Věty o změně základny - Base change theorems - Wikipedia

V matematice je věty o změně základny se týkají přímý obraz a zarazit z snopy. Přesněji řečeno, jedná se o základní mapu změn, danou následujícím přirozená transformace snopy:

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) do R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

kde

${ displaystyle { begin {array} {rcl} X '& { stackrel {g'} { to}} & X f ' downarrow && downarrow f S' & { stackrel {g} { to}} & S end {pole}}}$

je Kartézské náměstí topologických prostorů a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je snop na X.

Takové věty existují v různých odvětvích geometrie: pro (v podstatě libovolné) topologické prostory a vlastní mapy F, v algebraická geometrie pro (kvazi-) koherentní snopy a F vlastní nebo G byt, podobně v analytická geometrie, ale také pro étale snopy pro F vlastní nebo G hladký.

Úvod

Vzniká jednoduchý fenomén změny základny komutativní algebra když A je komutativní prsten a B a A' jsou dva A-algebry. Nechat ${ displaystyle B '= B otimes _ {A} A'}$. V této situaci, vzhledem k B-modul M, existuje izomorfismus (z A' -modulů):

${ displaystyle (M otimes _ {B} B ') _ {A'} cong (M_ {A}) otimes _ {A} A '.}$

Zde dolní index označuje zapomnětlivý funktor, tj. ${ displaystyle M_ {A}}$ je M, ale považováno za A-module. Takový izomorfismus se ve skutečnosti získá pozorováním

${ displaystyle M otimes _ {B} B '= M otimes _ {B} B otimes _ {A} A' cong M otimes _ {A} A '.}$

Tyto dvě operace, jmenovitě zapomnětlivé funktory a tenzorové produkty, dojíždějí ve smyslu výše uvedeného izomorfismu. Věty o základní změně popsané níže jsou výroky podobného druhu.

Definice základní mapy změn

Funktory obrazu pro snopy
přímý obraz F∗
inverzní obraz F∗
přímý obraz s kompaktní podporou F!
výjimečný inverzní obraz Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny

Níže uvedené základní věty o změně tvrdí, že (pro různé typy kladek a za různých předpokladů na příslušných mapách), že následující základní změna mapy

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) až R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

je izomorfismus, kde

${ displaystyle { begin {array} {rcl} X '& { stackrel {g'} { to}} & X f ' downarrow && downarrow f S' & { stackrel {g} { to}} & S end {array}}}$

jsou spojité mapy mezi topologickými prostory, které tvoří a Kartézské náměstí a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je snop na X.^[1] Tady ${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} { mathcal {F}}}$ označuje vyšší přímý obraz z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ pod F, tj odvozený funktor přímého obrazu (známého také jako dopředný) funktor ${ displaystyle f _ {*}}$.

Tato mapa existuje bez jakýchkoli předpokladů na mapách F a G. Je konstruován následovně: od ${ displaystyle g '^ {*}}$ je vlevo adjoint na ${ displaystyle g '_ {*}}$, existuje přirozená mapa (tzv. jednotková mapa)

${ displaystyle operatorname {id} to g '_ {*} circ g' ^ {*}}$

a tak

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} až R ^ {r} f _ {*} circ g '_ {*} circ g' ^ {*}.}$

The Grothendieckova spektrální sekvence pak dává první mapu a poslední mapu (jsou to okrajové mapy) v:

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} circ g '_ {*} circ g' ^ {*} to R ^ {r} (f circle g ') _ {*} circ g' ^ {*} = R ^ {r} (g circ f ') _ {*} circ g' ^ {*} to g _ {*} circ R ^ {r} f '_ {*} circ g '^ {*}.}$

V kombinaci s výše uvedenými výnosy

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} to g _ {*} circ R ^ {r} f '_ {*} circ g' ^ {*}.}$

Pomocí adjungovanosti ${ displaystyle g ^ {*}}$ a ${ displaystyle g _ {*}}$ nakonec získá požadovanou mapu.

