Nadkategorie - Overcategory - Wikipedia

Konkrétně v matematice teorie kategorií, nadkategorie (a podkategorie) je rozlišovací třída Kategorie používá se ve více kontextech, například s krycí prostory (espace etale). Byly zavedeny jako mechanismus pro sledování dat obklopujících pevný objekt ${ displaystyle X}$ v nějaké kategorii ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Existuje dvojí pojem podkategorie, který je definován podobně.

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ být kategorií a ${ displaystyle X}$ pevný předmět ${ displaystyle { mathcal {C}}}$^{[1]str. 59}. The podkategorie (také nazývaný a kategorie plátek) ${ displaystyle { mathcal {C}} / X}$ je přidružená kategorie, jejíž objekty jsou páry ${ displaystyle ( pi, A)}$ kde ${ displaystyle pi: A až X}$ je morfismus v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Poté morfismus mezi objekty ${ displaystyle f: ( pi, A) to ( pi ', A')}$ je dán morfismem ${ displaystyle f: A až A '}$ v kategorii ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ tak, že následující diagram dojíždí

${ displaystyle { begin {matrix} A & xrightarrow {f} & A ' pi downarrow { text {}} & { text {}} & { text {}} downarrow pi' X & = & X end {matrix}}}$

Existuje dvojí pojem nazvaný podkategorie (také se nazývá kategorie koslice) ${ displaystyle X / { mathcal {C}}}$ jejichž objekty jsou páry ${ displaystyle ( psi, B)}$ kde ${ displaystyle psi: X až B}$ je morfismus v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Pak morfismy dovnitř ${ displaystyle X / { mathcal {C}}}$ jsou dány morfismy ${ displaystyle g: B až B '}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ tak, že následující diagram dojíždí

${ displaystyle { begin {matrix} X & = & X psi downarrow { text {}} & { text {}} & { text {}} downarrow psi ' B & xrightarrow {g } & B ' end {matrix}}}$

Tyto dva pojmy mají zobecnění v Teorie dvou kategorií^[2] a teorie vyšších kategorií^{[3]str. 43}, s definicemi analogickými nebo v zásadě stejnými.

Vlastnosti

Mnoho kategorických vlastností ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ jsou zděděny přidruženými nad a podkategoriemi objektu ${ displaystyle X}$. Například pokud ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ má konečný produkty a koprodukty, kategorie jsou okamžité ${ displaystyle { mathcal {C}} / X}$ a ${ displaystyle X / { mathcal {C}}}$ mají tyto vlastnosti, protože produkt a koprodukt lze zabudovat ${ displaystyle { mathcal {C}}}$a prostřednictvím univerzálních vlastností existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle X}$ nebo z ${ displaystyle X}$. Navíc to platí pro limity a kolimity také.

Příklady

Nadkategorie na webu

Připomeňme, že a stránky ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je kategorické zobecnění topologického prostoru poprvé zavedeného Grothendieck. Jeden z kanonických příkladů pochází přímo z topologie, kde je kategorie ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ jejichž objekty jsou otevřené podmnožiny ${ displaystyle U}$ nějakého topologického prostoru ${ displaystyle X}$a morfismy jsou dány inkluzními mapami. Potom pro pevnou otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U}$, podkategorie ${ displaystyle { text {Open}} (X) / U}$ je kanonicky ekvivalentní kategorii ${ displaystyle { text {Open}} (U)}$ pro indukovanou topologii zapnutou ${ displaystyle U subseteq X}$. Je to proto, že každý objekt v ${ displaystyle { text {Open}} (X) / U}$ je otevřená podmnožina ${ displaystyle V}$ obsaženo v ${ displaystyle U}$.

Kategorie algeber jako podkategorie

Kategorie komutativního ${ displaystyle A}$-algebry je ekvivalentní podkategorii ${ displaystyle A / { text {CRing}}}$ pro kategorii komutativních prstenů. Je to proto, že struktura ${ displaystyle A}$-algebra na komutativním kruhu ${ displaystyle B}$ je přímo kódován prstencovým morfismem ${ displaystyle A až B}$. Pokud vezmeme v úvahu opačnou kategorii, jedná se o nadkategorii afinních schémat, ${ displaystyle { text {Aff}} / { text {Spec}} (A)}$, nebo prostě ${ displaystyle { text {Aff}} _ {A}}$.

Nadkategorie prostorů

Další běžnou nadkategorií uvažovanou v literatuře jsou nadkategorie prostorů, jako jsou schémata, plynulá potrubí nebo topologické prostory. Tyto kategorie kódují objekty ve vztahu k pevnému objektu, jako je například kategorie schémat ${ displaystyle S}$, ${ displaystyle { text {Sch}} / S}$. Výrobky z vláken v těchto kategoriích lze považovat průsečíky, protože objekty jsou podobjekty fixního objektu.

Viz také

• Kategorie čárky

Reference