Správná mapa - Proper map

Nechat ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ být uzavřená mapa, taková ${ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ je kompaktní (v X) pro všechny ${ displaystyle y v Y}$. Nechat ${ displaystyle K}$ být kompaktní podmnožinou ${ displaystyle Y}$. To ukážeme ${ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ je kompaktní.

Nechat ${ displaystyle {U _ { lambda} vert lambda v Lambda }}$ být otevřeným krytem ${ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$. Pak pro všechny ${ displaystyle k v K}$ toto je také otevřená obálka ${ displaystyle f ^ {- 1} (k)}$. Vzhledem k tomu, že se předpokládá, že je kompaktní, má konečnou subcover. Jinými slovy pro všechny ${ displaystyle k v K}$ existuje konečná množina ${ displaystyle gamma _ {k} podmnožina Lambda}$ takhle ${ displaystyle f ^ {- 1} (k) podmnožina pohár _ { lambda v gamma _ {k}} U _ { lambda}}$Sada ${ displaystyle X setminus cup _ { lambda in gamma _ {k}} U _ { lambda}}$ je zavřený. Jeho obraz je uzavřen v Y, protože f je uzavřená mapa. Proto ta sada

${ displaystyle V_ {k} = Y setminus f (X setminus cup _ { lambda in gamma _ {k}} U _ { lambda})}$ je otevřený v Y. Je snadné to zkontrolovat ${ displaystyle V_ {k}}$ obsahuje bod ${ displaystyle k}$.Nyní ${ displaystyle K podmnožina pohár _ {k v K} V_ {k}}$ a protože K. se předpokládá, že je kompaktní, existuje konečně mnoho bodů ${ displaystyle k_ {1}, tečky, k_ {s}}$ takhle ${ displaystyle K podmnožina pohár _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}}$. Dále sada ${ displaystyle Gamma = pohár _ {i = 1} ^ {s} gamma _ {k_ {i}}}$ je konečná unie konečných množin ${ displaystyle Gamma}$ je konečný.

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle f ^ {- 1} (K) podmnožina f ^ {- 1} ( pohár _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}) podmnožina pohár _ { lambda v Gamma} U _ { lambda}}$ a našli jsme konečnou dílčí část ${ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$, který doplňuje důkaz.