Výše uvedený úvodní příklad je toho zvláštním případem, zejména pro afinní schémata ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (B), S = operatorname {Spec} (A), S '= operatorname {Spec} (A')}$ a následně, ${ displaystyle X '= operatorname {Spec} (B')}$a kvazi-koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}: = { tilde {M}}}$ spojené s B-modul M.

Je koncepčně výhodné uspořádat výše uvedené základní mapy změn, které zahrnují pouze jeden vyšší funktor přímého obrazu, do jedné, která kóduje všechny ${ displaystyle R ^ {r} f _ {*}}$ včas. Ve skutečnosti podobné argumenty jako výše poskytují mapu v odvozená kategorie snopy na S ':

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {*} ({ mathcal {F}}) do Rf '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal {F}})}$

kde ${ displaystyle Rf _ {*}}$ označuje (celkem) odvozený funktor z ${ displaystyle f _ {*}}$.

Obecná topologie

Správná změna základny

Li X je Hausdorff topologický prostor, S je místně kompaktní Hausdorffův prostor a F je všeobecně uzavřený (tj. ${ displaystyle X times _ {S} T to T}$ je uzavřená mapa pro každou souvislou mapu ${ displaystyle T až S}$), poté základní mapa změn

${ displaystyle g ^ {*} R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}} až R ^ {r} f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}} }$

je izomorfismus.^[2] Opravdu máme: pro ${ displaystyle s v S}$,

${ displaystyle (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {s} = varinjlim H ^ {r} (U, { mathcal {F}}) = H ^ {r} (X_ {s}, { mathcal {F}}), quad X_ {s} = f ^ {- 1} (s)}$

a tak pro ${ displaystyle s = g (t)}$

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {t} = H ^ {r} (X_ {s}, { mathcal {F}}) = H ^ {r} (X '_ {t}, g' ^ {*} { mathcal {F}}) = R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal {F}}) _ {t}.}$

Zakódovat všechny jednotlivé vyšší odvozené funktory ${ displaystyle f _ {*}}$ do jedné entity může být výše uvedené tvrzení ekvivalentně přeformulováno tím, že říká, že základní mapa změn

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {*} { mathcal {F}} až Rf '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$

je kvazi-izomorfismus.

Předpoklady, že zúčastněnými prostory jsou Hausdorff, byly oslabeny Schnürer & Soergel (2016).

Lurie (2009) rozšířil výše uvedenou větu na neabeliánská snopová kohomologie, tj. snopy s hodnotami v jednoduché sady (na rozdíl od abelianských skupin).^[3]

Přímý obraz s kompaktní podporou

Pokud na mapě F není uzavřena, základní mapa změn nemusí být izomorfismem, jak ukazuje následující příklad (mapy jsou standardní inkluze):

${ displaystyle { begin {array} {rcl} emptyset & { stackrel {g '} { to}} & mathbb {C} setminus {0 } f' downarrow && downarrow f {0 } & { stackrel {g} { to}} & mathbb {C} end {pole}}}$

Jedna ruka ${ displaystyle f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$ je vždy nula, ale pokud ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je místní systém na ${ displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$ odpovídající a zastoupení z základní skupina ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ (který je izomorfní s Z), pak ${ displaystyle g ^ {*} f _ {*} { mathcal {F}}}$ lze vypočítat jako invarianty z monodromy akce ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$ na stonek ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ (pro všechny ${ displaystyle x neq 0}$), které nemusí zmizet.

