Serre dualita - Serre duality

v algebraická geometrie, pobočka matematika, Serre dualita je dualita pro koherentní svazek cohomologie algebraických odrůd, prokázáno Jean-Pierre Serre. Základní verze platí pro vektorové svazky na hladkou projektivní rozmanitost, ale Alexander Grothendieck našel široké zobecnění, například pro singulární odrůdy. Na n-dimenzionální odrůda, věta říká, že kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {i}}$ je dvojí prostor jiného, ${ displaystyle H ^ {n-i}}$. Serre dualita je analogií pro koherentní cohomologii svazků Poincaré dualita v topologii s kanonický svazek řádků výměna orientační svazek.

Věta o Serreově dualitě platí také pro složitá geometrie obecněji, pro kompaktní složité potrubí to nemusí být nutně projektivní komplexní algebraické odrůdy. V tomto nastavení je Serreova věta o dualitě aplikací Hodgeova teorie pro Dolbeaultova kohomologie, a může být viděn jako výsledek v teorii eliptické operátory.

Tyto dvě různé interpretace Serreovy duality se shodují pro ne-singulární projektivní komplexní algebraické variace, a to aplikací Dolbeaultova věta vztahující se snopovou kohomologii k Dolbeaultově kohomologii.

Serre dualita pro vektorové svazky

Algebraická věta

Nechat X být hladká odrůda dimenze n přes pole k. Definujte kanonický svazek řádků ${ displaystyle K_ {X}}$ být svazkem n-formuláře na X, nejvyšší vnější výkon motoru kotangenský svazek:

${ displaystyle K_ {X} = Omega _ {X} ^ {n} = { bigwedge} ^ {n} (T ^ {*} X).}$

Předpokládejme navíc, že X je správně (například, projektivní ) přes k. Pak Serre dualita říká: pro algebraický vektorový svazek E na X a celé číslo i, existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle H ^ {i} (X, E) cong H ^ {n-i} (X, K_ {X} další E ^ { ast}) ^ { ast}}$

konečně-dimenzionální k-vektorové mezery. Tady ${ displaystyle otimes}$ označuje tenzorový produkt vektorových svazků. Z toho vyplývá, že rozměry obou kohomologických skupin jsou stejné:

${ displaystyle h ^ {i} (X, E) = h ^ {n-i} (X, K_ {X} mnohokrát E ^ { ast}).}$

Stejně jako v dualitě Poincaré, izomorfismus v dualitě Serre pochází z pohárový produkt v cohomologii svazků. Jmenovitě složení pohárového produktu s přírodním trasovací mapa na ${ displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X})}$ je perfektní párování:

${ displaystyle H ^ {i} (X, E) krát H ^ {ni} (X, K_ {X} krát E ^ { ast}) až H ^ {n} (X, K_ {X} ) až k.}$

Trasová mapa je analogií pro koherentní intelektuální kohomologii integrace v de Rhamova kohomologie.^[1]

Diferenciálně-geometrická věta

Serre také prokázal stejné prohlášení o dualitě X kompaktní komplexní potrubí a E A holomorfní vektorový svazek.^[2]Tady je Serreova dualita věta důsledkem Hodgeova teorie. A to na kompaktním komplexním potrubí ${ displaystyle X}$ vybaven a Riemannova metrika, tady je Operátor hvězd Hodge

${ displaystyle star: Omega ^ {p} (X) až Omega ^ {2n-p} (X),}$

kde ${ displaystyle dim _ { mathbb {C}} X = n}$. Navíc od ${ displaystyle X}$ je složitý, dochází k rozdělení složité diferenciální formy do forem písma ${ displaystyle (p, q)}$. Hvězdný operátor Hodge (rozšířený komplexně-lineárně až na komplexní diferenciální formy) interaguje s touto klasifikací jako

