových trigonometrických funkcí lze najít od derivací hříchu (X) a cos (X) prostřednictvím pravidlo kvocientu aplikován na funkce, jako je opálení (X) = hřích (X) / cos (X). Znát tyto deriváty, deriváty inverzní trigonometrické funkce jsou nalezeny pomocí implicitní diferenciace.

Důkazy derivátů trigonometrických funkcí

Mez hříchu (θ) / θ, protože θ má tendenci k 0

Kruh, střed Ó, poloměr 1

Diagram vpravo ukazuje kruh se středem Ó a poloměr r = 1. Nechte dva poloměry OA a OB vytvořte oblouk θ radiánů. Protože uvažujeme o limitu jako θ má sklon k nule, můžeme předpokládat θ je malé kladné číslo, řekněme 0 <θ <½ π v prvním kvadrantu.

V diagramu nechte R₁ být trojúhelník OAB, R₂ the kruhový sektor OAB, a R₃ trojúhelník OAC. The plocha trojúhelníku OAB je:

{displaystyle mathrm {Area} (R_ {1}) = {frac {1} {2}} | OA | | OB | sin heta = {frac {1} {2}} sin heta,.}

The oblast kruhového sektoru OAB je ${displaystyle mathrm {Area} (R_ {2}) = {frac {1} {2}} heta}$ , zatímco plocha trojúhelníku OAC darováno

{displaystyle mathrm {Area} (R_ {3}) = {frac {1} {2}} | OA | | AC | = {frac {1} {2}} heta,.}

Jelikož každá oblast je obsažena v další, jedna má:

{displaystyle {ext {Area}} (R_ {1}) <{ext {Area}} (R_ {2}) <{ext {Area}} (R_ {3}) iff {frac {1} {2}} sin heta <{frac {1} {2}} heta <{frac {1} {2}} heta,.}

Navíc od té doby hřích θ > 0 v prvním kvadrantu můžeme rozdělit na ½ hřích θ, dávat:

{displaystyle 1 <{frac {heta} {sin heta}} <{frac {1} {cos heta}} znamená 1> {frac {sin heta} {heta}}> cos heta,.}

V posledním kroku jsme vzali převrácené hodnoty ze tří pozitivních podmínek a obrátili nerovnosti.

Squeeze: Křivky y = 1 a y = cos θ křivka je zobrazena červeně y = hřích (θ)/θ zobrazeno modře.

Dospěli jsme k závěru, že pro 0 <θ <½ π je to veličina hřích(θ)/θ je vždy méně než 1 a vždy větší než cos (θ). Tak, jak θ přiblíží se k 0, hřích(θ)/θ je "vymačkané "mezi stropem ve výšce 1 a podlahou ve výšce cos θ, který stoupá k 1; proto hřích (θ)/θ musí mít tendenci k 1 jako θ má tendenci k 0 z pozitivní strany:

${displaystyle lim _ {heta o 0 ^ {+}} {frac {sin heta} {heta}} = 1 ,.}$

Pro případ, kdy θ je malé záporné číslo –½ π <θ <0, použijeme skutečnost, že sine je lichá funkce:

{displaystyle lim _ {heta o 0 ^ {-}}! {frac {sin heta} {heta}} = lim _ {heta o 0 ^ {+}}! {frac {sin (- heta)} {- heta} } = lim _ {heta o 0 ^ {+}}! {frac {-sin heta} {- heta}} = lim _ {heta o 0 ^ {+}}! {frac {sin heta} {heta}} = 1 ,.}

Limit (cos (θ) -1) / θ jako θ má sklon k 0

Poslední část nám umožňuje relativně snadno vypočítat tento nový limit. Toho se dosahuje použitím jednoduchého triku. V tomto výpočtu znaménko θ je nedůležité.

