Smíšená Hodgeova struktura - Mixed Hodge structure

v algebraická geometrie, a smíšená Hodgeova struktura je algebraická struktura obsahující informace o kohomologie obecně algebraické odrůdy. Jedná se o zobecnění a Hodgeova struktura, který se používá ke studiu hladký projektivní odrůdy.

Ve smíšené Hodgeově teorii, kde dochází k rozkladu kohomologické skupiny ${ displaystyle H ^ {k} (X)}$ může mít podprostory různých hmotností, tj. jako a přímý součet Hodgeových struktur

${ displaystyle H ^ {k} (X) = bigoplus _ {i} (H_ {i}, F_ {i} ^ { odrážka))}$

kde každá z Hodgeových struktur má váhu ${ displaystyle k_ {i}}$. Jeden z prvních náznaků, že by takové struktury měly existovat, pochází z dlouhá přesná sekvence dvojice hladkých projektivních odrůd ${ displaystyle Y podmnožina X}$. Skupiny kohomologie ${ displaystyle H_ {c} ^ {i} (U)}$ (pro ${ displaystyle U = X-Y}$) by měly mít různé váhy pocházející z obou ${ displaystyle H ^ {i} (X)}$ a ${ displaystyle H ^ {i + 1} (Y)}$.

Motivace

Původně, Hodgeovy struktury byly zavedeny jako nástroj pro sledování abstraktních Hodgeových rozkladů na kohomologických skupinách hladký projektivní algebraické odrůdy. Tyto struktury poskytly geometrům nové nástroje pro studium algebraické křivky, tak jako Torelliho věta, Abelianské odrůdy a kohomologie hladkých projektivních odrůd. Jedním z hlavních výsledků pro výpočet Hodgeových struktur je explicitní rozklad kohomologických skupin hladkých hyperplošin pomocí vztahu mezi Jacobian ideální a Hodgeův rozklad plynulého projektivu nadpovrch přes Griffithova věta o reziduích. Přenesení tohoto jazyka na hladké neprojektivní odrůdy a singulární odrůdy vyžaduje koncept smíšených Hodgeových struktur.

Definice

A smíšená Hodgeova struktura^[1] (MHS) je trojnásobek ${ displaystyle (H _ { mathbb {Z}}, W _ { bullet}, F ^ { bullet})}$ takhle

1. ${ displaystyle H _ { mathbb {Z}}}$ je ${ displaystyle mathbb {Z}}$-modul konečného typu
2. ${ displaystyle W _ { bullet}}$ se zvyšuje ${ displaystyle mathbb {Z}}$-filtrace na ${ displaystyle H _ { mathbb {Q}} = H _ { mathbb {Z}} otimes mathbb {Q}}$, ${ displaystyle cdots podmnožina W_ {0} podmnožina W_ {1} podmnožina W_ {2} podmnožina cdots}$
3. ${ displaystyle F ^ { bullet}}$ je klesající ${ displaystyle mathbb {N}}$-filtrace zapnuta ${ displaystyle H _ { mathbb {C}}}$, ${ displaystyle H _ { mathbb {C}} = F ^ {0} supset F ^ {1} supset F ^ {2} supset cdots}$

kde indukovaná filtrace ${ displaystyle F ^ { bullet}}$ na odstupňované kousky

${ displaystyle { text {Gr}} ^ {W _ { bullet}} H _ { mathbb {Q}} = { frac {W_ {k} H _ { mathbb {Q}}} {W_ {k-1 } H _ { mathbb {Q}}}}}$

jsou čisté Hodgeovy struktury hmotnosti ${ displaystyle k}$.

Poznámka k filtraci

Všimněte si, že podobně jako Hodgeovy struktury, smíšené Hodgeovy struktury používají filtraci namísto přímého rozkladu součtu, protože kohomologické skupiny s antiholomorfními termíny, ${ displaystyle H ^ {p, q}}$ kde ${ displaystyle q> 0}$, nemění se holomorfně. Filtrace se však mohou holomorfně měnit, což dává lépe definovanou strukturu.