${ displaystyle star: Omega ^ {p, q} (X) až Omega ^ {n-q, n-p} (X).}$

Všimněte si, že holomorfní a anti-holomorfní indexy si vyměnily místo. Existuje konjugace na složitých diferenciálních formách, která zaměňuje formy typu ${ displaystyle (p, q)}$ a ${ displaystyle (q, p)}$, a pokud jeden definuje konjugovaný lineární Hodgeův hvězdný operátor podle ${ displaystyle { bar { star}} omega = hvězda { bar { omega}}}$ pak máme

${ displaystyle { bar { star}}: Omega ^ {p, q} (X) až Omega ^ {n-p, n-q} (X).}$

Použitím konjugované lineární Hodgeovy hvězdy lze definovat a Hermitian ${ displaystyle L ^ {2}}$-vnitřní produkt na složitých diferenciálních formách, podle

${ displaystyle langle alpha, beta rangle _ {L ^ {2}} = int _ {X} alpha klín { bar { star}} beta,}$

kam teď ${ displaystyle alpha wedge { bar { star}} beta}$ je ${ displaystyle (n, n)}$-forma, a zejména komplexní hodnota ${ displaystyle 2n}$-form, a proto může být integrován do ${ displaystyle X}$ s ohledem na jeho kanonický orientace. Dále předpokládejme ${ displaystyle (E, h)}$ je hermoriánský holomorfní vektorový svazek. Pak Hermitian metrika ${ displaystyle h}$ dává konjugovaný-lineární izomorfismus ${ displaystyle E cong E ^ {*}}$ mezi ${ displaystyle E}$ a jeho duální vektorový svazek, řekněme ${ displaystyle tau: E až E ^ {*}}$. Definování ${ displaystyle { bar { star}} _ {E} ( omega otimes s) = { bar { star}} omega otimes tau (s)}$, jeden získá izomorfismus

${ displaystyle { bar { star}} _ {E}: Omega ^ {p, q} (X, E) až Omega ^ {n-p, n-q} (X, E ^ {*})}$

kde ${ displaystyle Omega ^ {p, q} (X, E) = Omega ^ {p, q} (X) otimes Gamma (E)}$ sestává z hladké ${ displaystyle E}$-hodnota komplexních diferenciálních forem. Pomocí párování mezi ${ displaystyle E}$ a ${ displaystyle E ^ {*}}$ dána ${ displaystyle tau}$ a ${ displaystyle h}$, lze tedy definovat Hermitiana ${ displaystyle L ^ {2}}$-vnitřní produkt na takové ${ displaystyle E}$-hodnotící formuláře podle

${ displaystyle langle alpha, beta rangle _ {L ^ {2}} = int _ {X} alpha wedge _ {h} { bar { star}} _ {E} beta, }$

kde tady ${ displaystyle klín _ {h}}$ znamená klínový součin diferenciálních forem a použití párování mezi ${ displaystyle E}$ a ${ displaystyle E ^ {*}}$ dána ${ displaystyle h}$.

The Hodgeova věta pro Dolbeaultovu kohomologii tvrdí, že pokud definujeme

${ displaystyle Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E}} = { bar { částečné}} _ {E} ^ {*} { bar { částečné}} _ {E} + { bar { částečné}} _ {E} { bar { částečné}} _ {E} ^ {*}}$

kde ${ displaystyle { bar { částečné}} _ {E}}$ je Operátor Dolbeault z ${ displaystyle E}$ a ${ displaystyle { bar { částečné}} _ {E} ^ {*}}$ je tedy jeho formální doplněk s ohledem na vnitřní produkt

${ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) cong { mathcal {H}} _ { Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E}}} ^ {p, q} (X).}$

Na levé straně je Dolbeaultova kohomologie a na pravé straně je vektorový prostor harmonický ${ displaystyle E}$-hodnotové diferenciální formy definován

${ displaystyle { mathcal {H}} _ { Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E}}} ^ {p, q} (X) = { alpha in Omega ^ { p, q} (X, E) mid Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E}} ( alpha) = 0 }.}$