{displaystyle lim _ {heta o 0}, {frac {cos heta -1} {heta}} = lim _ {heta o 0} left ({frac {cos heta -1} {heta}} ight) !! left ( {frac {cos heta +1} {cos heta +1}} ight) = lim _ {heta o 0}, {frac {cos ^ {2}! heta -1} {heta, (protože heta +1)}}.}

Použitím cos²θ - 1 = –sin²θ,skutečnost, že limit produktu je produktem limitů a limit vyplývá z předchozí části, zjistíme, že:

{displaystyle lim _ {heta o 0}, {frac {cos heta -1} {heta}} = lim _ {heta o 0}, {frac {-sin ^ {2} heta} {heta (cos heta +1) }} = left (-lim _ {heta o 0} {frac {sin heta} {heta}} ight)! left (lim _ {heta o 0}, {frac {sin heta} {cos heta +1}} ight ) = (-1) left ({frac {0} {2}} ight) = 0 ,.}

Limit tan (θ) / θ, protože θ má tendenci k 0

Použití limitu pro sinus funkce, skutečnost, že funkce tangenty je lichá, a skutečnost, že limit produktu je součinem limitů, najdeme:

{displaystyle lim _ {heta o 0} {frac {an heta} {heta}} = left (lim _ {heta o 0} {frac {sin heta} {heta}} ight)! left (lim _ {heta o 0 } {frac {1} {cos heta}} ight) = (1) (1) = 1 ,.}

Derivace sinusové funkce

Vypočítáme derivaci sinusová funkce z definice limitu:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, sin heta = lim _ {delta o 0} {frac {sin (heta + delta) -sin heta} {delta}}.}

Za použití vzorec pro přidání úhlu sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α, my máme:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, sin heta = lim _ {delta o 0} {frac {sin heta cos delta + sin delta cos heta -sin heta} {delta}} = lim _ {delta o 0} vlevo ({frac {sin delta} {delta}} cos heta + {frac {cos delta -1} {delta}} sin heta ight).}

Využití limitů pro sinus a kosinus funkce:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, sin heta = (1) cos heta + (0) sin heta = cos heta,.}

Derivace kosinové funkce

Z definice derivátu

Znovu vypočítáme derivaci kosinová funkce z definice limitu:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, cos heta = lim _ {delta o 0} {frac {cos (heta + delta) -cos heta} {delta}}.}

Pomocí vzorce pro přidání úhlu cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, my máme:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, cos heta = lim _ {delta o 0} {frac {cos heta cos delta -sin heta sin delta -cos heta} {delta}} = lim _ {delta o 0} vlevo ({frac {cos delta - 1} {delta}} cos heta, -, {frac {sin delta} {delta}} sin heta ight).}

Využití limitů pro sinus a kosinus funkce:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, cos heta = (0) cos heta - (1) sin heta = -sin heta,.}

Z pravidla řetězu

Chcete-li vypočítat derivaci kosinové funkce z pravidla řetězu, nejprve dodržujte následující tři skutečnosti:

{displaystyle cos heta = sin left ({frac {pi} {2}} - heta ight)}

{displaystyle sin heta = cos left ({frac {pi} {2}} - heta ight)}

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} sin heta = cos heta}

První a druhý jsou trigonometrické identity a třetí je prokázáno výše. Pomocí těchto tří faktů můžeme napsat následující,

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} cos heta = {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} hřích odešel ({frac {pi} {2}} - heta ight)}

Můžeme to rozlišit pomocí řetězové pravidlo. Pronájem ${displaystyle f (x) = sin x, g (heta) = {frac {pi} {2}} - heta}$ , my máme:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} f! left (g! left (heta ight) ight) = f ^ {prime}! left (g! left (heta ight) ight) cdot g ^ {prime}! left (heta ight) = cos left ( {frac {pi} {2}} - heta ight) cdot (0-1) = - sin heta}

.

Proto jsme to dokázali

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} cos heta = -sin heta}

.

Derivace tangensové funkce

Z definice derivátu

Pro výpočet derivace tangenciální funkce opálení θ, používáme první principy. Podle definice:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, heta = lim _ {delta o 0} vlevo ({frac {an (heta + delta) - heta} {delta}} ight).}

Pomocí dobře známého úhlového vzorce tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), my máme:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, heta = lim _ {delta o 0} left [{frac {{frac {an heta + an delta} {1- an heta an delta}} - an heta} {delta}} ight] = lim _ {delta o 0} left [{frac {an heta + an delta - an heta + an ^ {2} heta an delta} {delta left (1- an heta an delta ight)}} ight].}

S využitím skutečnosti, že limit produktu je součinem limitů:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, heta = lim _ {delta o 0} {frac {an delta} {delta}} imes lim _ {delta o 0} left ({frac {1+ an ^ {2} heta} {1- an heta delta}} ight).}

