Funktory obrazu pro snopy - Image functors for sheaves - Wikipedia

v matematika, speciálně v teorie svazků —Doména používaná v oblastech, jako je topologie, logika a algebraická geometrie —Jsou čtyři obrazové funktory pro snopy které k sobě patří v různých smyslech.

Vzhledem k tomu, průběžné mapování F: X → Y z topologické prostory a kategorie Sh (-) snopy z abelianské skupiny na topologickém prostoru. Dotyční funkcionáři jsou

přímý obraz F_∗ : Sh (X) → Sh (Y)
inverzní obraz F^∗ : Sh (Y) → Sh (X)
přímý obraz s kompaktní podporou F_! : Sh (X) → Sh (Y)
výjimečný inverzní obraz Rf^! : D(Sh (Y)) → D(Sh (X)).

The vykřičník je často vyslovováno "výkřik „(slang pro vykřičník) a mapy nazvané“F křičet „nebo“F nižší výkřik "a"F horní výkřik “- viz také křik mapa.

Výjimečný inverzní obraz je obecně definován na úrovni odvozené kategorie pouze. Podobné úvahy platí i pro étale snopy na schémata.

Adjointness

Funktory jsou adjoint navzájem, jak je znázorněno vpravo, kde jako obvykle ${ displaystyle F leftrightarrows G}$ znamená, že F je vlevo přidružen k G (ekvivalentně G vpravo přidružený k F), tj.

Hom (F(A), B) ≅ Hom (A, G(B))

pro libovolné dva objekty A, B ve dvou kategoriích, které sousedí s F a G.

Například, F^∗ je levé adjoint z F_*. Podle standardního uvažování se vztahy adjointness existují přirozené jednotkové a počítané morfizmy ${ displaystyle { mathcal {G}} rightarrow f _ {*} f ^ {*} { mathcal {G}}}$ a ${ displaystyle f ^ {*} f _ {*} { mathcal {F}} rightarrow { mathcal {F}}}$ pro ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na Y a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na X, resp. To však jsou skoro nikdy izomorfismy - viz příklad lokalizace níže.

Vernější dualita

Vernější dualita dává další spojení mezi nimi: morálně řečeno, vyměňuje si „∗“ a „!“, tj. v synopse nad ním si vyměňuje funktory podél úhlopříček. Například přímý obraz je duální na přímý obraz s kompaktní podporou. Tento jev je studován a používán v teorii perverzní snopy.

Základní změna

Další užitečnou vlastností funktorů obrazu je základní změna. Vzhledem k průběžným mapám ${ displaystyle f: X rightarrow Z}$ a ${ displaystyle g: Y rightarrow Z}$ , které vyvolávají morfismy ${ displaystyle { bar {f}}: X times _ {Z} Y rightarrow Y}$ a ${ displaystyle { bar {g}}: X times _ {Z} Y rightarrow X}$ existuje kanonický izomorfismus ${ displaystyle R { bar {f}} _ {*} R { bar {g}} ^ {!} cong Rf ^ {!} Rg _ {*}}$ .

Lokalizace

V konkrétní situaci a uzavřený podprostor i: Z ⊂ X a komplementární otevřená podmnožina j: U ⊂ Xse situace zjednodušuje, pokud j^∗=j^! a i_!=i_∗ a pro jakýkoli svazek F na X, jeden dostane přesné sekvence

0 → j_!j^∗ F → F → i_∗i^∗ F → 0

Jeho Verdier dual čte

i_∗Ri^! F → F → Rj_∗j^∗ F → i_∗Ri^! F[1],

A rozlišovací trojúhelník v odvozené kategorii snopů na X.

V tomto případě jsou čteny vztahy adjointness

{ displaystyle i ^ {*} leftrightarrows i _ {*} = i _ {!} leftrightarrows i ^ {!}}

a

{ displaystyle j _ {!} leftrightarrows j ^ {!} = j ^ {*} leftrightarrows j _ {*}}

.

Reference

Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, PAN 0842190 zachází s topologickým nastavením
Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 3. Přednášky z matematiky (francouzsky). 305. Berlín; New York: Springer-Verlag. str. vi + 640. doi:10.1007 / BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. Citovat používá zastaralý parametr | editorlink1 = (Pomoc) zachází s případy étale snopy na schématech. Viz Exposé XVIII, oddíl 3.
Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 je další reference pro případ étale.