Pomocí tohoto popisu lze teorém o Serreově dualitě vyjádřit následovně: Izomorfismus ${ displaystyle { bar { star}} _ {E}}$ indukuje komplexní lineární izomorfismus

${ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) cong H ^ {n-p, n-q} (X, E ^ {*}) ^ {*}.}$

To lze snadno dokázat pomocí Hodgeovy teorie výše. Jmenovitě, pokud ${ displaystyle [ alpha]}$ je třída kohomologie v ${ displaystyle H ^ {p, q} (X, E)}$ s jedinečným harmonickým zástupcem ${ displaystyle alpha in { mathcal {H}} _ { Delta _ {{bar { částečné}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$, pak

${ displaystyle ( alpha, { bar { star}} _ {E} alpha) = langle alpha, alpha rangle _ {L ^ {2}} geq 0}$

s rovností právě tehdy ${ displaystyle alpha = 0}$. Zejména složité lineární párování

${ displaystyle ( alpha, beta) = int _ {X} alpha klín _ {h} beta}$

mezi ${ displaystyle { mathcal {H}} _ { Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}} _ { Delta _ {{ bar { částečné}} _ {E ^ {*}}}} ^ {n-p, n-q} (X)}$ je nedegenerovaný, a indukuje izomorfismus v teorému Serre duality.

Prohlášení o Serre dualitě v algebraickém prostředí lze obnovit pomocí ${ displaystyle p = 0}$a přihlašování Dolbeaultova věta, který uvádí, že

${ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) cong H ^ {q} (X, { boldsymbol { Omega}} ^ {p} otimes E)}$

kde vlevo je Dolbeaultova kohomologie a vpravo svazková kohomologie, kde ${ displaystyle { boldsymbol { Omega}} ^ {p}}$ označuje svazek holomorfní ${ displaystyle (p, 0)}$-formuláře. Zejména získáváme

${ displaystyle H ^ {q} (X, E) cong H ^ {0, q} (X, E) cong H ^ {n, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*} kong H ^ {nq} (X, K_ {X} mnohokrát E ^ {*}) ^ {*}}$

kde jsme použili ten snop holomorfní ${ displaystyle (n, 0)}$-forms je jen kanonický svazek z ${ displaystyle X}$.

Algebraické křivky

Základní aplikací Serre duality je algebraické křivky. (U komplexních čísel je to rovnocenné kompaktní Riemannovy povrchy.) Pro svazek linek L na hladké projektivní křivce X přes pole k, jediné možné nenulové kohomologické skupiny jsou ${ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ a ${ displaystyle H ^ {1} (X, L)}$. Serre dualita popisuje ${ displaystyle H ^ {1}}$ skupina ve smyslu ${ displaystyle H ^ {0}}$ skupina (pro jiný svazek řádků).^[3] To je konkrétnější, protože ${ displaystyle H ^ {0}}$ svazku řádků je jednoduše jeho prostor sekcí.

Serualita je zvláště důležitá pro Riemann – Rochova věta pro křivky. Pro svazek linek L stupně d na křivce X z rod G, říká to věta Riemann – Roch

${ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {1} (X, L) = d-g + 1.}$

Pomocí Serre duality to lze přeformulovat elementárněji:

${ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, K_ {X} otimes L ^ {*}) = d-g + 1.}$

Druhé prohlášení (vyjádřeno jako dělitele ) je ve skutečnosti původní verzí věty z 19. století. Toto je hlavní nástroj používaný k analýze toho, jak lze danou křivku vložit projektivní prostor a tedy klasifikovat algebraické křivky.

Příklad: Každá globální část svazku řádků záporného stupně je nula. Kromě toho je stupeň kanonického svazku ${ displaystyle 2g-2}$. Proto Riemann – Roch naznačuje, že pro svazek řádků L stupně ${ displaystyle d> 2g-2}$, ${ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$ je rovný ${ displaystyle d-g + 1}$. Když rod G je alespoň 2, z toho vyplývá Serre dualita ${ displaystyle h ^ {1} (X, TX) = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ { otimes 2}) = 3g-3}$. Tady ${ displaystyle H ^ {1} (X, TX)}$ je prvního řádu deformační prostor z X. Toto je základní výpočet potřebný k prokázání, že prostor modulů křivek rodu G má rozměr ${ displaystyle 3g-3}$.

