Smíšený modul Hodge - Mixed Hodge module

V matematice smíšené Hodgeovy moduly jsou vyvrcholením Hodgeova teorie, smíšené Hodgeovy struktury, křižovatková kohomologie a věta o rozkladu čímž se získá koherentní rámec pro diskusi o variacích degenerujících smíšených Hodgeových struktur skrz formalismus šesti funktorů. V podstatě jsou tyto objekty dvojicí filtrovaných D-modul ${displaystyle (M, F ^ {ullet})}$ společně s a zvrácený svazek ${displaystyle {mathcal {F}}}$ tak, že funktor z Riemann – Hilbertova korespondence posílá ${displaystyle (M, F ^ {ullet})}$ na ${displaystyle {mathcal {F}}}$. To umožňuje postavit a Hodgeova struktura na průnikové kohomologii, jednom z klíčových problémů, když byl předmět objeven. To vyřešil Morihiko Saito kdo našel způsob, jak použít filtraci na koherenním D-modulu jako analogii Hodgeovy filtrace pro Hodgeovu strukturu^[1]. To umožnilo dát Hodgeovu strukturu na křižovatkové kohomologické svazku, jednoduchých objektech v Abelian kategorie zvrácených snopů.

Abstraktní struktura

Než se pustíme do drobných detailů definování modulů Mixed Hodge, což je docela komplikované, je užitečné získat představu o tom, co kategorie modulů Mixed Hodge skutečně poskytuje. Vzhledem ke složité algebraické rozmanitosti ${displaystyle X}$ existuje abelianská kategorie ${displaystyle {extbf {MHM}} (X)}$^{[2]str. 339} s následujícími funkcionálními vlastnostmi

1. Tady je věrný funktor ${displaystyle {ext {rat}} _ {X}: D ^ {b} {extbf {MHM}} (X) o D_ {cs} ^ {b} (X; mathbb {Q})}$ nazývá se racionalizační funktor. To dává základní racionální perverzní svazek smíšeného Hodgeova modulu.
2. Je tu věrný funktor ${displaystyle {ext {Dmod}} _ {X}: D ^ {b} {extbf {MHM}} (X) o D_ {coh} ^ {b} ({mathcal {D}} _ {X})}$ odeslání smíšeného Hodge modulu do jeho základního D-modulu
3. Tito funktoři se chovají dobře s ohledem na Riemann-Hilbertovu korespondenci ${displaystyle DR_ {X}: D_ {Coh} ^ {b} ({mathcal {D}} _ {X}) o D_ {cs} ^ {b} (X; mathbb {C})}$, což znamená pro každý smíšený modul Hodge ${displaystyle M}$ existuje izomorfismus ${displaystyle alpha: {ext {rat}} _ {X} (M) otimes mathbb {C} xrightarrow {sim} {ext {DR}} _ {X} ({ext {Dmod}} _ {X} (M) )}$.

Kromě toho existují následující kategorické vlastnosti

1. Kategorie smíšených Hodgeových modulů nad bodem je izomorfní s kategorií smíšených Hodge struktur, ${displaystyle {extbf {MHM}} ({pt}) cong {ext {MHS}}}$
2. Každý objekt ${displaystyle M}$ v ${displaystyle {extbf {MHM}} (X)}$ připouští a filtrace hmotnosti ${displaystyle W}$ tak, že každý morfismus v ${displaystyle {extbf {MHM}} (X)}$ přísně zachovává filtraci hmotnosti, přidružené odstupňované objekty ${displaystyle {ext {Gr}} _ {k} ^ {W} (M)}$ jsou částečně jednoduché a v kategorii smíšených Hodgeových modulů nad bodem to odpovídá filtraci hmotnosti struktury Mixed Hodge.
3. Tady je dualizační funktor ${displaystyle mathbb {D} _ {X}}$ zvednutí funktoru Verdierovy vizualizace ${displaystyle D_ {cs} ^ {b} (X; mathbb {Q})}$ což je involuce ${displaystyle {extbf {MHM}} (X)}$.

Pro morfismus ${displaystyle f: X o Y}$ algebraických variet, přidružených šest funktorů na ${displaystyle D ^ {b} {extbf {MHM}} (X)}$ a ${displaystyle D ^ {b} {extbf {MHM}} (Y)}$ mají následující vlastnosti

1. ${displaystyle f _ {!}, f ^ {*}}$ nezvyšujte váhy komplexu ${displaystyle M ^ {ullet}}$ smíšených Hodgeových modulů.
2. ${displaystyle f ^ {!}, f _ {*}}$ nesnižujte váhy komplexu ${displaystyle M ^ {ullet}}$ smíšených Hodgeových modulů.

Vztah mezi odvozenými kategoriemi

Odvozená kategorie smíšených modulů Hodge ${displaystyle D ^ {b} {extbf {MHM}} (X)}$ úzce souvisí s odvozenou kategorií konstruktivních snopů ${displaystyle D_ {cs} ^ {b} (X; mathbb {Q}) cong D ^ {b} ({ext {Perv}} (X; mathbb {Q}))}$ ekvivalent odvozené kategorii perverzních snopů. Důvodem je kompatibilita funkcionálu racionalizace s funktorem kohomologie ${displaystyle H ^ {k}}$ komplexu ${displaystyle M ^ {ullet}}$ smíšených Hodgeových modulů. Při racionalizaci existuje izomorfismus

