Lepicí axiom - Gluing axiom

v matematika, lepení axiomu je zaveden k definování toho, co a snop ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na topologický prostor ${ displaystyle X}$ musí uspokojit, vzhledem k tomu, že se jedná o a předheaf, což je podle definice a kontravariantní funktor

${ displaystyle { mathcal {F}}: { mathcal {O}} (X) rightarrow C}$

do kategorie ${ displaystyle C}$ který zpočátku bere jako kategorie sad. Tady ${ displaystyle { mathcal {O}} (X)}$ je částečná objednávka z otevřené sady z ${ displaystyle X}$ objednáno někým inkluzní mapy; a považována za kategorii standardním způsobem s jedinečným morfismus

${ displaystyle U rightarrow V}$

-li ${ displaystyle U}$ je podmnožina z ${ displaystyle V}$a nic jiného.

Jak je formulováno v snop článku, existuje určitý axiom ${ displaystyle F}$ musí uspokojit, pro každého otevřete kryt otevřené sady ${ displaystyle X}$. Například vzhledem k otevřeným sadám ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ s svaz ${ displaystyle X}$ a průsečík ${ displaystyle W}$, požadovanou podmínkou je, že

${ displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ je podmnožinou ${ displaystyle { mathcal {F}} (U) krát { mathcal {F}} (V)}$ Se stejným obrazem v ${ displaystyle { mathcal {F}} (W)}$

V méně formálním jazyce, a sekce ${ displaystyle s}$ z ${ displaystyle F}$ přes ${ displaystyle X}$ je stejně dobře dána dvojicí sekcí:${ displaystyle (s ', s' ')}$ na ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ respektive, které „souhlasí“ v tom smyslu, že ${ displaystyle s '}$ a ${ displaystyle s '}}$ mít společný obraz v ${ displaystyle { mathcal {F}} (W)}$ podle příslušných map omezení

${ displaystyle { mathcal {F}} (U) rightarrow { mathcal {F}} (W)}$

a

${ displaystyle { mathcal {F}} (V) rightarrow { mathcal {F}} (W)}$.

První hlavní překážkou v teorii svazků je vidět to lepení nebo záplatování axiom je správná abstrakce od obvyklé myšlenky v geometrických situacích. Například a vektorové pole je část a tečný svazek na hladké potrubí; to říká, že vektorové pole na spojení dvou otevřených množin je (ne více a méně než) vektorové pole na dvou množinách, které se shodují, kde se překrývají.

Vzhledem k tomuto základnímu porozumění existují v teorii další problémy a některým se zde budeme věnovat. Jiný směr je směr Grothendieckova topologie, a dalším je logický stav „místní existence“ (viz Kripke – Joyal sémantika ).

Odstranění omezení na C

Přeformulovat tuto definici způsobem, který bude fungovat v jakékoli kategorii ${ displaystyle C}$ který má dostatečnou strukturu, upozorňujeme, že můžeme objekty a morfismy zahrnuté ve výše uvedené definici zapsat do diagramu, který budeme nazývat (G), pro „lepení“:

${ displaystyle { mathcal {F}} (U) rightarrow prod _ {i} { mathcal {F}} (U_ {i}) {{{}} na vrcholu longrightarrow} na vrcholu { longrightarrow na vrcholu {}}} prod _ {i, j} { mathcal {F}} (U_ {i} cap U_ {j})}$

Zde je první mapa výsledkem restrikčních map

${ displaystyle {res} _ {U, U_ {i}}: { mathcal {F}} (U) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i})}$

a každá dvojice šipek představuje dvě omezení

${ displaystyle res_ {U_ {i}, U_ {i} cap U_ {j}}: { mathcal {F}} (U_ {i}) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i} čepice U_ {j})}$

a

${ displaystyle res_ {U_ {j}, U_ {i} cap U_ {j}}: { mathcal {F}} (U_ {j}) rightarrow { mathcal {F}} (U_ {i} čepice U_ {j})}$.

Stojí za zmínku, že tyto mapy vyčerpávají všechny možné mapy omezení mezi nimi ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle U_ {i}}$a ${ displaystyle U_ {i} čepice U_ {j}}$.

Podmínka pro ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ být snopem je přesně to ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je omezit diagramu. To naznačuje správnou formu axiomu lepení:

Předsporu ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je svazek, pokud pro jakoukoli otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ a jakoukoli sbírku otevřených sad ${ displaystyle {U_ {i} } _ {i v I}}$ jehož svazek je ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ je limit výše uvedeného diagramu (G).

Jeden způsob, jak porozumět axiomu lepení, je všimnout si, že „neaplikující“ ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ až (G) poskytuje následující diagram:

${ displaystyle coprod _ {i, j} U_ {i} cap U_ {j} {{{}} na vrcholu longrightarrow} na vrcholu { longrightarrow na vrcholu {}}} coprod _ {i} U_ {i } rightarrow U}$

Tady ${ displaystyle U}$ je colimit tohoto diagramu. To říká lepicí axiom ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ mění kolimity takových diagramů na limity.

Snopy na základě otevřených sad

V některých kategoriích je možné vytvořit svazek zadáním pouze některých jeho sekcí. Přesněji řečeno ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem s základ ${ displaystyle {B_ {i} } _ {i v I}}$. Můžeme definovat kategorii Ó′(X) být úplnou podkategorií ${ displaystyle { mathcal {O}} (X)}$ jejichž objekty jsou ${ displaystyle {B_ {i} }}$. A B-svazek na ${ displaystyle X}$ s hodnotami v ${ displaystyle C}$ je kontravariantní funktor

${ displaystyle { mathcal {F}}: { mathcal {O}} '(X) rightarrow C}$

který splňuje axiom lepení pro sady v ${ displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$. To znamená, že na výběr otevřených sad ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ specifikuje všechny části svazku a na ostatních otevřených sadách je neurčeno.

