Giraud podkategorie - Giraud subcategory

V matematice Giraud podkategorie tvoří důležitou třídu podkategorií Kategorie Grothendieck. Jsou pojmenovány po Jean Giraud.

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ být Kategorie Grothendieck. Celá podkategorie ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je nazýván reflexní, pokud je funktor zařazení ${ displaystyle i colon { mathcal {B}} rightarrow { mathcal {A}}}$ má vlevo adjoint. Pokud tento levý adjoint z ${ displaystyle i}$ také zachovává jádra, pak ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ se nazývá a Giraud podkategorie.

Vlastnosti

Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ být Giraud v kategorii Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a ${ displaystyle i colon { mathcal {B}} rightarrow { mathcal {A}}}$ funktor začlenění.

• ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je opět kategorií Grothendieck.
• Objekt ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je injekční kdyby a jen kdyby ${ displaystyle i (X)}$ je injekční ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.
• Levý adjoint ${ displaystyle a colon { mathcal {A}} rightarrow { mathcal {B}}}$ z ${ displaystyle i}$ je přesný.
• Nechat ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ být lokalizace podkategorie z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ být přidružený kategorie kvocientu. Funktor sekce ${ displaystyle S colon { mathcal {A}} / { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {A}}}$ je plně věrný a indukuje rovnocennost mezi ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ a podkategorie Giraud ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ dané ${ displaystyle { mathcal {C}}}$uzavřené objekty v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Viz také

• Lokalizace podkategorie

Reference

• Bo Stenström; 1975; Kruhy kvocientů. Springer.