Reflexivní vztah - Reflexive relation

v matematika, a binární relace R přes soubor X je reflexní pokud se týká každého prvku X pro sebe.[1][2] Formálně to může být psáno ∀X ∈ X : x R x, nebo jako já ⊆ R kde jsem vztah identity na X.

Příkladem reflexivního vztahu je vztah „je rovný "na scéně reálná čísla, protože každé reálné číslo se rovná sobě. O reflexivním vztahu se říká, že reflexní vlastnost nebo se říká, že vlastní reflexivita. Spolu s symetrie a tranzitivita, reflexivita je jednou ze tří definujících vlastností ekvivalenční vztahy.

Související pojmy

Binární relace se nazývá nereagujícínebo antireflexní, pokud se nevztahuje k sobě žádný prvek. Příkladem je vztah „větší než“ (X > y) na reálná čísla. Ne každý vztah, který není reflexivní, je ireflexivní; je možné definovat vztahy, kde některé prvky souvisejí samy se sebou, ale jiné nikoli (tj. ani všechny, ani žádné). Například binární relace „produkt X a y je dokonce "je reflexní na množině sudá čísla, ireflexivní na množině lichých čísel a ani reflexivní ani irreflexivní na množině lichých čísel přirozená čísla. Vztah je však ireflexivní pokud, a pouze pokud, své doplněk je reflexivní.

Relace ~ na množině X je nazýván kvazi-reflexivní pokud každý prvek, který souvisí s nějakým prvkem, souvisí také sám se sebou, formálně: ∀ X, y ∈ X : X ~ y ⇒ (X ~ X ∧ y ~ y). Příkladem je relace „má stejný limit jako“ na množině posloupností reálných čísel: ne každá posloupnost má limitu, a proto relace není reflexivní, ale pokud má posloupnost stejnou mez jako nějaká posloupnost, pak má stejný limit jako sám. Má smysl rozlišovat vlevo, odjet a správná kvazi-reflexivita, definován ∀ X, y ∈ X : X ~ y ⇒ X ~ X[3] a ∀ X, y ∈ X : X ~ y ⇒ y ~ y, resp. Například doleva Euklidovský vztah je vždy levý, ale ne nutně pravý, kvazi-reflexivní. Vztah R je kvazi-reflexivní, pokud, a pouze pokud, je symetrické uzavření R∪RT je levý (nebo pravý) kvazi-reflexivní.

Relace ~ na množině X je nazýván coreflexive pokud pro všechny X a y v X platí, že pokud X ~ y pak X = y.[4] Příkladem koreflexivní relace je relace na celá čísla ve kterém každé liché číslo souvisí se sebou samým a neexistují žádné další vztahy. Vztah rovnosti je jediným příkladem reflexivního a koreflexivního vztahu a jakýkoli koreflexivní vztah je podmnožinou vztahu identity. Spojení koreflexivního vztahu a tranzitivního vztahu na stejné množině je vždy tranzitivní. Vztah R je coreflexive tehdy a jen tehdy, je-li jeho symetrické uzavření anti-symetrický.

Reflexivní vztah na neprázdném množině X nemůže být ireflexivní, ani asymetrický, ani antitransitivní.

The reflexní uzávěr ≃ binárního vztahu ~ na množině X je nejmenší reflexivní vztah na X to je nadmnožina z ~. Ekvivalentně je to spojení ~ a vztah identity na X, formálně: (≃) = (~) ∪ (=). Například reflexní uzávěr (<) je (≤).

The reflexní redukcenebo ireflexivní jádro, binárního vztahu ~ na množině X je nejmenší vztah ≆ takový, že ≆ sdílí stejné reflexivní uzavření jako ~. Dá se to určitým způsobem vnímat jako opak reflexního uzávěru. Je to ekvivalent doplňku vztahu identity na X s ohledem na ~, formálně: (≆) = (~) (=). To znamená, že je ekvivalentní ~ kromě toho, kde X~X je pravda. Například reflexivní redukce (≤) je (<).

Příklady

Mezi příklady reflexivních vztahů patří:

  • "je rovný" (rovnost )
  • "je podmnožina z „(nastavit zařazení)
  • „rozdělí“ (dělitelnost )
  • „je větší nebo rovno“
  • „je menší nebo rovno“

Mezi příklady ireflexivních vztahů patří:

  • „není rovno“
  • "je coprime to "(pro celá čísla> 1, protože 1 je coprime sám pro sebe)
  • „je správná podmnožina“
  • "je větší než"
  • "je méně než"

Počet reflexních vztahů

Počet reflexních vztahů na n- sada prvků je 2n2−n.[5]

Počet n-prvkové binární vztahy různých typů
PrvkyŽádnýTranzitivníReflexníPředobjednávkaČástečná objednávkaCelková předobjednávkaCelková objednávkaVztah ekvivalence
011111111
122111111
21613443322
35121716429191365
465,5363,9944,096355219752415
n2n22n2−n∑n
k=0  k! S (n, k)		n!∑n
k=0  S (n, k)
OEISA002416A006905A053763A000798A001035A000670A000142A000110

Filozofická logika

Autoři v filozofická logika často používají odlišnou terminologii. Reflexivní vztahy v matematickém smyslu se nazývají naprosto reflexivní ve filozofické logice se nazývají kvazi-reflexivní vztahy reflexní.[6][7]

Poznámky

  1. ^ Levy 1979: 74
  2. ^ Relační matematika, 2010
  3. ^ The Encyklopedie Britannica nazývá tuto vlastnost kvazi-reflexivitou.
  4. ^ Fonseca de Oliveira, J. N., a Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transpozice vztahů: Od funkcí možná až po tabulky hash. In Mathematics of Program Construction (str. 337).
  5. ^ On-line encyklopedie celočíselných sekvencí A053763
  6. ^ Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Logika a filozofie - moderní úvod. Wadsworth. ISBN  1-133-05000-X. Zde: str.327-328
  7. ^ D.S. Clarke; Richard Behling (1998). Deduktivní logika - úvod do technik hodnocení a logické teorie. University Press of America. ISBN  0-7618-0922-8. Zde: str.187

Reference

  • Levy, A. (1979) Teorie základní množiny, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Přetištěno 2002, Dover. ISBN  0-486-42079-5
  • Lidl, R. a Pilz, G. (1998). Aplikovaná abstraktní algebra, Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag. ISBN  0-387-98290-6
  • Quine, W. V. (1951). Matematická logika, Přepracované vydání. Přetištěno 2003, Harvard University Press. ISBN  0-674-55451-5
  • Gunther Schmidt, 2010. Relační matematika. Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76268-7.

externí odkazy