Věta o rozkladu - Decomposition theorem
Zejména v matematice algebraická geometrie the věta o rozkladu je soubor výsledků týkajících se kohomologie algebraické odrůdy.
Prohlášení
Rozklad pro hladké správné mapy
První případ věty o rozkladu vzniká prostřednictvím tvrdá Lefschetzova věta který dává izomorfismy pro hladkou vlastní mapu relativního rozměru d mezi dvěma projektivními odrůdami[1]
Tady je základní třída a sekce nadroviny, je přímý obraz (dopředu) a je n-th odvozený funktor přímého obrazu. Tento odvozený funktor měří n-th cohomologies of , pro Ve skutečnosti, konkrétní případ, kdy Y je bod, rovná se izomorfismu
Tento tvrdý Lefschetzův izomorfismus indukuje kanonické izomorfismy
Navíc snopy v tomto rozkladu jsou lokální systémy tj. lokálně volné snopy Q-vektorové prostory, které jsou navíc polojednoduché, tj. přímý součet lokálních systémů bez netriviálních lokálních subsystémů.
Rozklad pro správné mapy
Věta o rozkladu tuto skutečnost zobecňuje pro případ vlastní, ale ne nutně hladké mapy mezi odrůdami. Stručně řečeno, výše uvedené výsledky zůstávají pravdivé, i když je pojem místních systémů nahrazen perverzní snopy.
Výše uvedená tvrdá Lefschetzova věta má následující podobu: v ní je izomorfismus odvozená kategorie snopy na Y:
kde je celkový odvozený funktor z a je i-té zkrácení s ohledem na perverzní t-struktura.
Navíc existuje izomorfismus
kde summandy jsou polojednoduché perverzní snopy, což znamená, že jsou přímými součty push-forwardů křižovatkových kohomologických snopů.
Li X není hladký, pak výše uvedené výsledky zůstanou pravdivé, když se nahrazuje křižovatková kohomologie komplex .
Důkazy
Teorém o rozkladu poprvé prokázali Beilinson, Bernstein a Deligne.[2] Jejich důkaz je založen na použití závaží na kladkách typu L-adic v pozitivní charakteristice. Použití jiného důkazu smíšené Hodgeovy moduly dal Saito. Geometrickější důkaz založený na pojmu semismall mapy byl dán de Cataldem a Migliorinim.[3]
Pro semismall mapy, věta o rozkladu platí také pro motivy Chow.[4]
Aplikace věty o rozkladu
Kohomologie racionální Lefschetzovy tužky
Zvažte racionální morfismus z hladké kvazi-projektivní rozmanitosti dané . Pokud nastavíme mizející místo tak jako pak existuje indukovaný morfismus . Můžeme spočítat cohomologii z křižovatkové kohomologie a odečtením kohomologie od výbuchu . To lze provést pomocí perverzní spektrální sekvence
Reference
- ^ Deligne, Pierre (1968), „Théoreme de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales“, Publ. Matematika. Inst. Hautes Études Sci., 35: 107–126, doi:10.1007 / BF02698925, Zbl 0159.22501
- ^ Beilinson, Alexander A.; Bernstein, Joseph; Deligne, Pierre (1982). "Faisceaux zvrácenci". Astérisque (francouzsky). Société Mathématique de France, Paříž. 100.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- ^ de Cataldo, Mark Andrea; Migliorini, Luca (2005). „Hodgeova teorie algebraických map“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 38 (5): 693–750. arXiv:matematika / 0306030. Bibcode:2003math ...... 6030D. doi:10.1016 / j.ansens.2005.07.001.
- ^ de Cataldo, Mark Andrea; Migliorini, Luca (2004), „Chowův motiv semismall rozlišení“, Matematika. Res. Lett., 11 (2–3): 151–170, arXiv:matematika / 0204067, doi:10.4310 / MRL.2004.v11.n2.a2, PAN 2067464
Články průzkumu
- de Cataldo, Marku, Perverzní snopy a topologie algebraických odrůd Pět přednášek na PCMI 2015 (PDF)
- de Cataldo, Mark; Milgiorini, Luca, Věta o rozkladu, perverzní snopy a topologie algebraických map (PDF)
Pedagogické reference
- Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki, D-moduly, perverzní snopy a teorie reprezentace