Morfismy smíšených Hodgeových struktur

Morfismy smíšených Hodgeových struktur jsou definovány mapami abelianských skupin

${ displaystyle f: (H _ { mathbb {Z}}, W _ { bullet}, F ^ { bullet}) to (H _ { mathbb {Z}} ', W _ { bullet}', F ' ^ { bullet})}$

takhle

${ displaystyle f (W_ {l}) podmnožina W '_ {l}}$

a indukovaná mapa ${ displaystyle mathbb {C}}$-vektorové mezery mají tuto vlastnost

${ displaystyle f _ { mathbb {C}} (F ^ {p}) podmnožina F '^ {p}}$

Další definice a vlastnosti

Hodge čísla

Hodgeova čísla MHS jsou definována jako rozměry

${ displaystyle h ^ {p, q} (H _ { mathbb {Z}}) = dim _ { mathbb {C}} { text {Gr}} _ {F ^ { bullet}} ^ {p } { text {Gr}} _ {p + q} ^ {W _ { bullet}} H _ { mathbb {C}}}$

od té doby ${ displaystyle { text {Gr}} _ {p + q} ^ {W _ { bullet}} H _ { mathbb {C}}}$ je váha ${ displaystyle (p + q)}$ Hodgeova struktura a

${ displaystyle { text {Gr}} _ {p} ^ {F ^ { bullet}} = { frac {F ^ {p}} {F ^ {p + 1}}}}$

je ${ displaystyle (p, q)}$složka závaží ${ displaystyle (p + q)}$ Hodgeova struktura.

Homologické vlastnosti

Tady je Abelian kategorie^[2] smíšených Hodgeových struktur, které mizely ${ displaystyle { text {Ext}}}$-skupiny, kdykoli je cohomologický stupeň větší než ${ displaystyle 1}$: to znamená vzhledem ke smíšeným strukturám Hodge ${ displaystyle (H _ { mathbb {Z}}, W _ { bullet}, F ^ { bullet}), (H _ { mathbb {Z}} ', W _ { bullet}', F '^ { odrážka})}$ skupiny

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {MHS} ^ {p} ((H _ { mathbb {Z}}, W _ { bullet}, F ^ { bullet}), (H _ { mathbb {Z}} ', W _ { bullet}', F '^ { bullet})) = 0}$

pro ${ displaystyle p geq 2}$^{[2]str. 83}.

Smíšené Hodgeovy struktury na dvoufiltrovaných komplexech

Mnoho smíšených Hodgeových struktur může být postaveno z bifiltrovaného komplexu. To zahrnuje doplňky hladkých odrůd definované doplňkem normální křížené odrůdy a log cohomology. Vzhledem ke komplexu snopy abelianských skupin ${ displaystyle A ^ { bullet}}$ a filtrace ${ displaystyle W _ { bullet}, F ^ { bullet}}$^[1] komplexu, význam

${ displaystyle { begin {aligned} d (W_ {i} A ^ { bullet}) & podmnožina W_ {i} A ^ { bullet} d (F ^ {i} A ^ { bullet} ) & podmnožina F ^ {i} A ^ { bullet} end {zarovnáno}}}$

Na internetu je indukovaná smíšená Hodgeova struktura hyperhomologie skupiny

${ displaystyle ( mathbb {H} ^ {k} (X, A ^ { bullet}), W _ { bullet}, F ^ { bullet})}$

z bi-filtrovaného komplexu ${ displaystyle (A ^ { bullet}, W _ { bullet}, F ^ { bullet})}$. Takový dvoufiltrovaný komplex se nazývá a smíšený Hodge komplex^[1]:23

Logaritmický komplex

Vzhledem k hladké rozmanitosti ${ displaystyle U podmnožina X}$ kde ${ displaystyle D = X-U}$ je normální dělicí křížení (to znamená, že všechny průsečíky komponent jsou kompletní křižovatky ), na log cohomology komplex ${ displaystyle Omega _ {X} ^ { bullet} ( log D)}$ dána