Chcete-li získat výsledek základní změny, funktor ${ displaystyle f _ {*}}$ (nebo jeho odvozený funktor) musí být nahrazen přímý obraz s kompaktní podporou ${ displaystyle Rf_ {!}}$. Například pokud ${ displaystyle f: X až S}$ je zahrnutí otevřené podmnožiny, například ve výše uvedeném příkladu, ${ displaystyle Rf _ {!} { mathcal {F}}}$ je rozšíření o nulu, tj. jeho stopky jsou dány vztahem

${ displaystyle (Rf _ {!} { mathcal {F}}) _ {s} = { begin {cases} { mathcal {F}} _ {s} & s v X, 0 & s notin X. end {případy}}}$

Obecně existuje mapa ${ displaystyle Rf _ {!} { mathcal {F}} do Rf _ {*} { mathcal {F}}}$, což je kvazi-izomorfismus, pokud F je správné, ale ne obecně. Výše zmíněná věta o správné změně základny má následující zevšeobecnění: existuje kvazi-izomorfismus^[4]

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {!} { mathcal {F}} až Rf '_ {!} g' ^ {*} { mathcal {F}}.}$

Změna základny pro kvazi-koherentní lanovnice

Správná změna základny

Správné věty o změně základny pro kvazi-koherentní snopy platí v následující situaci: ${ displaystyle f: X až S}$ je správný morfismus mezi noetherian schémata, a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je souvislý svazek který je byt přes S (tj., ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ je byt přes ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S, f (x)}}$). V této situaci platí následující tvrzení:^[5]

• "Věta o semikontinuitě":
  • Pro každého ${ displaystyle p geq 0}$, funkce ${ displaystyle s mapsto dim _ {k (s)} H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s}): S to mathbb {Z}}$ je horní polokontinuální.
  • Funkce ${ displaystyle s mapsto chi ({ mathcal {F}} _ {s})}$ je lokálně konstantní, kde ${ displaystyle chi ({ mathcal {F}})}$ označuje Eulerova charakteristika.
• "Grauert "věta": pokud S je redukován a připojen, pak pro každý ${ displaystyle p geq 0}$ následující jsou ekvivalentní
  • ${ displaystyle s mapsto dim _ {k (s)} H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$ je konstantní.
  • ${ displaystyle R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}}}$ je místně zdarma a přírodní mapa

${ displaystyle R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) do H ^ {p} (X_ {s }, { mathcal {F}} _ {s})}$

je izomorfismus pro všechny ${ displaystyle s v S}$.

Kromě toho, pokud tyto podmínky platí, pak přirozená mapa

${ displaystyle R ^ {p-1} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) do H ^ {p-1} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$

je izomorfismus pro všechny ${ displaystyle s v S}$.

• Pokud pro některé str, ${ displaystyle H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s}) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle s v S}$, pak přirozená mapa

${ displaystyle R ^ {p-1} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) do H ^ {p-1} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$

je izomorfismus pro všechny ${ displaystyle s v S}$.

Jako stonek snopu ${ displaystyle R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}}}$ úzce souvisí s cohomologií vlákna bodu pod Fje toto tvrzení parafrázováno tvrzením, že „cohomologie dojíždí se základnou“.^[6]

Tato tvrzení jsou prokázána pomocí následující skutečnosti, kde kromě výše uvedených předpokladů ${ displaystyle S = operatorname {Spec} A}$: existuje konečný komplex ${ displaystyle 0 až K ^ {0} až K ^ {1} až cdots až K ^ {n} až 0}$ z konečně generovaný projektivní A- moduly a přirozený izomorfismus funktorů

${ displaystyle H ^ {p} (X times _ {S} operatorname {Spec} -, { mathcal {F}} otimes _ {A} -) to H ^ {p} (K ^ { bullet} otimes _ {A} -), p geq 0}$

na kategorii ${ displaystyle A}$-algebry.

