Antiderivativní (komplexní analýza) - Antiderivative (complex analysis)

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

v komplexní analýza, pobočka matematika, primitivnínebo primitivní, a komplex -hodnota funkce G je funkce, jejíž komplexní derivát je G. Přesněji řečeno, vzhledem k otevřená sada ${displaystyle U}$ v komplexní rovině a funkci ${displaystyle g: U o mathbb {C},}$ primitivní funkce ${displaystyle g}$ je funkce ${displaystyle f: U o mathbb {C}}$ to uspokojuje ${displaystyle {frac {df} {dz}} = g}$.

Jako takový je tento koncept komplexně proměnnou verzí primitivní a nemovitý -hodnotená funkce.

Jedinečnost

Derivát konstantní funkce je nulová funkce. Jakákoli konstantní funkce je tedy primitivní funkcí nulové funkce. Li ${displaystyle U}$ je připojená sada, potom jsou konstantní funkce jedinými primitivními funkcemi nulové funkce. Jinak je funkce primitivní funkcí nulové funkce právě tehdy, když je na každé z nich konstantní připojená součást z ${displaystyle U}$ (tyto konstanty nemusí být stejné).

Toto pozorování naznačuje, že pokud je funkce ${displaystyle g: U o mathbb {C}}$ má primitivní funkci, je tedy jedinečná až do přidání funkce, která je konstantní na každé připojené komponentě ${displaystyle U}$.

Existence

Lze charakterizovat existenci antiderivativ prostřednictvím cestových integrálů v komplexní rovině, podobně jako v případě funkcí reálné proměnné. Možná ne překvapivě, G má primitivní funkci F právě když, pro každou cestu γ z A na b, cesta integrální

${displaystyle int _ {gamma} g (zeta), dzeta = f (b) -f (a).}$

Ekvivalentně

${displaystyle mast _ {gamma} g (zeta), dzeta = 0,}$

pro jakoukoli uzavřenou cestu γ.

Bez ohledu na tuto formální podobnost je však vlastnění komplexního protikladu mnohem přísnější podmínkou než jeho skutečný protějšek. I když je možné, aby diskontinuální skutečná funkce měla anti-derivát, anti-deriváty mohou existovat i pro holomorfní funkce komplexní proměnné. Zvažte například reciproční funkci, G(z) = 1/z který je v propíchnuté rovině holomorfní C{0}. Přímý výpočet ukazuje, že integrál G podél libovolného kruhu obklopujícího počátek je nenulový. Tak G nesplňuje výše uvedenou podmínku. To je podobné existenci potenciálních funkcí pro konzervativní vektorová pole, v tomto Greenova věta je schopen zaručit nezávislost cesty pouze tehdy, když je daná funkce definována na a jednoduše připojeno regionu, jako v případě Cauchyho integrální věta.

Ve skutečnosti je holomorphy charakterizována tím, že má primitivní funkci lokálně, to znamená, G je holomorfní, pokud pro každého z v jeho doméně je nějaké sousedství U z z takhle G má primitivní funkci na U. Kromě toho je holomorphy nezbytnou podmínkou pro to, aby funkce měla primitivní funkci, protože derivát jakékoli holomorfní funkce je holomorfní.

Různé verze Cauchyho integrální věta, podkladový výsledek teorie Cauchyovy funkce, která intenzivně využívá integrály cest, poskytuje dostatečné podmínky, za kterých pro holomorfní G,

${displaystyle mast _ {gamma} g (zeta), dzeta}$

zmizí pro jakoukoli uzavřenou cestu γ (což může být například doména G být jednoduše připojené nebo konvexní hvězdou).

Nutnost

Nejprve ukážeme, že pokud F je primitivní funkcí G na U, pak G má výše uvedenou integrální vlastnost cesty. Dáno po částech C¹ cesta γ: [A, b] → U, lze vyjádřit cesta integrální z G nad γ jako

${displaystyle int _ {gamma} g (z), dz = int _ {a} ^ {b} g (gamma (t)) gamma '(t), dt = int _ {a} ^ {b} f' ( gama (t)) gama '(t), dt.}$

Podle řetězové pravidlo a základní věta o počtu jeden pak má

${displaystyle int _ {gamma} g (z), dz = int _ {a} ^ {b} {frac {d} {dt}} fleft (gamma (t) ight), dt = fleft (gamma (b) ight ) -fleft (gama (a) ight).}$

Proto integrál G nad γ ano ne závisí na skutečné cestě γ, ale pouze na jejích koncových bodech, což jsme chtěli ukázat.

Dostatečnost

Dále ukážeme, že pokud G je holomorfní a je nedílnou součástí G přes libovolnou cestu tedy záleží pouze na koncových bodech G má primitivní funkci. Uděláme to výslovným nalezením derivátu.

Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že doména U z G je spojeno, protože jinak lze prokázat existenci primitivní funkce na každé připojené komponentě. S tímto předpokladem opravte bod z₀ v U a pro všechny z v U definovat funkci

${displaystyle f (z) = int _ {gamma}! g (zeta), dzeta}$

kde γ je libovolná cesta spojující z₀ na z. Taková cesta existuje od té doby U se považuje za otevřenou připojenou sadu. Funkce F je dobře definován, protože integrál závisí pouze na koncových bodech y.

Tohle F je primitivní funkcí G lze argumentovat stejným způsobem jako ve skutečném případě. Máme, pro danou věc z v U, že musí existovat disk zaměřený na z a obsažené zcela uvnitř U. Pak pro každého w jiný než z na tomto disku

${displaystyle {egin {aligned} left | {frac {f (w) -f (z)} {wz}} - g (z) ight | & = left | int _ {z} ^ {w} {frac {g (zeta), dzeta} {wz}} - int _ {z} ^ {w} {frac {g (z), dzeta} {wz}} ight | & leq int _ {z} ^ {w} {frac { | g (zeta) -g (z) |} {| wz |}}, dzeta & leq sup _ {zeta v [w, z]} | g (zeta) -g (z) |, konec {zarovnáno}} }$

kde [z, w] označuje úsečku mezi z a w. Kontinuitou G, konečný výraz jde na nulu jako w přístupy z. Jinými slovy, F' = G.

Reference

• Ian Stewart, David O. Tall (10. března 1983). Komplexní analýza. Cambridge University Press. ISBN  0-521-28763-4.
• Alan D Solomon (1. ledna 1994). Základy komplexních proměnných I. Výzkum a vzdělávání Doc. ISBN  0-87891-661-X.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Základní věty o počtu“. MathWorld.