Použití limitu pro tečna funkce a skutečnost, že opálení δ má sklon k 0, protože δ má sklon k 0:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, heta = 1 imes {frac {1+ an ^ {2} heta} {1-0}} = 1+ an ^ {2} heta.}

Okamžitě vidíme, že:

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}}, heta = 1 + {frac {sin ^ {2} heta} {cos ^ {2} heta}} = {frac {cos ^ {2} heta + sin ^ {2} heta} {cos ^ { 2} heta}} = {frac {1} {cos ^ {2} heta}} = sec ^ {2} heta,.}

Z pravidla kvocientu

Dá se také vypočítat derivace tangensové funkce pomocí pravidlo kvocientu.

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} an heta = {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} {frac {sin heta} {cos heta}} = {frac {vlevo (sin heta ight) ^ {prime} cdot cos heta -sin heta cdot vlevo (cos heta ight) ^ {prime}} {cos ^ { 2} heta}} = {frac {cos ^ {2} heta + sin ^ {2} heta} {cos ^ {2} heta}}}

Čitatel lze zjednodušit na 1 pomocí Pytagorova identita, což nám

{displaystyle {frac {1} {cos ^ {2} heta}} = sec ^ {2} heta}

Proto,

{displaystyle {frac {operatorname {d}} {operatorname {d}! heta}} an heta = sec ^ {2} heta}

Důkazy o derivátech inverzních trigonometrických funkcí

Následující deriváty lze najít nastavením a proměnná y rovná se inverzní trigonometrická funkce které si přejeme vzít derivát. Použitím implicitní diferenciace a poté řešení pro dy/dx, derivaci inverzní funkce lze najít v termínech y. Převést dy/dx zpět do bytí v podmínkách X, můžeme nakreslit referenční trojúhelník na jednotkovou kružnici, nechat θ být y. Za použití Pythagorova věta a definici regulárních trigonometrických funkcí můžeme konečně vyjádřit dy/dx ve smyslu X.

Diferenciace funkce inverzní sinus

Nechali jsme

{displaystyle y = arcsin x ,!}

Kde

{displaystyle - {frac {pi} {2}} leq yleq {frac {pi} {2}}}

Pak

{displaystyle sin y = x ,!}

Vezmeme-li derivát s ohledem na ${displaystyle x}$ na obou stranách a řešení pro dy / dx:

{displaystyle {d over dx} sin y = {d over dx} x}

{displaystyle cos ycdot {dy over dx} = 1 ,!}

Střídání ${displaystyle cos y = {sqrt {1-sin ^ {2} y}}}$ shora

{displaystyle {sqrt {1-sin ^ {2} y}} cdot {dy over dx} = 1}

Střídání ${displaystyle x = sin y}$ shora

{displaystyle {sqrt {1-x ^ {2}}} cdot {dy over dx} = 1}

{displaystyle {dy over dx} = {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Diferenciace funkce inverzní kosinus

Nechali jsme

{displaystyle y = arccos x ,!}

Kde

{displaystyle 0leq yleq pi}

Pak

{displaystyle cos y = x ,!}

Vezmeme-li derivát s ohledem na ${displaystyle x}$ na obou stranách a řešení pro dy / dx:

{displaystyle {d nad dx} cos y = {d nad dx} x}

{displaystyle -sin ycdot {dy over dx} = 1}

Střídání ${displaystyle sin y = {sqrt {1-cos ^ {2} y}} ,!}$ dovnitř shora, dostaneme

{displaystyle - {sqrt {1-cos ^ {2} y}} cdot {dy over dx} = 1}

Střídání ${displaystyle x = cos y ,!}$ dovnitř shora, dostaneme

{displaystyle - {sqrt {1-x ^ {2}}} cdot {dy over dx} = 1}

{displaystyle {dy over dx} = - {frac {1} {sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Diferenciace funkce inverzní tangenty

Nechali jsme

{displaystyle y = arctan x ,!}

Kde

{displaystyle - {frac {pi} {2}}

Pak

{displaystyle an y = x ,!}

Vezmeme-li derivát s ohledem na ${displaystyle x}$ na obou stranách a řešení pro dy / dx:

{displaystyle {d over dx} an y = {d over dx} x}

Levá strana:

