Funktor inverzního obrazu - Inverse image functor

V matematice, konkrétně v algebraická topologie a algebraická geometrie, an funktor inverzního obrazu je protikladný konstrukce snopy; zde „kontravariantní“ ve smyslu dané mapy ${ displaystyle f: X až Y}$, inverzní obraz funktor je funktor z kategorie snopy na Y do kategorie snopy na X. The přímý funktor obrazu je primární operace na svazcích s nejjednodušší definicí. Inverzní obraz vykazuje některé relativně jemné rysy.

Funktory obrazu pro snopy
přímý obraz F∗
inverzní obraz F∗
přímý obraz s kompaktní podporou F!
výjimečný inverzní obraz Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny

Definice

Předpokládejme, že jsme dostali svazek ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na ${ displaystyle Y}$ a které chceme přepravit ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na ${ displaystyle X}$ používat průběžná mapa ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$.

Výsledek budeme nazývat inverzní obraz nebo zarazit snop ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$. Pokud se pokusíme napodobit přímý obraz nastavením

${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}} (U) = { mathcal {G}} (f (U))}$

pro každou otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$, okamžitě narazíme na problém: ${ displaystyle f (U)}$ není nutně otevřený. Nejlepší, co jsme mohli udělat, je aproximovat to otevřenými množinami, ai potom dostaneme a předheaf a ne svazek. V důsledku toho definujeme ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ být svazek spojený s presheaf:

${ displaystyle U mapsto varinjlim _ {V supseteq f (U)} { mathcal {G}} (V).}$

(Tady ${ displaystyle U}$ je otevřená podmnožina ${ displaystyle X}$ a colimit běží přes všechny otevřené podmnožiny ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle Y}$ obsahující ${ displaystyle f (U)}$.)

Například pokud ${ displaystyle f}$ je pouze zahrnutí bodu ${ displaystyle y}$ z ${ displaystyle Y}$, pak ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ mathcal {F}})}$ je jen stonek z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ v tomto bodě.

Omezovací mapy, stejně jako funkčnost inverzního obrazu vyplývá z univerzální vlastnictví z přímé limity.

Při jednání s morfismy ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ z místně prstencované prostory, například schémata v algebraická geometrie, často se pracuje snopy z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$- moduly, kde ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$ je struktura svazku ${ displaystyle Y}$. Pak funktor ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ je nevhodné, protože obecně nedává ani snopy ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$- moduly. Abychom to napravili, definujeme v této situaci snop ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$- moduly ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ jeho inverzní obraz od

${ displaystyle f ^ {*} { mathcal {G}}: = f ^ {- 1} { mathcal {G}} otimes _ {f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {Y }} { mathcal {O}} _ {X}}$.

Vlastnosti

• Zatímco ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ je složitější definovat než ${ displaystyle f _ { ast}}$, stonky jsou snadněji vypočítatelné: daný bod ${ displaystyle x v X}$, jeden má ${ displaystyle (f ^ {- 1} { mathcal {G}}) _ {x} cong { mathcal {G}} _ {f (x)}}$.
• ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ je přesný funktor, jak je patrné z výše uvedeného výpočtu stopek.
• ${ displaystyle f ^ {*}}$ je (obecně) pouze správný přesný. Li ${ displaystyle f ^ {*}}$ je přesný, F je nazýván byt.
• ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ je vlevo adjoint z přímý funktor obrazu ${ displaystyle f _ { ast}}$. To znamená, že existují přirozené jednotky a počítané morfizmy ${ displaystyle { mathcal {G}} rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ a ${ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} { mathcal {F}} rightarrow { mathcal {F}}}$. Tyto morfismy přinášejí přirozenou adjektivní korespondenci:

${ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} { mathcal {G}}, { mathcal {F}}) = mathrm {Hom} _ { mathbf {Sh} (Y)} ({ mathcal {G}}, f _ {*} { mathcal {F}})}$.

Avšak morfismy ${ displaystyle { mathcal {G}} rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ a ${ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} { mathcal {F}} rightarrow { mathcal {F}}}$ jsou skoro nikdy izomorfismy. Například pokud ${ displaystyle i dvojtečka Z až Y}$ označuje zahrnutí uzavřené podmnožiny, stopky ${ displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle y v Y}$ je kanonicky izomorfní s ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {y}}$ -li ${ displaystyle y}$ je v ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle 0}$ v opačném případě. Podobné doplnění platí pro případ svazků modulů, nahrazení ${ displaystyle i ^ {- 1}}$ podle ${ displaystyle i ^ {*}}$.

Reference

• Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16389-3, PAN  0842190. Viz část II.4.