${ displaystyle { begin {zarovnáno} W_ {m} Omega _ {X} ^ {i} ( log D) & = { begin {cases} Omega _ {X} ^ {i} ( log D ) & { text {if}} i leq m Omega _ {X} ^ {im} wedge Omega _ {X} ^ {m} ( log D) & { text {if}} 0 leq m leq i 0 & { text {if}} m <0 end {cases}} [6pt] F ^ {p} Omega _ {X} ^ {i} ( log D ) & = { begin {cases} Omega _ {X} ^ {i} ( log D) & { text {if}} p leq i 0 & { text {jinak}} end {případy }} end {zarovnáno}}}$

Ukázalo se, že tyto filtrace definují přirozenou smíšenou Hodgeovu strukturu na kohomologické skupině ${ displaystyle H ^ {n} (U, mathbb {C})}$ ze smíšeného Hodgeova komplexu definovaného na logaritmickém komplexu ${ displaystyle Omega _ {X} ^ { bullet} ( log D)}$.

Hladké zhutnění

Výše uvedená konstrukce logaritmického komplexu se vztahuje na každou hladkou odrůdu; a smíšená Hodgeova struktura je isomorfní za každé takovéto kompaktifikace. Poznámka a hladké zhutnění hladké odrůdy ${ displaystyle U}$ je definována jako hladká odrůda ${ displaystyle X}$ a vložení ${ displaystyle U hookrightarrow X}$ takhle ${ displaystyle D = X-U}$ je normální dělitel přechodu. To znamená, vzhledem k kompaktifikaci ${ displaystyle U podmnožina X, X '}$ s hraničními děliteli ${ displaystyle D = X-U, { text {}} D '= X'-U}$existuje izomorfismus smíšené Hodgeovy struktury

${ displaystyle ( mathbb {H} ^ {k} (X, Omega _ {X} ^ { bullet} ( log D)), W _ { bullet}, F ^ { bullet})}$${ displaystyle ( mathbb {H} ^ {k} (X ', Omega _ {X'} ^ { bullet} ( log D ')), W _ { bullet}, F ^ { bullet}) }$

ukazující smíšenou Hodgeovu strukturu je při plynulém zhutnění neměnná.^[2]

Příklad

Například na rodu ${ displaystyle 0}$ rovinná křivka ${ displaystyle C}$ logaritmická kohomologie ${ displaystyle C}$ s normálním dělitelem přechodu ${ displaystyle {p_ {1}, ldots, p_ {k} }}$ s ${ displaystyle k geq 1}$ lze snadno vypočítat^[3] od podmínek komplexu ${ displaystyle Omega _ {C} ^ { bullet} ( log D)}$ rovná

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {C} xrightarrow {d} Omega _ {C} ^ {1} ( log D)}$

jsou acyklické. Potom je hyperkohomologie spravedlivá

${ displaystyle Gamma ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}}) xrightarrow {d} Gamma ( Omega _ { mathbb {P} ^ {1}} ( protokol D))}$

první vektorový prostor jsou jen konstantní úseky, proto je diferenciál nulová mapa. Druhý je vektorový prostor isomorfní s vektorovým prostorem překlenutým pomocí

${ displaystyle mathbb {C} cdot { frac {dx} {x-p_ {1}}} oplus cdots oplus mathbb {C} { frac {dx} {x-p_ {k-1 }}}}$

Pak ${ displaystyle mathbb {H} ^ {1} ( Omega _ {C} ^ {1} ( log D))}$ má váhu ${ displaystyle 2}$ smíšená Hodgeova struktura a ${ displaystyle mathbb {H} ^ {0} ( Omega _ {C} ^ {1} ( log D))}$ má váhu ${ displaystyle 0}$ smíšená Hodgeova struktura.

