Jacobian ideální - Jacobian ideal

v matematika the Jacobian ideální nebo gradient ideální je ideál generované Jacobian funkce nebo funkce klíček.Nechat ${ displaystyle { mathcal {O}} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ označit prsten z plynulé funkce v ${ displaystyle n}$ proměnné a ${ displaystyle f}$ funkce v kruhu. Jacobský ideál ${ displaystyle f}$ je

{ displaystyle J_ {f}: = left langle { frac { částečné f} { částečné x_ {1}}}, ldots, { frac { částečné f} { částečné x_ {n}} } right rangle.}

Vztah k teorii deformace

V teorii deformací se jedná o deformace hyperplochy dané polynomem ${ displaystyle f}$ je klasifikován kroužkem

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f) + J_ {f}}}}$

To se zobrazuje pomocí Mapa Kodaira – Spencer.

Vztah k Hodgeově teorii

V Hodgeově teorii existují objekty zvané skutečné Hodgeovy struktury což jsou data skutečného vektorového prostoru ${ displaystyle H _ { mathbb {R}}}$ a rostoucí filtrace ${ displaystyle F ^ { bullet}}$ z ${ displaystyle H _ { mathbb {C}} = H _ { mathbb {R}} otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$ splnění seznamu struktur kompatibility. Pro hladkou projektivní rozmanitost ${ displaystyle X}$ existuje kanonická Hodgeova struktura.

Prohlášení pro hyperplochy stupně d

Ve zvláštním případě ${ displaystyle X}$ je definována homogenním stupněm ${ displaystyle d}$ polynomiální ${ displaystyle f in Gamma ( mathbb {P} ^ {n + 1}, { mathcal {O}} (d))}$ tuto Hodgeovu strukturu lze zcela pochopit z Jacobova ideálu. U jeho odstupňovaných kusů je to dáno mapou^[1]

${ displaystyle mathbb {C} [Z_ {0}, ldots, Z_ {n}] ^ {(d (n-1 + p) - (n + 2))} do { frac {F ^ { p} H ^ {n} (X, mathbb {C})} {F ^ {p + 1} H ^ {n} (X, mathbb {C})}}}$

což je surjektivní na primitivní kohomologii, označeno ${ displaystyle { text {Prim}} ^ {p, n-p} (X)}$ a má jádro ${ displaystyle J_ {f}}$ . Všimněte si, že primitivní třídy cohomologie jsou třídy ${ displaystyle X}$ které nepocházejí z ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n + 1}}$ , což je pouze třída Lefschetz ${ displaystyle [L] ^ {n} = c_ {1} ({ mathcal {O}} (1)) ^ {d}}$ .

Náčrt důkazu

Redukce na mapu zbytků

Pro ${ displaystyle X podmnožina mathbb {P} ^ {n + 1}}$ existuje související krátká přesná sekvence komplexů

${ displaystyle 0 to Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet} to Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet} ( log X) xrightarrow {res} Omega _ {X} ^ { bullet} [- 1] na 0}$

kde prostřední komplex je komplex svazků logaritmických forem a pravá mapa je Mapa zbytků. To má v cohomologii přidruženou dlouhou přesnou sekvenci. Z Lefschetzova hyperplošinová věta existuje pouze jedna zajímavá kohomologická skupina ${ displaystyle X}$ , který je ${ displaystyle H ^ {n} (X; mathbb {C}) = mathbb {H} ^ {n} (X; Omega _ {X} ^ { kulka})}$ . Z dlouhé přesné sekvence této krátké přesné sekvence existuje indukovaná mapa reziduí

${ displaystyle mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet}) do mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ {X} ^ { bullet} [- 1])}$

kde se pravá strana rovná ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ {X} ^ { kulka})}$ , který je izomorfní s ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} (X; Omega _ {X} ^ { kulka})}$ . Existuje také izomorfismus

${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) cong mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n +1}; Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet})}$

Prostřednictvím těchto izomorfismů existuje indukovaná mapa reziduí

${ displaystyle res: H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) až H ^ {n} (X; mathbb {C})}$

což je injektivní a surjektivní na primitivní kohomologii. Existuje také Hodgeův rozklad

${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) cong bigoplus _ {p + q = n + 1} H ^ {q} ( Omega _ { mathbb {P}} ^ {p} ( log X))}$

a ${ displaystyle H ^ {q} ( Omega _ { mathbb {P}} ^ {p} ( log X)) cong { text {Prim}} ^ {p-1, q} (X)}$ .

Výpočet de Rhamovy kohomologické skupiny

Ukázalo se, že jde o kohomologickou skupinu ${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$ je mnohem přitažlivější a má explicitní popis, pokud jde o polynomy. The ${ displaystyle F ^ {p}}$ část je překlenuta meromorfními formami majícími póly řádu ${ displaystyle leq n-p + 1}$ který se přiklání k ${ displaystyle F ^ {p}}$ část ${ displaystyle { text {Prim}} ^ {n} (X)}$ . To pochází z redukčního izomorfismu

${ displaystyle F ^ {p + 1} H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X; mathbb {C}) cong { frac { gama ( Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} (n-p + 1))} {d Gamma ( Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} (np)) }}}$

Pomocí kanonické ${ displaystyle (n + 1)}$ -formulář

${ displaystyle Omega = součet _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} Z_ {j} dZ_ {0} klín cdots klín { klobouk {dZ_ {j}}} klín cdoty klín dZ_ {n + 1}}$

na ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n + 1}}$ Kde ${ displaystyle { hat {dZ_ {j}}}}$ označuje vymazání z indexu, vypadají tyto meromorfní diferenciální formy

${ displaystyle { frac {A} {f ^ {n-p + 1}}} Omega}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} { text {deg}} (A) & = (n-p + 1) cdot { text {deg}} (f) - { text {deg}} ( Omega) & = (n-p + 1) cdot d- (n + 2) & = d (n-p + 1) - (n + 2) end {zarovnáno}}}$

Nakonec se ukázalo, že jádro^[1] ^{Lemma 8.11} je všech polynomů formy ${ displaystyle A '+ fB}$ kde ${ displaystyle A ' v J_ {f}}$ . Poznamenejte si Eulerovu identitu

${ displaystyle f = součet Z_ {j} { frac { částečné f} { částečné Z_ {j}}}}$

ukazuje ${ displaystyle f v J_ {f}}$ .

Reference

^ ^A ^b Úvod do Hodgeovy teorie. Bertin, José. Providence, R.I .: American Mathematical Society. 2002. s. 199–205. ISBN 0-8218-2040-0. OCLC 48892689.CS1 maint: ostatní (odkaz)

Viz také

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[:0-1] A ^b Úvod do Hodgeovy teorie. Bertin, José. Providence, R.I .: American Mathematical Society. 2002. s. 199–205. ISBN 0-8218-2040-0. OCLC 48892689.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[1]