Místní homeomorfismus - Local homeomorphism

v matematika, konkrétněji topologie, a místní homeomorfismus je funkce mezi topologické prostory která intuitivně zachovává místní (i když ne nutně globální) strukturu. Li $F : X \to Y$ je místní homeomorfismus, $X$ se říká, že je étale prostor přes $Y.$ Při studiu se používají místní homeomorfismy snopy. Typickými příklady místních homeomorfismů jsou pokrývající mapy.

Topologický prostor $X$ je místně homeomorfní na $Y$ pokud každý bod $X$ má sousedství, které je homeomorfní do otevřené podmnožiny $Y$ . Například a potrubí dimenze $n$ je místně homeomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$

Pokud existuje místní homeomorfismus z $X$ na $Y$ , pak $X$ je místně homeomorfní $Y$ , ale obrácení není vždy pravda. Například dvourozměrný koule, protože je potrubí, je místně homeomorfní k rovině ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2},}$ ale mezi nimi není žádný homeomorfismus (v obou směrech).

Formální definice

Nechat X a Y být topologické prostory. Funkce $F : X \to Y$ je místní homeomorfismus^[1] pokud pro každý bod X v X existuje otevřená sada U obsahující X, tak, že obraz $F (U)$ je otevřen v Y a omezení f |_U : U → F(U) je homeomorfismus (kde příslušné subprostorové topologie se používají na U a dál $F (U)$ ).

Příklady

Podle definice je každý homeomorfismus také místním homeomorfismem.

Li U je otevřená podmnožina Y vybavené topologie podprostoru, pak mapa zařazení $i : U \to Y$ je místní homeomorfismus. Zde je zásadní otevřenost: mapa začlenění neotevřené podmnožiny Y nikdy nepřináší místní homeomorfismus.

Nechat $F : R \to S 1$ být mapa, která obaluje skutečná linie okolo kruh (tj. $F (t) = E to$ pro všechny $t ϵ R$ ). Toto je místní homeomorfismus, ale ne homeomorfismus.

Nechat $F : S 1 \to S 1$ být mapa, která obklopuje kruh kolem sebe n krát (tj. má číslo vinutí n). Toto je místní homeomorfismus pro všechny nenulové n, ale homeomorfismus pouze v případech, kdy je bijektivní, tj. kdy $n = 1$ nebo -1.

Zobecnění předchozích dvou příkladů, každý krycí mapa je místní homeomorfismus; zejména univerzální kryt $p : C \to Y$ prostoru Y je místní homeomorfismus. V určitých situacích je obrácení pravdivé. Například: if X je Hausdorff a Y je místně kompaktní a Hausdorff a $p : X \to Y$ je správně místní homeomorfismus p je krycí mapa.

Existují místní homeomorfismy $F : X \to Y$ kde Y je Hausdorffův prostor a X není. Zvažte například kvocientový prostor $X = (R ⨿ R)/~$ , Kde vztah ekvivalence ~ na disjunktní unie dvou kopií reals identifikuje každý negativní real první kopie s odpovídajícím negativním realem druhé kopie. Dvě kopie 0 nejsou identifikovány a nemají žádné disjunktní sousedství, takže X není Hausdorff. Jeden snadno zkontroluje, zda je přirozená mapa $F : X \to R$ je místní homeomorfismus. Vlákno $F -1 ({y})$ má dva prvky, pokud y ≥ 0 a jeden prvek, pokud y < 0.

Podobně můžeme zkonstruovat místní homeomorfismy $F : X \to Y$ kde X je Hausdorff a Y není: vyberte přirozenou mapu $X = R ⨿ R$ na $Y = (R ⨿ R)/~$ se stejným vztahem ekvivalence ~ jako výše.

Je zobrazen v komplexní analýza že komplex analytický funkce $F : U \to C$ (kde U je otevřená podmnožina souboru složité letadlo C) je místní homeomorfismus právě tehdy, když derivát $F'(z)$ je nenulová pro všechny $z ϵ U$ . Funkce $F (z) = z n$ na otevřeném disku kolem 0 není lokální homeomorfismus v 0, když n je alespoň 2. V takovém případě je 0 bodem „rozvětvení " (intuitivně, n tam se scházejí listy).

Za použití věta o inverzní funkci lze ukázat, že spojitě diferencovatelná funkce $F : U \to R n$ (kde U je otevřená podmnožina $R n$ ) je lokální homeomorfismus, pokud je derivát D_XF je invertibilní lineární mapa (invertible square matrix) pro všechny $X ϵ U$ . (Konverzace je nepravdivá, jak ukazuje místní homeomorfismus $F : R \to R$ s $F (X) = X 3$ .) Analogickou podmínku lze formulovat pro mapy mezi diferencovatelné potrubí.

Vlastnosti

Každý místní homeomorfismus je a kontinuální a otevřít mapu. A bijektivní místní homeomorfismus je tedy homeomorfismus.

Místní homeomorfismus $F : X \to Y$ převádí „místní“ topologické vlastnosti v obou směrech:

X je místně připojen kdyby a jen kdyby $F (X)$ je;
X je místně spojeno s cestou kdyby a jen kdyby $F (X)$ je;
X je místně kompaktní kdyby a jen kdyby $F (X)$ je;
X je nejdříve spočítatelné kdyby a jen kdyby $F (X)$ je.

Jak bylo uvedeno výše, vlastnost Hausdorff není v tomto smyslu lokální a nemusí být chráněna místními homeomorfismy.

Li $F : X \to Y$ je místní homeomorfismus a U je otevřená podmnožina X, pak omezení F|_U je také místním homeomorfismem.

Li $F : X \to Y$ a $G : Y \to Z$ jsou místní homeomorfismy, pak složení $gf : X \to Z$ je také místním homeomorfismem.

Li $F : X \to Y$ je spojitý, $G : Y \to Z$ je místní homeomorfismus a $gf : X \to Z$ tedy místní homeomorfismus F je také místním homeomorfismem.

Místní homeomorfismy s codomain Y být v přirozené osobní korespondenci s snopy sad zapnuto Y; tato korespondence je ve skutečnosti rovnocennost kategorií. Kromě toho každá souvislá mapa s codomain Y dává vzniknout jednoznačně definovanému místnímu homeomorfismu s codomain Y přirozeným způsobem. To vše je podrobně vysvětleno v článku snopy.

Zobecnění a analogické koncepty

Myšlenku místního homeomorfismu lze formulovat v geometrických nastaveních odlišných od topologických prostorů. Pro diferencovatelné potrubí, získáme místní difeomorfismy; pro schémata, máme formálně étale morfismy a étale morfismy; a pro klade, dostaneme étale geometrické morfismy.

Viz také

Homeomorfismus - Izomorfismus topologických prostorů v matematice
Místní difeomorfismus

Reference

^ Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[1] Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[1]