Serre dualita pro koherentní snopy

Další formulace Serre duality platí pro všechny koherentní snopy, nejen vektorové svazky. Grothendieck jako první krok k zobecnění duality Serre ukázal, že tato verze funguje schémata s mírnými singularitami, Cohen – Macaulayovy režimy, nejen plynulá schémata.

A to pro schéma Cohen – Macaulay X čisté dimenze n přes pole kGrothendieck definoval souvislý svazek ${ displaystyle omega _ {X}}$ na X volal vizualizace svazku. (Někteří autoři tomu říkají svazek ${ displaystyle K_ {X}}$.) Předpokládejme navíc, že X je správný konec k. Pro koherentní svazek E na X a celé číslo i„Serreova dualita říká, že existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, omega _ {X}) cong H ^ {n-i} (X, E) ^ {*}}$

konečně-dimenzionální k-vektorové mezery.^[4] Tady Ext skupina je bráno v abelianské kategorii ${ displaystyle O_ {X}}$- moduly. To zahrnuje předchozí prohlášení, protože ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, omega _ {X})}$ je izomorfní s ${ displaystyle H ^ {i} (X, E ^ {*} otimes omega _ {X})}$ když E je vektorový svazek.

Aby bylo možné použít tento výsledek, je nutné určit dualizační svazek explicitně, alespoň ve zvláštních případech. Když X je hladký k, ${ displaystyle omega _ {X}}$ je kanonický svazek řádků ${ displaystyle K_ {X}}$ definované výše. Obecněji, pokud X je podskupina Cohen – Macaulay z kodimenzionální r v plynulém schématu Y přes k, pak lze dualizační svazek popsat jako Ext svazek:^[5]

${ displaystyle omega _ {X} cong { mathcal {Ext}} _ {O_ {Y}} ^ {r} (O_ {X}, K_ {Y}).}$

Když X je místní úplná křižovatka codimension r v plynulém schématu Y, existuje více elementární popis: normální svazek X v Y je vektorový svazek hodností ra dualizační svazek X darováno^[6]

${ displaystyle omega _ {X} cong K_ {Y} | _ {X} otimes { bigwedge} ^ {r} (N_ {X / Y}).}$

V tomto případě, X je Cohen-Macaulayův plán s ${ displaystyle omega _ {X}}$ svazek řádků, který to říká X je Gorenstein.

Příklad: Let X být úplná křižovatka v projektivním prostoru ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n}}$ přes pole k, definované homogenními polynomy ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {r}}$ stupňů ${ displaystyle d_ {1}, ldots, d_ {r}}$. (Říci, že se jedná o úplnou křižovatku, to znamená X má rozměr ${ displaystyle n-r}$.) Existují svazky řádků Ó(d) zapnuto ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n}}$ pro celá čísla d, s vlastností, že homogenní polynomy stupně d lze zobrazit jako sekce Ó(d). Pak dualizační svazek X je svazek řádků

${ displaystyle omega _ {X} = O (d_ {1} + cdots + d_ {r} -n-1) | _ {X},}$

podle adjunkční vzorec. Například dualizační svazek rovinné křivky X stupně d je ${ displaystyle O (d-3) | _ {X}}$.

