Algebraická logika - Algebraic logic

v matematická logika, algebraická logika je úvaha získaná manipulací rovnic s volné proměnné.

To, co se nyní obvykle nazývá klasická algebraická logika, se zaměřuje na identifikaci a algebraický popis modely vhodné pro studium různých logik (ve formě tříd algebry, které tvoří algebraická sémantika pro tyto deduktivní systémy ) a související problémy jako zastoupení a dualita. Známé výsledky jako věta o reprezentaci pro booleovské algebry a Kamenná dualita spadají pod deštník klasické algebraické logiky (Czelakowski 2003 ).

Funguje v novějších abstraktní algebraická logika (AAL) se zaměřují na samotný proces algebraizace, jako je klasifikace různých forem algebraizovatelnosti pomocí Operátor Leibniz (Czelakowski 2003 ).

Počet vztahů

Homogenní binární relace se nachází v napájecí sada z X × X pro nějakou sadu X, zatímco heterogenní vztah se nachází v napájecí sadě X × Y, kde X ≠ Y. Zda daný vztah platí pro dva jednotlivce, je jeden bit informace, takže vztahy jsou studovány pomocí booleovské aritmetiky. Prvky sady napájení jsou částečně seřazeny podle zařazení a mřížka těchto množin se stává algebrou relativní násobení nebo složení vztahů.

„Základní operace jsou množinově-teoretické sjednocení, průnik a doplňování, relativní násobení a převod.“^[1]

The konverze Odkazuje na konverzní vztah který vždy existuje, na rozdíl od teorie funkcí. Daný vztah může být reprezentován a logická matice; pak je obrácený vztah reprezentován přemístit matice. Relace získaná jako složení dvou dalších je pak reprezentována logickou maticí získanou pomocí násobení matic pomocí booleovské aritmetiky.

Příklad

Příklad počtu vztahů vzniká v erotika teorie otázek. Ve vesmíru promluv existují prohlášení S a otázky Q. Existují dva vztahy π a α z Q na S: q α A drží, když A je přímá odpověď na otázku q. Druhý vztah, q π str drží, když str je předpoklad otázky q. Konverzní vztah π^T běží od S na Q takže složení π^T; α je homogenní vztah na S. Umění položit správnou otázku k získání dostatečné odpovědi je uznáno v Sokratova metoda dialog.

Funkce

Popis klíčových binárních vztahů byl formulován pomocí kalkulu vztahů. Vlastnost univalence funkcí popisuje vztah R který splňuje vzorec ${displaystyle R ^ {T} Rsubseteq I,}$ kde I je vztah identity v rozsahu R. Injekční vlastnost odpovídá univalenci R^Tnebo vzorec ${displaystyle RR ^ {T} subseteq I,}$ kde tentokrát jsem totožnost v doméně R.

Univalentní vztah je však pouze a částečná funkce, zatímco univalentní celkový vztah je funkce. Vzorec pro totalitu je ${displaystyle Isubseteq RR ^ {T}.}$ Charles Loewner a Gunther Schmidt použijte termín mapování pro celkový, jednotný vztah.^[2][3]

Zařízení doplňkové vztahy inspirovaný Augustus De Morgan a Ernst Schröder zavést ekvivalence použitím ${displaystyle {ar {R}}}$ pro doplnění vztahu R. Tyto ekvivalence poskytují alternativní vzorce pro univalentní vztahy (${displaystyle R {ar {I}} subseteq {ar {R}}}$) a celkové vztahy (${displaystyle {ar {R}} subseteq R {ar {I}}}$). Proto mapování splňují vzorec ${displaystyle {ar {R}} = R {ar {I}}.}$ Schmidt používá tento princip jako „uklouznutí pod negaci zleva“.^[4] Pro mapování ${displaystyle f, quad f {ar {A}} = {overline {fA}}.}$

Abstrakce

The relační algebra struktura, založená na teorii množin, byla překonána Tarským s axiomy, které ji popisovaly. Potom se zeptal, zda by každá algebra uspokojující axiomy mohla být reprezentována stanovenou relací. Negativní odpověď^[5] otevřel hranici abstraktní algebraická logika.^[6][7][8]

Algebry jako modely logiky

Algebraické logické pochoutky algebraické struktury, často ohraničené mřížky, jako modely (interpretace) určitých logika, což logiku pobočkou teorie objednávek.

