Teorie křižovatky - Intersection theory
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace.Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, teorie průniku je pobočkou algebraická geometrie, kde se poddruhy protínají na algebraická rozmanitost a algebraická topologie, kde se křižovatky počítají v rámci cohomologický prsten. Teorie odrůd je starší, s kořeny v Bézoutova věta na křivkách a teorie eliminace. Na druhou stranu topologická teorie rychleji dosáhla definitivní podoby.
Topologická křižovatka
Pro připojené orientované potrubí M dimenze 2n the křižovatka je definován na n-th kohomologická skupina (co se obvykle nazývá „střední dimenze“) hodnocením pohárový produkt na základní třída [M] v H2n(M, ∂M). Přesně řečeno, existuje bilineární forma
dána
s
Tohle je symetrická forma pro n i tak 2n = 4k dvojnásobně rovnoměrné ), v takovém případě podpis z M je definován jako podpis formuláře a střídavá forma pro n zvláštní (tak 2n= 4k + 2 jednotlivě rovnoměrně ). Ty lze označit jednotně jako ε-symetrické tvary, kde ε = (−1)n = ±1 respektive pro symetrické a zkosené symetrické tvary. Za určitých okolností je možné tuto formu upřesnit na εkvadratická forma, i když to vyžaduje další data, například a rámování tangenta svazku. Je možné upustit od podmínky orientovatelnosti a pracovat s Z/2Z koeficienty místo toho.
Tyto formy jsou důležité topologické invarianty. Například věta o Michael Freedman tvrdí, že jednoduše připojeno kompaktní 4 rozdělovače jsou (téměř) určeny jejich průsečíky až do homeomorfismus - viz křižovatka (4-potrubí).
Podle Poincaré dualita Ukazuje se, že existuje způsob, jak o tom uvažovat geometricky. Pokud je to možné, zvolte zástupce n-rozměrné dílčí potrubí A, B pro duály Poincaré z A a b. Pak λM (A, b) je orientované číslo křižovatky z A a B, což je dobře definované, protože od dimenzí A a B součet k celkovému rozměru M obecně se protínají v izolovaných bodech. To vysvětluje terminologii křižovatka.
Teorie průniku v algebraické geometrii
William Fulton v Teorie křižovatky (1984) píše
... pokud A a B jsou poddruhy nesingulární odrůdy X, produkt křižovatky A · B by měla být třída ekvivalence algebraických cyklů úzce související s geometrií toho, jak A ∩ B, A a B se nacházejí v X. Dva extrémní případy byly nejznámější. Pokud je křižovatka správně, tj. ztlumit(A ∩ B) = dim A + dim B - dim X, pak A · B je lineární kombinace neredukovatelných složek A ∩ B, s koeficienty průnikové multiplicity. Na druhém konci, pokud A = B je nepojmenná podvarieta, říká to vzorec pro vlastní průnik A · B je reprezentován vrcholem Třída Chern z normální svazek z A v X.
Obecně je třeba uvést definici multiplicita křižovatky bylo hlavním zájmem André Weil kniha z roku 1946 Základy algebraické geometrie. Práce ve 20. letech 20. století B. L. van der Waerden již se otázkou zabýval; v Italská škola algebraické geometrie myšlenky byly dobře známé, ale základní otázky nebyly řešeny ve stejném duchu.
Pohybující se cykly
Dobře fungující stroj protínající se algebraické cykly PROTI a Ž vyžaduje víc než pouhý set-teoretický průnik PROTI ∩ Ž příslušných cyklů. Pokud jsou dva cykly v "dobré poloze", pak křižovatkový produkt, označeno PROTI · Ž, by se měla skládat z množinově-teoretického průniku dvou poddruhů. Cykly však mohou být ve špatné poloze, např. dvě rovnoběžné čáry v rovině nebo rovina obsahující přímku (protínající se ve 3 prostoru). V obou případech by křižovatkou měl být bod, protože pokud se jeden cyklus pohne, bude to opět křižovatka. Průnik dvou cyklů PROTI a Ž je nazýván správně pokud kodimenzionální (set-teoretický) křižovatky PROTI ∩ Ž je součet kodimenzionálních rozměrů PROTI a Ž„očekávaná“ hodnota.