Příklady

Doplněk plynulé projektivní odrůdy o uzavřenou podrodinu

Vzhledem k plynulé projektivní rozmanitosti ${ displaystyle X}$ dimenze ${ displaystyle n}$ a uzavřená podrodina ${ displaystyle Y podmnožina X}$ v cohomologii existuje dlouhá přesná sekvence^{[4]str. 7-8}

${ displaystyle cdots až H_ {c} ^ {m} (U; mathbb {Z}) až H ^ {m} (X; mathbb {Z}) až H ^ {m} (Y; mathbb {Z}) to H_ {c} ^ {m + 1} (U; mathbb {Z}) to cdots}$

pocházející z rozlišovací trojúhelník

${ displaystyle mathbf {R} j _ {!} mathbb {Z} _ {U} to mathbb {Z} _ {X} to i _ {*} mathbb {Z} _ {Y} xrightarrow { [+1]}}$

z konstruovatelné snopy. Existuje další dlouhá přesná sekvence

${ displaystyle cdots do H_ {2n-m} ^ {BM} (Y; mathbb {Z}) (- n) do H ^ {m} (X; mathbb {Z}) do H ^ {m} (U; mathbb {Z}) do H_ {2n-m-1} ^ {BM} (U; mathbb {Z}) (- n) do cdots}$

z rozlišovacího trojúhelníku

${ displaystyle i _ {*} i ^ {!} mathbb {Z} _ {X} to mathbb {Z} _ {X} to mathbf {R} j _ {*} mathbb {Z} _ { U} xrightarrow {[+1]}}$

kdykoli ${ displaystyle X}$ je hladký. Všimněte si skupin homologie ${ displaystyle H_ {k} ^ {BM} (X)}$ se nazývají Homologie Borel – Moore, které jsou duální na cohomologii pro obecné prostory a ${ displaystyle (n)}$ znamená tenzorování se strukturou Tate ${ displaystyle mathbb {Z} (1) ^ { mnohokrát}}$ přidat váhu ${ displaystyle -2n}$ k filtraci hmotnosti. Hypotéza hladkosti je nutná, protože Vernější dualita naznačuje ${ displaystyle i ^ {!} D_ {X} = D_ {Y}}$, a ${ displaystyle D_ {X} cong mathbb {Z} _ {X} [2n]}$ kdykoli ${ displaystyle X}$ je hladký. Také dualizační komplex pro ${ displaystyle X}$ má váhu ${ displaystyle n}$, proto ${ displaystyle D_ {X} cong mathbb {Z} _ {X} [2n] (n)}$. Také mapy z homologie Borel-Moore musí být zkroucené až o váhu ${ displaystyle (n)}$ je objednávka, aby měla mapu ${ displaystyle H ^ {m} (X)}$. Existuje také perfektní párování

${ displaystyle H_ {2n-m} ^ {BM} (Y) krát H ^ {m} (Y) do mathbb {Z}}$

což dává izomofismus obou skupin.

Algebraický torus

Jednorozměrný algebraický torus ${ displaystyle mathbb {T}}$ je isomorfní s odrůdou ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1} - {0, infty }}$, proto jsou jeho kohomologické skupiny izomorfní

${ displaystyle { begin {zarovnáno} H ^ {0} ( mathbb {T}) oplus H ^ {1} ( mathbb {T}) & cong mathbb {Z} oplus mathbb {Z} end {zarovnáno}}}$

Pak se přečte dlouhá přesná přesná sekvence

${ displaystyle { begin {matrix} & H_ {0} ^ {BM} (Y) (1) až H ^ {2} ( mathbb {P} ^ {1}) až H ^ {2} ( mathbb {G} _ {m}) to 0 & H_ {1} ^ {BM} (Y) (1) to H ^ {1} ( mathbb {P} ^ {1}) to H ^ {1} ( mathbb {G} _ {m}) to { text {}} & H_ {2} ^ {BM} (Y) (1) to H ^ {0} ( mathbb {P } ^ {1}) to H ^ {0} ( mathbb {G} _ {m}) to { text {}} end {matrix}}}$

