Výjimečný funktor inverzního obrazu - Exceptional inverse image functor

v matematika, konkrétněji teorie svazků, pobočka topologie a algebraická geometrie, výjimečný funktor inverzního obrazu je čtvrtý a nejsofistikovanější v řadě obrazové funktory pro snopy. Je třeba se vyjádřit Vernější dualita ve své nejobecnější podobě.

Definice

Funktory obrazu pro snopy
přímý obraz F∗
inverzní obraz F∗
přímý obraz s kompaktní podporou F!
výjimečný inverzní obraz Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny

Nechat F: X → Y být průběžná mapa z topologické prostory nebo a morfismus z schémata. Pak je výjimečný inverzní obraz funktor

RF^!: D (Y) → D (X)

kde D (-) označuje odvozená kategorie z snopy abelianských skupin nebo modulů přes pevný kruh.

Je definován jako pravý adjoint z celkový odvozený funktor RF_! z přímý obraz s kompaktní podporou. Jeho existence vyplývá z určitých vlastností R.F_! a obecné věty o existenci adjunkčních funktorů, stejně jako unicity.

Zápis RF^! je zneužití notace, protože obecně neexistuje funktor F^! jehož odvozený funktor by byl RF^!.

Příklady a vlastnosti

• Li F: X → Y je ponoření a místně uzavřeno podprostor, pak je možné definovat

F^!(F) := F^∗ G,

kde G je podnoží z F z toho sekce u nějaké otevřené podmnožiny U z Y jsou sekce s ∈ F(U) jehož Podpěra, podpora je obsažen v X. Funktor F^! je vlevo přesně a výše uvedené RF^!, jehož existence je zaručena obecnými strukturálními argumenty, je ve skutečnosti odvozeným funktorem tohoto F^!. navíc F^! je správně přidružen k F_!, také.

• O něco obecněji platí podobné prohlášení pro všechny kvazi-konečný morfismus jako je étale morphism.
• Li F je otevřené ponoření, výjimečný inverzní obraz se rovná obvyklému inverzní obraz.

Reference

• Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16389-3, PAN  0842190 zachází s topologickým nastavením
• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 3. Přednášky z matematiky (francouzsky). 305. Berlín; New York: Springer-Verlag. str. vi + 640. doi:10.1007 / BFb0070714. ISBN  978-3-540-06118-2. zachází s případy étale snopy na schématech. Viz Exposé XVIII, oddíl 3.