${displaystyle {ext {rat}} _ {X} (H ^ {k} (M ^ {ullet})) = {ext {}} ^ {mathbf {p}} H ^ {k} ({ext {rat} } _ {X} (M ^ {ullet}))}$

pro střední zvrácenost ${displaystyle mathbb {p}}$. Poznámka^{[2]str. 310} to je funkce ${displaystyle mathbf {p}: 2mathbb {N} o mathbb {Z}}$ odesílání ${displaystyle mathbf {p} (2k) = - k}$, který se liší od případu pseudomanonožců kde zvrácenost je funkce ${displaystyle mathbb {p}: [2, n] o mathbb {Z} _ {geq 0}}$ kde ${displaystyle mathbf {p} (2k) = mathbf {p} (2k-1) = k-1}$. Připomeňme, že toto je definováno jako převzetí složení perverzních zkrácení funktorem posunu, tak^{[2]str. 341}

${displaystyle {ext {}} ^ {mathbf {p}} H ^ {k} ({ext {rat}} _ {X} (M ^ {ullet})) = {ext {}} ^ {mathbf {p} } au _ {leq 0} {ext {}} ^ {mathbf {p}} au _ {geq 0} ({ext {rat}} _ {X} (M ^ {ullet}) [+ k])}$

Tento druh nastavení se odráží také v odvozených funktorech push a pull ${displaystyle f _ {!}, f ^ {*}, f ^ {!}, f _ {*}}$ as blízkými a mizejícími cykly ${displaystyle psi _ {f}, phi _ {f}}$, racionalizační funktor je vezme do svých analogických perverzních funktorů na odvozené kategorii perverzních snopů.

Tate moduly a kohomologie

Zde označíme kanonickou projekci do bodu o ${displaystyle p: X o {pt}}$. Jedním z prvních dostupných smíšených modulů Hodge je váha 0 Tate objekt, označený ${displaystyle {underline {mathbb {Q}}} _ {X} ^ {Hdg}}$ který je definován jako odvolání odpovídajícího objektu v ${displaystyle mathbb {Q} ^ {Hdg} v {extbf {MHM}} ({pt})}$, tak

${displaystyle {underline {mathbb {Q}}} _ {X} ^ {Hdg} = p ^ {*} mathbb {Q} ^ {Hdg}}$

Má váhu nula, takže ${displaystyle mathbb {Q} ^ {Hdg}}$ odpovídá hmotnosti 0 Tate objektu ${displaystyle mathbb {Q} (0)}$ v kategorii smíšených Hodgeových struktur. Tento objekt je užitečný, protože jej lze použít k výpočtu různých kohomologií ${displaystyle X}$ prostřednictvím formalizace šesti funktorů a dát jim smíšenou Hodgeovu strukturu. Ty lze shrnout do tabulky

${displaystyle {egin {matrix} H ^ {k} (X; mathbb {Q}) & = H ^ {k} ({pt}, p _ {*} p ^ {*} mathbb {Q} ^ {Hdg}) H_ {c} ^ {k} (X; mathbb {Q}) & = H ^ {k} ({pt}, p _ {!} P ^ {*} mathbb {Q} ^ {Hdg}) H_ { -k} (X; mathbb {Q}) & = H ^ {k} ({pt}, p _ {!} p ^ {!} mathbb {Q} ^ {Hdg}) H _ {- k} ^ {BM } (X; mathbb {Q}) & = H ^ {k} ({pt}, p _ {!} P ^ {*} mathbb {Q} ^ {Hdg}) end {matrix}}}$

Navíc vzhledem k uzavřenému vložení ${displaystyle i: Z o X}$ existuje místní kohomologická skupina

${displaystyle H_ {Z} ^ {k} (X; mathbb {Q}) = H ^ {k} ({pt}, p _ {*} i _ {*} i ^ {!} {podtržení {mathbb {Q}} } _ {X} ^ {Hdg})}$

Variace struktur smíšené Hodge

Pro morfismus odrůd ${displaystyle f: X o Y}$ dopředné mapy ${displaystyle f _ {*} {underline {mathbb {Q}}} _ {X} ^ {Hdg}}$ a ${displaystyle f _ {!} {underline {mathbb {Q}}} _ {X} ^ {Hdg}}$ dát degenerující variace smíšených Hodgeových struktur na ${displaystyle Y}$. Pro lepší pochopení těchto variací je zapotřebí věta o rozkladu a průniková kohomologie.

Křižovatková kohomologie

Jedním z definujících rysů kategorie smíšených Hodgeových modulů je skutečnost, že průniková kohomologie může být formulována v jejím jazyce. To umožňuje použít větu o rozkladu pro mapy ${displaystyle f: X o Y}$ odrůd. Chcete-li definovat komplex křižovatky, dovolte ${displaystyle j: Uhookrightarrow X}$ být otevřenou hladkou částí odrůdy ${displaystyle X}$. Pak průsečík komplexu ${displaystyle X}$ lze definovat jako

${displaystyle IC_ {X} ^ {ullet} mathbb {Q} ^ {Hdg}: = j _ {! *} {podtržení {mathbb {Q}}} _ {U} ^ {Hdg} [d_ {X}]}$

kde

${displaystyle j _ {! *} ({underline {mathbb {Q}}} _ {U} ^ {Hdg}) = operatorname {Image} [j _ {!} ({underline {mathbb {Q}}} _ {U} ^ {Hdg}) o j _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {U} ^ {Hdg})]}$

jako u perverzní snopy^{[2]str. 311}. Zejména toto nastavení lze použít k zobrazení skupin kohomologie průniku

${displaystyle IH ^ {k} (X) = H ^ {k} (p _ {*} IC ^ {ullet} {podtržení {mathbb {Q}}} _ {X})}$

mít čistou váhu ${displaystyle k}$ Hodgeova struktura.

Viz také

• Smíšené motivy (matematika)
• Deligneova kohomologie

Reference

• Průvodce mladého člověka po smíšených Hodgeových modulech