Výměna ploché základny

Základní mapa změn

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) až R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

je izomorfismus pro a kvazi-koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ (na ${ displaystyle X}$), za předpokladu, že mapa ${ displaystyle g: S ' rightarrow S}$ je byt (spolu s řadou technických podmínek: F musí být oddělené morfismus konečného typu, příslušná schémata musí být noetherianská).^[7]

Změna ploché základny v odvozené kategorii

Při zvažování mapy změny základny je možné dalekosáhlé rozšíření změny ploché základny

${ displaystyle Lg ^ {*} Rf _ {*} ({ mathcal {F}}) do Rf '_ {*} (Lg' ^ {*} { mathcal {F}})}$

v odvozené kategorii snopů na S ', podobně, jak je uvedeno výše. Tady ${ displaystyle Lg ^ {*}}$ je (celkem) odvozený funktor odvolání ${ displaystyle { mathcal {O}}}$-moduly (protože ${ displaystyle g ^ {*} { mathcal {G}} = { mathcal {O}} _ {X} otimes _ {g ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S}} g ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ zahrnuje tenzorový produkt, ${ displaystyle g ^ {*}}$ není přesné, kdy G není plochý, a proto se nerovná jeho odvozenému funktoru ${ displaystyle Lg ^ {*}}$Tato mapa je kvaziizomorfismem za předpokladu, že jsou splněny následující podmínky:^[8]

• ${ displaystyle S}$ je kvazi-kompaktní a ${ displaystyle f}$ je kvazi kompaktní a kvazi oddělená,
• ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je objekt v ${ displaystyle D ^ {b} ({ mathcal {O}} _ {X} { text {-mod}})}$, omezená odvozená kategorie ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-moduly a jejich cohomologické svazky jsou kvazi-koherentní (například ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ může být ohraničeným komplexem kvazi-koherentních svazků)
• ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle S '}$ jsou Nezávislé na Tor přes ${ displaystyle S}$, což znamená, že pokud ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle s ' in S'}$ uspokojit ${ displaystyle f (x) = s = g (s ')}$, pak pro všechna celá čísla ${ displaystyle p geq 1}$,

${ displaystyle operatorname {Tor} _ {p} ^ {{ mathcal {O}} _ {S, s}} ({ mathcal {O}} _ {X, x}, { mathcal {O}} _ {S ', s'}) = 0}$.

• Je splněna jedna z následujících podmínek:
  • ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ má konečnou plochou amplitudu vzhledem k ${ displaystyle f}$, což znamená, že je kvazi-izomorfní v ${ displaystyle D ^ {-} (f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S} { text {-mod}})}$ do komplexu ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ takhle ${ displaystyle ({ mathcal {F}} ') ^ {i}}$ je ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S}}$- plochý pro všechny ${ displaystyle i}$ mimo nějaký omezený interval ${ displaystyle [m, n]}$; ekvivalentně existuje interval ${ displaystyle [m, n]}$ tak, že pro jakýkoli komplex ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ v ${ displaystyle D ^ {-} (f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S} { text {-mod}})}$, jeden má ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}}) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i}$ mimo ${ displaystyle [m, n]}$; nebo
  • ${ displaystyle g}$ má konečnou dimenzi Tor, což znamená ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S '}}$ má konečnou plochou amplitudu vzhledem k ${ displaystyle g}$.

Jednou z výhod této formulace je, že hypotéza plochosti byla oslabena. Avšak provedení konkrétních výpočtů kohomologie levé a pravé strany nyní vyžaduje Grothendieckova spektrální sekvence.

Základní změna v odvozené algebraické geometrii

Odvozená algebraická geometrie poskytuje způsob, jak zrušit předpoklad rovinnosti, za předpokladu, že zpětný ráz ${ displaystyle X '}$ se nahrazuje homotopy pullback. V nejjednodušším případě, když X, S, a ${ displaystyle S '}$ jsou afinní (se zápisem, jak je uvedeno výše), homotopy pullback je dán odvozený tenzorový produkt

${ displaystyle X '= operatorname {Spec} (B' otimes _ {B} ^ {L} A)}$

Poté, za předpokladu, že zapojená schémata (nebo obecněji odvozená schémata) jsou kvazi-kompaktní a kvazi-oddělená, přirozená transformace