Komplexní moduly Calabi – Yau trojnásobné

Zejména můžeme vypočítat počet složitých deformací rovných ${ displaystyle dim (H ^ {1} (X, TX))}$ pro kvintický trojnásobek ${ displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$, odrůda Calabi – Yau, používající Serre dualitu. Protože vlastnost Calabi – Yau zajišťuje ${ displaystyle K_ {X} cong { mathcal {O}} _ {X}}$ Serre dualita nám to ukazuje ${ displaystyle H ^ {1} (X, TX) cong H ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X} otimes Omega _ {X}) cong H ^ {2} (X, Omega _ {X})}$ ukazující počet komplexních modulů se rovná ${ displaystyle h ^ {2,1}}$ v diamantu Hodge. Samozřejmě, že poslední výrok závisí na Bogomolev-Tian-Todorovově větě, která uvádí, že každá deformace na Calabi-Yau je bez překážek.

Grothendieckova dualita

Grothendieckova teorie koherentní dualita je široké zobecnění Serre duality s použitím jazyka odvozené kategorie. Pro jakékoli schéma X konečného typu nad polem k, existuje objekt ${ displaystyle omega _ {X} ^ { odrážka}}$ omezené odvozené kategorie koherentních svazků na X, ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$, volal komplexizace z X přes k. Formálně, ${ displaystyle omega _ {X} ^ { odrážka}}$ je výjimečný inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {!} O_ {Y}}$, kde F je daný morfismus ${ displaystyle X to Y = operatorname {Spec} (k)}$. Když X je Cohen – Macaulay čisté dimenze n, ${ displaystyle omega _ {X} ^ { odrážka}}$ je ${ displaystyle omega _ {X} [n]}$; to znamená, že jde o dualizační svazek diskutovaný výše, který je považován za komplex v (cohomologickém) stupni -n. Zejména když X je hladký k, ${ displaystyle omega _ {X} ^ { odrážka}}$ je kanonický svazek čar umístěný ve stupních -n.

Pomocí dualizačního komplexu Serre dualita zobecňuje na jakékoli správné schéma X přes k. Jmenovitě existuje přirozený izomorfismus konečně-dimenzionálního k-vektorové mezery

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {X} (E, omega _ {X} ^ { bullet}) cong operatorname {Hom} _ {X} (O_ {X}, E) ^ {*} }$

pro jakýkoli objekt E v ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$.^[7]

Obecněji, pro správné schéma X přes k, objekt E v ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$, a F A dokonalý komplex v ${ displaystyle D _ { operatorname {perf}} (X)}$, jeden má elegantní prohlášení:

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {X} (E, F otimes omega _ {X} ^ { bullet}) cong operatorname {Hom} _ {X} (F, E) ^ {*} .}$

Tenzorový produkt zde znamená odvozený tenzorový produkt, jak je v odvozených kategoriích přirozené. (Pro srovnání s předchozími formulacemi si to povšimněte ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, omega _ {X})}$ lze zobrazit jako ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {X} (E, omega _ {X} [i])}$.) Když X je také hladký k, každý objekt v ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ je dokonalý komplex, a tak tato dualita platí pro všechny E a F v ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$. Výše uvedené prohlášení je pak shrnuto tak, že se to říká ${ displaystyle F mapsto F otimes omega _ {X} ^ { odrážka}}$ je Serre funktor na ${ displaystyle D _ { operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ pro X hladké a správné k.^[8]

Serre dualita platí obecněji pro správné algebraické prostory přes pole.^[9]

Poznámky

Reference

• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157, OCLC  13348052
• Hartshorne, Robine (1966), Zbytky a dualitaPřednášky z matematiky, 20, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03603-6, PAN  0222093
• „Dualita“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Huybrechts, Daniel (2005), Složitá geometrie, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-21290-6, PAN  2093043
• Huybrechts, Daniel (2006), Fourier – Mukai se transformuje v algebraické geometrii, Oxford University Press, ISBN  978-0199296866, PAN  2244106
• Serre, Jean-Pierre (1955), „Un théorème de dualité“, Commentarii Mathematici Helvetici, 29: 9–26, doi:10.1007 / BF02564268, PAN  0067489
• Tate, Johne (1968), "Zbytky diferenciálů na křivkách" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 1: 149–159, doi:10,24033 / asens.1162, ISSN  0012-9593, PAN  0227171

externí odkazy

• Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project