V algebraické logice:

• Proměnné jsou mlčky všeobecně kvantifikováno přes některé vesmír diskurzu. Nejsou k dispozici žádné existenciálně kvantifikované proměnné nebo otevřené vzorce;
• Podmínky jsou sestaveny z proměnných pomocí primitivních a definovaných operace. Nejsou k dispozici žádné spojky;
• Vzorce, postavené z výrazů obvyklým způsobem, lze srovnávat, pokud jsou logicky ekvivalentní. Vyjádřit a tautologie, přirovnat vzorec k a pravdivostní hodnota;
• Pravidly dokazování jsou nahrazování rovných za rovné a jednotná záměna. Modus ponens zůstává v platnosti, ale málokdy je zaměstnán.

V tabulce níže obsahuje levý sloupec jeden nebo více logický nebo matematické systémy a algebraická struktura, které jsou jejími modely, jsou zobrazeny vpravo ve stejném řádku. Některé z těchto struktur jsou buď Booleovy algebry nebo správné rozšíření z toho. Modální a další neklasická logika jsou obvykle modelovány pomocí tzv. „Booleovských algeber s operátory“.

Algebraické formalizmy jdou dále logika prvního řádu alespoň v některých ohledech zahrnují:

• Kombinovaná logika, s expresivní silou teorie množin;
• Vztahová algebra, pravděpodobně paradigmatická algebraická logika, může vyjádřit Peano aritmetika a většina axiomatická teorie množin, včetně kanonického ZFC.

Dějiny

Algebraická logika je možná nejstarší přístup k formální logice, pravděpodobně začínající řadou memorand Leibniz napsal v 80. letech 16. století, z nichž některé byly publikovány v 19. století a do angličtiny přeloženy Clarence Lewis v roce 1918.^{[9]:291–305} Ale téměř všechna Leibnizova známá práce o algebraické logice byla publikována až v roce 1903 poté Louis Couturat objevil to u Leibnize Nachlass. Parkinson (1966) a Loemker (1969) přeložil výběry z Couturatova svazku do angličtiny.

Moderní matematická logika začala v roce 1847 dvěma brožurkami, jejichž příslušnými autory byli George Boole^[10] a Augustus De Morgan.^[11] V roce 1870 Charles Sanders Peirce zveřejnil první z několika prací na internetu logika příbuzných. Alexander Macfarlane zveřejnil svůj Principy algebry logiky^[12] v roce 1879 a v roce 1883, Christine Ladd, student Peirce na Univerzita Johna Hopkinse, publikoval „O algebře logiky“.^[13] Logika se stala více algebraickou, když binární vztahy byly kombinovány s složení vztahů. Pro sady A a B, vztahy byly nejprve chápány jako prvky napájecí sada z A×B s vlastnostmi popsanými v Booleova algebra. „Kalkul vztahů“^[8] je pravděpodobně vyvrcholením Leibnizova přístupu k logice. Na Hochschule Karlsruhe počet vztahů popsal Ernst Schröder.^[14] Zejména formuloval Schröder vládne, i když je De Morgan očekával se svou Věrou K.

„Boole – Schröderova algebra logiky“ byla vyvinuta na University of California, Berkeley v učebnice podle Clarence Lewis v roce 1918.^[9] Logiku vztahů považoval za odvozenou z výrokové funkce dvou nebo více proměnných.

Hugh MacColl, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, Bertrand Russell, a A. N. Whitehead všichni sdíleli Leibnizův sen kombinovat symbolická logika, matematika, a filozofie.

Některé spisy od Leopold Löwenheim a Thoralf Skolem na algebraické logice se objevila po vydání 1910–13 z Principia Mathematica, a Tarski oživil zájem o vztahy s jeho eseji z roku 1941 „Na kalkulu vztahů“.^[8]

Podle Helena Rasiowa „V letech 1920–40 proběhly zejména v polské škole logiky výzkumy neklasických výrokových kalkulů prováděné tzv. logická matice metoda. Protože logické matice jsou určité abstraktní algebry, vedlo to k použití algebraické metody v logice. “^[15]

Brady (2000) pojednává o bohatých historických souvislostech mezi algebraickou logikou a teorie modelů. Zakladatelé teorie modelů, Ernst Schröder a Leopold Loewenheim, byli logiky algebraické tradice. Alfred Tarski, zakladatel společnosti teoretická množina teorie modelů jako hlavní obor současné matematické logiky, také:

• Zahájená abstraktní algebraická logika s relační algebry^[8]
• Vynalezeno válcová algebra
• Spoluobjeveno Lindenbaum – Tarski algebra.