${ displaystyle Lg ^ {*} Rf _ {*} { mathcal {F}} až Rf '_ {*} Lg' ^ {*} { mathcal {F}}}$

je kvazi-izomorfismus pro jakýkoli kvazi-koherentní svazek, nebo obecněji a komplex kvazi-koherentních snopů.^[9]Výše uvedený výsledek změny ploché základny je ve skutečnosti zvláštním případem, protože pro G plochý homotopický pullback (který je místně dán odvozeným tenzorovým produktem) souhlasí s obyčejným pullbackem (místně dán nedostatečným tenzorovým produktem), a protože pullback podél plochých map G a G' jsou automaticky odvozeny (tj. ${ displaystyle Lg ^ {*} = g ^ {*}}$). Nepotřebné jsou také pomocné předpoklady týkající se Tor-nezávislosti nebo Tor-amplitudy v předchozí větě o změně základny.

Ve výše uvedené formě byla základní změna rozšířena o Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) do situace, kdy X, S, a S ' jsou (možná odvozené) hromádky, za předpokladu, že mapa F je dokonalá mapa (která zahrnuje případ, že F je kvazi-kompaktní, kvazi-oddělená mapa schémat, ale zahrnuje také obecnější komíny, jako je klasifikace zásobníku BG z algebraická skupina v charakteristické nule).

Varianty a aplikace

Správná změna základny platí také v kontextu složité potrubí.^[10]The věta o formálních funkcích je varianta správné změny základny, kde je zpětné hlášení nahrazeno a dokončení úkon.

The princip houpačky a věta o krychli, což jsou základní fakta v teorii abelianské odrůdy, jsou důsledkem správné změny základny.^[11]

Základní změna platí také pro D-moduly: pokud X, S, X', a S ' jsou hladké odrůdy (ale F a G nemusí být ploché nebo správné atd.), existuje kvazi-izomorfismus

${ displaystyle g ^ { dagger} int _ {f} { mathcal {F}} to int _ {f '} g' ^ { dagger} { mathcal {F}},}$

kde ${ displaystyle - ^ { dagger}}$ a ${ displaystyle int}$ označuje inverzní a přímý funktor obrazu pro D- moduly.^[12]

Změna základny u kladek étale

Pro torzní kladky étale ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, existují dva základní výsledky změn označované jako správně a hladká změna základny, respektive: základní změna platí, pokud ${ displaystyle f: X rightarrow S}$ je správně.^[13] Platí také, pokud G je hladký, za předpokladu, že F je kvazi-kompaktní a za předpokladu, že torze ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je pro charakteristický z zbytková pole z X.^[14]

Se správnou základní změnou úzce souvisí následující skutečnost (obě věty se obvykle prokazují současně): let X být odrůdou nad oddělitelně uzavřené pole a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ A konstruovatelný svazek na ${ displaystyle X _ { text {et}}}$. Pak ${ displaystyle H ^ {r} (X, { mathcal {F}})}$ jsou konečné v každém z následujících případů:

• X je kompletní, nebo
• ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ nemá žádný str-torze, kde str je charakteristikou k.

Podle dalších předpokladů Deninger (1988) rozšířil teorém o správné změně základny na netorzní étale snopy.

Aplikace

V těsné analogii s výše uvedenou topologickou situací se základní mapa změny pro otevřené ponoření F,

${ displaystyle g ^ {*} f _ {*} { mathcal {F}} až f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$

obvykle není izomorfismus.^[15] Místo toho prodloužení o nulu funktor ${ displaystyle f_ {!}}$ uspokojuje izomorfismus

${ displaystyle g ^ {*} f _ {!} { mathcal {F}} až f '_ {!} g ^ {*} { mathcal {F}}.}$

Tato skutečnost a správná změna základny navrhují definovat přímý funktor obrazu s kompaktní podporou pro mapu F podle

${ displaystyle Rf _ {!}: = Rp _ {*} j_ {!}}$

kde ${ displaystyle f = p circ j}$ je zhutnění z F, tj. faktorizace do otevřeného ponoření, po které následuje správná mapa. Správná věta o změně základny je nutná, aby se ukázalo, že jde o dobře definovaný, tj. nezávislý (až na izomorfismus) na výběru kompaktifikace. Navíc opět v analogie k případu snopů na topologickém prostoru, základní změna vzorce pro ${ displaystyle g _ {*}}$ vs. ${ displaystyle Rf_ {!}}$ platí pro nesprávné mapy F.