Od té doby ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbb {P} ^ {1}) = 0}$ a ${ displaystyle H ^ {2} ( mathbb {G} _ {m}) = 0}$ to dává přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až H ^ {1} ( mathbb {G} _ {m}) až H_ {0} ^ {BM} (Y) (1) až H ^ {2} ( mathbb {P } ^ {1}) do 0}$

protože u dobře definovaných map smíšených Hodgeových struktur dochází ke zkroucení vah, existuje izomorfismus

${ displaystyle H ^ {1} ( mathbb {G} _ {m}) cong mathbb {Z} (-1)}$

Povrch Quartic K3 minus křivka rodu 3

Vzhledem k tomu, křemenný povrch K3 ${ displaystyle X}$a křivka rodu 3 ${ displaystyle i: C hookrightarrow X}$ definovaný mizejícím místem generické části ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$, proto je do určité míry izomorfní ${ displaystyle 4}$ rovinná křivka, která má rod 3. Potom, Gysinová sekvence dává dlouhou přesnou sekvenci

${ displaystyle to H ^ {k-2} (C) xrightarrow { gamma _ {k}} H ^ {k} (X) xrightarrow {i ^ {*}} H ^ {k} (U) xrightarrow {R} H ^ {k-1} (C) to}$

Výsledkem však jsou mapy ${ displaystyle gamma _ {k}}$ vzít Hodge třídu typu ${ displaystyle (p, q)}$ do Hodge třídy typu ${ displaystyle (p + 1, q + 1)}$.^[5] Hodgeovy struktury pro povrch K3 i křivku jsou dobře známé a lze je vypočítat pomocí Jacobian ideální. V případě křivky existují dvě nulové mapy

${ displaystyle gamma _ {3}: H ^ {1,0} (C) až H ^ {2,1} (X) = 0}$ ${ displaystyle gamma _ {3}: H ^ {0,1} (C) až H ^ {1,2} (X) = 0}$

proto ${ displaystyle H ^ {2} (U)}$ obsahuje váhu jeden kus ${ displaystyle H ^ {1,0} (C) oplus H ^ {0,1} (C)}$. Protože ${ displaystyle H ^ {2} (X) = H _ { text {prim}} ^ {2} (X) oplus mathbb {C} cdot mathbb {L}}$ má rozměr ${ displaystyle 22}$, ale třída Leftschetz ${ displaystyle mathbb {L}}$ je zabit mapou

${ displaystyle gamma _ {2}: H ^ {0} (C) až H ^ {2} (X)}$

odesílání ${ displaystyle (0,0)}$ třída v ${ displaystyle H ^ {0} (C)}$ do ${ displaystyle (1,1)}$ třída v ${ displaystyle H ^ {2} (X)}$. Pak primitivní kohomologická skupina ${ displaystyle H _ { text {prim}} ^ {2} (X)}$ je váha 2 kus ${ displaystyle H ^ {2} (U)}$. Proto,

${ displaystyle { begin {aligned} { text {Gr}} _ {2} ^ {W _ { bullet}} H ^ {2} (U) & = H _ { text {prim}} ^ {2} (X) { text {Gr}} _ {1} ^ {W _ { bullet}} H ^ {2} (U) & = H ^ {1} (C) { text {Gr} } _ {k} ^ {W _ { bullet}} H ^ {2} (U) & = 0 & k neq 1,2 end {zarovnáno}}}$

Indukované filtrace na těchto odstupňovaných kusech jsou Hodgeovy filtrace pocházející z každé kohomologické skupiny.

Viz také

• Motiv (algebraická geometrie)
• Jacobian ideální
• Milnor vlákno
• Smíšený modul Hodge

Reference

• Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan (2015). "Úvod do Hodgeových struktur". Odrůdy Calabi-Yau: aritmetika, geometrie a fyzika. Monografie Fields Institute. 34. 83–130. arXiv:1412.8499. doi:10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN  978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589.

Příklady

• Naivní průvodce po smíšené Hodgeově teorii
• Úvod do omezení smíšených Hodgeových struktur
• Deligneova smíšená Hodgeova struktura pro projektivní odrůdy pouze s normálními křížovými singularitami

V zrcadlové symetrii

• Místní B-model a smíšená Hodgeova struktura