V praxi počtu vztahů, Jacques Riguet použil algebraickou logiku k prosazení užitečných konceptů: rozšířil koncept vztahu ekvivalence (na množině) na heterogenní vztahy s funkční pojem. Riguet také rozšířil uspořádání na heterogenní kontext svou poznámkou, že logická matice schodiště má doplněk, který je také schodištěm, a že věta N. M. Ferrers vyplývá z výkladu přemístit schodiště. Riguet vygenerován obdélníkové vztahy tím, že vnější produkt logických vektorů; tyto přispívají k nezvětšitelné obdélníky z formální koncepční analýza.

Leibniz neměl žádný vliv na vzestup algebraické logiky, protože jeho logické spisy byly málo studovány před Parkinsonovými a Loemkerovými překlady. Naše současné chápání Leibnize jako logika vychází hlavně z práce Wolfganga Lenzena, shrnuté v Lenzen (2004). Chcete-li vidět, jak dnešní práce v logice a metafyzika může čerpat inspiraci z Leibnizovy myšlenky a osvětlit ji, viz Zalta (2000).

Viz také

• Booleova algebra
• Coddova věta
• Počítačová algebra
• Univerzální algebra

Reference

Zdroje

• Brady, Geraldine (2000). Od Peirce po Skolem: zanedbaná kapitola v historii logiky. Amsterdam, Nizozemsko: North-Holland / Elsevier Science BV. Archivovány od originál dne 02.04.2009. Citováno 2009-05-15.
• Czelakowski, Janusz (2003). „Recenze: Algebraické metody ve filozofické logice J. Michaela Dunna a Gary M. Hardegree“. Bulletin symbolické logiky. Sdružení pro symbolickou logiku, Cambridge University Press. 9. ISSN  1079-8986. JSTOR  3094793.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibnizova logika „in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. Severní Holandsko: 1-84.
• Loemker, Leroy (1969) [první vydání 1956], Leibniz: Filozofické práce a dopisy (2. vyd.), Reidel.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Parkinson, GHR (1966). Leibniz: Logické dokumenty. Oxford University Press.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Zalta, E. N., 2000, "(Leibnizian) teorie pojmů," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logická analýza a dějiny filozofie 3: 137-183.

Další čtení

• J. Michael Dunn; Gary M. Hardegree (2001). Algebraické metody ve filozofické logice. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-853192-0. Dobrý úvod pro čtenáře s předchozí expozicí neklasická logika ale bez velkého zázemí v teorii objednávek a / nebo univerzální algebře; kniha tyto předpoklady podrobně pokrývá. Tato kniha však byla kritizována za špatnou a někdy nesprávnou prezentaci výsledků AAL. Recenze Janusze Czelakowského
• Hajnal Andréka, István Németi a Ildikó Sain (2001). "Algebraická logika". V Dov M. Gabbay, Franz Guenthner (ed.). Handbook of Philosophical Logic, sv. 2 (2. vyd.). Springer. ISBN  978-0-7923-7126-7. Návrh.
• Ramon Jansana (2011), "Propoziční důsledkové vztahy a algebraická logika ". Stanfordská encyklopedie filozofie. Hlavně o abstraktní algebraické logice."
• Stanley Burris (2015), "Algebra logické tradice Encyklopedie filozofie ve Stanfordu.
• Willard Quine 1976, "Algebraické logické a predikátové funktory", stránky 283 až 307 v Cesty paradoxu, Harvard University Press.

Historická perspektiva

• Ivor Grattan-Guinness, 2000. Hledání matematických kořenů. Princeton University Press.
• I.H. Anellis & N. Houser (1991) „Kořeny algebraické logiky a univerzální algebry devatenáctého století“, strany 1–36 v Algebraická logika, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, Matematická společnost János Bolyai & Elsevier ISBN  0444885439

externí odkazy

• Média související s Algebraická logika na Wikimedia Commons