{displaystyle {d over dx} an y = sec ^ {2} ycdot {dy over dx} = (1+ an ^ {2} y) {dy over dx}}

pomocí Pythagorovy identity

Pravá strana:

{displaystyle {d over dx} x = 1}

Proto,

{displaystyle (1+ an ^ {2} y) {dy over dx} = 1}

Střídání ${displaystyle x = an y ,!}$ dovnitř shora, dostaneme

{displaystyle (1 + x ^ {2}) {dy over dx} = 1}

{displaystyle {dy over dx} = {frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

Diferenciace inverzní kotangensové funkce

Nechali jsme

{displaystyle y = operatorname {arccot} x}

kde ${displaystyle 0$ . Pak

{displaystyle cot y = x}

Vezmeme-li derivát s ohledem na ${displaystyle x}$ na obou stranách a řešení pro dy / dx:

{displaystyle {frac {d} {dx}} dětská postýlka y = {frac {d} {dx}} x}

Levá strana:

{displaystyle {d over dx} cot y = -csc ^ {2} ycdot {dy over dx} = - (1 + cot ^ {2} y) {dy over dx}}

pomocí Pythagorovy identity

Pravá strana:

{displaystyle {d over dx} x = 1}

Proto,

{displaystyle - (1 + postýlka ^ {2} r) {frac {dy} {dx}} = 1}

Střídání ${displaystyle x = postýlka y}$ ,

{displaystyle - (1 + x ^ {2}) {frac {dy} {dx}} = 1}

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = - {frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

Diferenciace funkce inverzní sekans

Použití implicitní diferenciace

Nechat

{displaystyle y = operatorname {arcsec} x | x | geq 1}

Pak

{displaystyle x = sec y yin left [0, {frac {pi} {2}} ight) pohár vlevo ({frac {pi} {2}}, pi ight]}

{displaystyle {frac {dx} {dy}} = sek y an y = | x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}

(Absolutní hodnota ve výrazu je nutná, protože součin sečny a tečny v intervalu y je vždy nezáporný, zatímco radikál ${displaystyle {sqrt {x ^ {2} -1}}}$ je vždy nezáporné z definice hlavní druhé odmocniny, takže zbývající faktor musí být také nezáporný, čehož je dosaženo použitím absolutní hodnoty x.)

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {1} {| x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}}}

Pomocí pravidla řetězu

Alternativně může být derivát arcsecantu odvozen od derivátu arckosinu pomocí řetězové pravidlo.

Nechat

{displaystyle y = operatorname {arcsec} x = arccos left ({frac {1} {x}} ight)}

Kde

{displaystyle | x | geq 1}

a

{displaystyle yin left [0, {frac {pi} {2}} ight) šálek vlevo ({frac {pi} {2}}, pi ight]}

Poté použijeme pravidlo řetězu na ${displaystyle arccos left ({frac {1} {x}} ight)}$ :

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = - {frac {1} {sqrt {1 - ({frac {1} {x}}) ^ {2}}}} cdot left (- {frac {1} {x ^ {2}}} ight) = {frac {1} {x ^ {2} {sqrt {1- {frac {1} {x ^ {2}}}}}}}} = {frac {1} {x ^ {2} {frac {sqrt {x ^ {2} -1}} {sqrt {x ^ {2}}}}}} = {frac {1} {{sqrt {x ^ {2}}} {sqrt {x ^ {2} -1}}}} = {frac {1} {| x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}}}

Diferenciace funkce inverzního kosekans

Použití implicitní diferenciace

Nechat

{displaystyle y = operatorname {arccsc} x | x | geq 1}

Pak

{displaystyle x = csc y ​​yin left [- {frac {pi} {2}}, 0ight) pohár vlevo (0, {frac {pi} {2}} ight]}

{displaystyle {frac {dx} {dy}} = - csc ycot y = - | x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}

(Absolutní hodnota ve výrazu je nutná, protože součin kosekans a kotangensu v intervalu y je vždy nezáporný, zatímco radikál ${displaystyle {sqrt {x ^ {2} -1}}}$ je vždy nezáporné z definice hlavní druhé odmocniny, takže zbývající faktor musí být také nezáporný, čehož je dosaženo použitím absolutní hodnoty x.)