Proto je koncept pohybové cykly pomocí vhodných ekvivalenční vztahy na algebraických cyklech se používá. Ekvivalence musí být dostatečně široká, aby odpovídala libovolným dvěma cyklům PROTI a Ž, existují ekvivalentní cykly PROTI' a W ' tak, že křižovatka PROTI' ∩ W ' je správné. Samozřejmě na druhou stranu pro druhý ekvivalent PROTI'' a W ′ ′, PROTI' ∩ W ' musí odpovídat PROTI'' ∩ W ′ ′.
Pro účely teorie průniku racionální ekvivalence je nejdůležitější. Stručně, dva r-dimenzionální cykly na odrůdě X jsou racionálně ekvivalentní, pokud existuje racionální funkce F na (r + 1)-dimenzionální subvarieta Y, tj. prvek funkční pole k(Y) nebo ekvivalentně funkce F : Y → P1, takový, že PROTI − Ž = F −1(0) − F −1(∞), kde F −1(⋅) se počítá s multiplicitami. Racionální ekvivalence dosahuje výše načrtnutých potřeb.
Násobnost křižovatek

Hlavní zásadou při definici multiplicity křižovatky cyklů je v určitém smyslu kontinuita. Zvažte následující základní příklad: průnik paraboly y = X2 a osa y = 0 mělo by 2 · (0, 0), protože pokud se jeden z cyklů pohybuje (přesto v nedefinovaném smyslu), existují přesně dva průsečíky, které oba konvergují k (0, 0) když se cykly přiblíží k zobrazené poloze. (Obrázek je zavádějící, pokud jde o zjevně prázdný průnik paraboly a čáry y = −3 je prázdné, protože jsou zobrazena pouze skutečná řešení rovnic).
První plně uspokojivá definice multiplicit křižovatky byla dána Serre: Nechte okolní odrůdu X být hladké (nebo všechny místní kruhy pravidelný ). Dále nechte PROTI a Ž být dvě (neredukovatelné redukované uzavřené) poddruhy, takže jejich průnik je správný. Konstrukce je lokální, proto mohou být odrůdy zastoupeny dvěma ideály Já a J v souřadnicovém kruhu X. Nechat Z být neredukovatelnou složkou množinově-teoretického průniku PROTI ∩ Ž a z své obecný bod. Násobnost Z v produktu křižovatky PROTI · Ž je definováno
- ,
střídavý součet nad délka přes místní kruh v X v z z kroucení skupiny faktorových prstenců odpovídajících poddruhům. Tento výraz se někdy označuje jako Serreův Torův vzorec.
Poznámky:
- První součet, délka
- je „naivní“ odhad multiplicity; jak však ukazuje Serre, není to dostačující.
- Součet je konečný, protože pravidelný místní kruh má konečnou dimenzi Tor.
- Pokud je křižovatka PROTI a Ž není správné, výše uvedená multiplicita bude nulová. Pokud je to správné, je to přísně pozitivní. (Obě tvrzení nejsou z definice zřejmá).
- Používat spektrální sekvence lze prokázat, že μ(Z; PROTI, Ž) = μ(Z; Ž, PROTI).
Chowův prsten
The Chow prsten je skupina algebraických cyklů modulo racionální ekvivalence společně s následujícím komutativním křižovatkový produkt:
kdykoli PROTI a Ž setkat se příčně, kde PROTI ∩ Ž = ∪︀ Zi je rozklad množinově-teoretického průniku na neredukovatelné složky.
Křižovatka sama
Vzhledem k tomu, dvě poddruhy PROTI a Ž, jeden může vzít jejich křižovatku PROTI ∩ Ž, ale je také možné, i když jemnější, definovat já- průsečík jedné podvariety.
Dáno například křivkou C na povrchu S, jeho průnik sám se sebou (jako množinami) je jen sám sebou: C ∩ C = C. To je jasně správné, ale na druhou stranu neuspokojivé: vzhledem k jakýmkoli dvěma odlišný křivky na povrchu (bez společné složky), protínají se v nějaké sadě bodů, které lze například spočítat, získat číslo křižovatky, a můžeme chtít udělat totéž pro danou křivku: analogie je, že protínající odlišné křivky je jako vynásobit dvě čísla: xy, zatímco vlastní průnik je jako umocnění jednoho čísla na druhou: X2. Formálně je analogie uvedena jako a symetrická bilineární forma (násobení) a a kvadratická forma (kvadratura).