Pro strukturální mapu ${ displaystyle f: X to S = operatorname {Spec} k}$ schématu nad polem k, jednotlivé kohomologie ${ displaystyle Rf _ {!} ({ mathcal {F}})}$, označeno ${ displaystyle H_ {c} ^ {*} (X, { mathcal {F}})}$ označované jako cohomology s kompaktní podporou. Je to důležitá varianta obvyklého étale cohomology.

Podobné myšlenky se také používají ke konstrukci analogu funktoru ${ displaystyle Rf_ {!}}$ v A¹-homotopy teorie.^[16][17]

Viz také

• Grothendieckovo relativní hledisko v algebraické geometrii
• Změna základny (disambiguation)
• Zvedání základny automatických forem

Další čtení

• Esnault, H .; Kerz, M .; Wittenberg, O. (2016), Omezující izomorfismus pro cykly relativní nulové dimenze, arXiv:1503.08187v2

Poznámky

Reference

• Artin, Michael; Grothendieck, Alexandre; Verdier, Jean-Louis (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 3 (PDF), Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 305, Berlín; New York: Springer-Verlag, str. vi + 640, doi:10.1007 / BFb0070714, ISBN  978-3-540-06118-2
• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), „Integrální transformace a Drinfeldova centra v odvozené algebraické geometrii“, J. Amer. Matematika. Soc., 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, doi:10.1090 / S0894-0347-10-00669-7, PAN  2669705
• Berthelot, Pierre; Grothendieck, Alexandre; Illusie, Luc (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Přednášky z matematiky 225) (ve francouzštině), Berlín; New York: Springer-Verlag, xii + 700, doi:10.1007 / BFb0066283, ISBN  978-3-540-05647-8
• Deninger, Christopher (1988), „Správná věta o změně základny pro non-torzní snopy v étale cohomology“, Journal of Pure and Applied Algebra, 50 (3): 231–235, doi:10.1016/0022-4049(88)90102-8
• Gabber, “"Věty o konečnosti pro étale cohomology vynikajících schémat." "
• Grauert, Hans (1960), „Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen“ (PDF), Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 5, Zbl  0100.08001
• Grothendieck, A. (1963), „Éléments de géométrie algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II“, Publ. Matematika. IHES, archivovány z originál dne 2017-01-05, vyvoláno 2017-01-04
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157, OCLC  13348052
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-Moduly, perverzní snopy a teorie reprezentace, Birkhäuser
• Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN  978-3-540-16389-3, PAN  0842190
• Lurie, Jacob (2009), Teorie vyšších toposů, Annals of Mathematics Studies, 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT / 0608040, doi:10.1515/9781400830558, ISBN  978-0-691-14049-0, PAN  2522659
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7
• Milne, James S. (2012), Přednášky o Étale Cohomology (PDF)
• Mumford, David (2008) [1970], Abelianské odrůdy, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-81-85931-86-9, PAN  0282985, OCLC  138290
• Toën, Bertrand (2012), Správné místní úplné křižovatkové morfizmy zachovávají dokonalé komplexy, arXiv:1210.2827, Bibcode:2012arXiv1210.2827T
• Schnürer, O. M .; Soergel, W. (2016), „Správná změna základny pro oddělené lokálně správné mapy“, Vykreslit. Semin. Rohož. Univ. Padova, 135: 223–250, arXiv:1404,7630v2, doi:10.4171 / RSMUP / 135-13
• Vakil, Ravi (2015), Základy algebraické geometrie (PDF)

externí odkazy

• Podání Briana Conrada
• Problémy s polokontinuitou