B-kladky jsou ekvivalentní s kladkami (to znamená, že kategorie kladek je ekvivalentní s kategorií B-kladek).^[1] Zjevně snop ${ displaystyle X}$ lze omezit na B-svazek. V opačném směru, vzhledem k B-svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ musíme určit úseky ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na ostatní objekty ${ displaystyle { mathcal {O}} (X)}$. Chcete-li to provést, nezapomeňte, že pro každou otevřenou sadu ${ displaystyle U}$, můžeme najít sbírku ${ displaystyle {B_ {j} } _ {j v J}}$ jehož svazek je ${ displaystyle U}$. Kategoricky vzato, tato volba dělá ${ displaystyle U}$ colimit celé podkategorie ${ displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$ jejichž objekty jsou ${ displaystyle {B_ {j} } _ {j v J}}$. Od té doby ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je kontrariantní, definujeme ${ displaystyle { mathcal {F}} '(U)}$ být omezit z ${ displaystyle {{ mathcal {F}} (B) } _ {j v J}}$ s ohledem na mapy omezení. (Zde musíme předpokládat, že tento limit existuje v ${ displaystyle C}$.) Pokud ${ displaystyle U}$ je tedy základní otevřená sada ${ displaystyle U}$ je koncový objekt výše uvedené podkategorie ${ displaystyle { mathcal {O}} '(X)}$, a tedy ${ displaystyle { mathcal {F}} '(U) = { mathcal {F}} (U)}$. Proto, ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ rozšiřuje ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na presheaf na ${ displaystyle X}$. To lze ověřit ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ je svazek, v podstatě proto, že každý prvek každého otevřeného krytu ${ displaystyle X}$ je spojení základních prvků (podle definice základu) a každý párový průnik prvků v otevřené obálce ${ displaystyle X}$ je spojení základních prvků (opět definicí základu).

Logika C

První potřeby teorie svazků byly pro svazky abelianské skupiny; takže vezmeme kategorii ${ displaystyle C}$ jako kategorie abelianských skupin bylo jen přirozené. Například v aplikacích pro geometrii složité potrubí a algebraická geometrie, myšlenka a svazek z místní prsteny je ústřední. To však není úplně totéž; jeden mluví místo a místně prstencový prostor, protože není pravda, s výjimkou drobných případů, že takový svazek je funktorem do kategorie místních prstenů. To je stonky snopu, což jsou místní prsteny, ne sbírky sekce (což jsou prsteny, ale obecně nejsou blízko k bytí místní). Můžeme myslet na místně prstencový prostor ${ displaystyle X}$ jako parametrizovaná rodina místních prstenů, v závislosti na ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle X}$.

Pečlivější diskuse zde rozptýlí jakékoli tajemství. Dá se volně mluvit o svazku abelianských skupin nebo prstenů, protože to jsou algebraické struktury (definováno, pokud to trvá, explicitní podpis ). Libovolná kategorie ${ displaystyle C}$ mít konečné výrobky podporuje myšlenku a skupinový objekt, které někteří raději nazývají pouze skupinou v ${ displaystyle C}$. V případě tohoto druhu čistě algebraické struktury můžeme mluvit buď svazku s hodnotami v kategorii abelianských skupin nebo an abelian skupina v kategorii snopy sad; to opravdu nevadí.

V místním prstenovém případě na tom záleží. Na základní úrovni musíme použít druhý styl definice, abychom popsali, co znamená místní prsten v kategorii. To je logická záležitost: axiomy pro místní kruh vyžadují použití existenční kvantifikace ve formě pro všechny ${ displaystyle r}$ v kruhu, jeden z ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle 1-r}$ je invertibilní. To umožňuje určit, co by měl být „místní kruh v kategorii“, v případě, že kategorie podporuje dostatečnou strukturu.

Sheafifikace

Chcete-li otočit daný presheaf ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ do svazku ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, existuje standardní zařízení s názvem sheafifikace nebo sheading. Hrubá intuice toho, co by člověk měl dělat, alespoň pro předkupu množin, je zavést vztah ekvivalence, který zjemní ekvivalentní data poskytovaná různými obaly na překrytích. Jedním z přístupů je tedy jít do stonky a obnovit svazek prostoru z nejlepší možné snop ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ vyrobeno z ${ displaystyle { mathcal {P}}}$.

Toto použití jazyka silně naznačuje, že zde máme co do činění adjunkční funktory. Proto má smysl pozorovat, že snopy pokračují ${ displaystyle X}$ tvoří a celá podkategorie presheaves na ${ displaystyle X}$. Implicitní v tom je tvrzení, že a morfismus snopů není nic víc než a přirozená transformace snopy, považované za funktory. Proto získáme abstraktní charakterizaci sheafifikace jako vlevo adjoint k zařazení. V některých aplikacích je přirozeně potřeba popis.

V abstraktnějším jazyce se svazuje dál ${ displaystyle X}$ tvoří a reflexní podkategorie presheea (Mac Lane -Moerdijk Snopy v geometrii a logice str. 86). v teorie topos, pro Lawvere – Tierneyova topologie a jeho snopy existuje analogický výsledek (tamtéž, s. 227).

Jiné lepicí axiomy

Lepicí axiom teorie svazků je poměrně obecný. Lze si všimnout, že Mayer – Vietoris axiom z teorie homotopy je například speciální případ.

Viz také

• Lepicí schémata

Poznámky

Reference

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.