Geometrickým řešením je protnout křivku C ne sama se sebou, ale s mírně vytlačenou verzí sebe sama. V rovině to znamená pouze překládání křivky C v nějakém směru, ale obecně se mluví o tom, že se vezme křivka C' to je lineárně ekvivalentní na Ca počítání křižovatky C · C', čímž získáme číslo křižovatky, označené C · C. Všimněte si, že na rozdíl od pro výrazné křivky C a D, skutečné průsečíky nejsou definovány, protože závisí na výběru C', ale „„ křižovatky sebe sama “ C'' lze interpretovat jako k obecné body na C, kde k = C · C. Přesněji řečeno, bod protnutí sebe C je the obecný bod C, vzato s multiplicitou C · C.
Alternativně lze tento problém „vyřešit“ (nebo motivovat) algebraicky dualizací a pohledem na třídu [C] ∪ [C] - toto dává číslo a nastoluje otázku geometrické interpretace. Všimněte si, že přechod na kohomologii třídy je analogické nahrazení křivky lineárním systémem.
Všimněte si, že číslo vlastní křižovatky může být záporné, jak ukazuje následující příklad.
Příklady
Zvažte linku L v projektivní rovina P2: má vlastní křižovatku číslo 1, protože všechny ostatní čáry ji protínají jednou: lze tlačit L pryč do L ′, a L · L ′ = 1 (pro jakoukoli volbu) z L ′, proto L · L = 1. Pokud jde o tvary průsečíků, říkáme, že rovina má typ X2 (existuje pouze jedna třída čar a všechny se navzájem protínají).
Všimněte si, že na afinní letadlo, jeden by mohl odstoupit L k paralelní linii, takže (uvažujeme geometricky) počet průsečíků závisí na volbě posunutí. Jeden říká, že „afinní rovina nemá dobrou teorii průniku“ a teorie průsečíků u neprojektivních variant je mnohem obtížnější.
Linka na a P1 × P1 (což lze také interpretovat jako nesingulární kvadrický Q v P3) má vlastní průnik 0, protože linku lze přesunout sama. (Je to ovládaný povrch.) Pokud jde o tvary křižovatky, říkáme P1 × P1 má jeden typu xy - existují dvě základní třídy úseček, které se protínají v jednom bodě (xy), ale mají nulový vlastní průnik (č X2 nebo y2 podmínky).
Vyhodit do povětří
Klíčovým příkladem čísel s vlastním průnikem je výjimečná křivka výbuchu, což je centrální operace v birational geometrie. Vzhledem k algebraický povrch S, vyhodit do vzduchu v bodě vytvoří křivku C. Tato křivka C je rozpoznatelný podle rodu, kterým je 0a číslo jeho vlastní křižovatky, které je −1. (To není zřejmé.) Všimněte si, že jako důsledek P2 a P1 × P1 jsou minimální povrchy (nejsou to zvětšeniny), protože nemají žádné křivky s negativním protínáním. Ve skutečnosti, Castelnuovo Je věta o kontrakci uvádí obráceně: každý (−1)- křivka je výjimečná křivka nějakého nafouknutí (může být „sfouknuta“).
Viz také
Reference
Úvodní
- Gathman, Andreas, Algebraická geometrie, archivovány z originál dne 2016-05-21, vyvoláno 2018-05-11
- Tian, Yichao, Poznámky k kurzu v teorii křižovatky (PDF)[mrtvý odkaz ]
- Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 a All That: Druhý kurz v algebraické geometrii
Pokročilý
- Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. Řada moderních průzkumů v matematice], 2, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 PAN1644323
- Fulton, William; Serge, Langi, Riemann-Rochova algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6
- Serre, Jean-Pierre (1965), Algèbre národní prostředí. Multiplicita, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Přednášky z matematiky, 11, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN 0201468