Hyperfunkce - Hyperfunction

v matematika, hyperfunkce jsou zobecnění funkcí jako „skok“ z jedné holomorfní funkce do jiného na hranici a lze o něm neformálně uvažovat distribuce nekonečného řádu. Hyperfunkce byly zavedeny Mikio Sato v 1958 v japonštině, (1959, 1960 v angličtině), navazující na dřívější práci od Laurent Schwartz, Grothendieck a další.

Formulace

Hyperfunkci na reálné linii lze chápat jako „rozdíl“ mezi jednou holomorfní funkcí definovanou v horní polorovině a druhou v dolní polorovině. To znamená, že hyperfunkce je určena dvojicí (F, G), kde F je holomorfní funkce na horní polorovině a G je holomorfní funkce na spodní polorovině.

Neformálně je rozdíl v tom, o co jde ${ displaystyle f-g}$ bude na skutečné linii samotné. Tento rozdíl není ovlivněn přidáním stejné holomorfní funkce k oběma F a G, takže pokud h je holomorfní funkce jako celek složité letadlo, hyperfunkce (F, G) a (F + h, G + h) jsou definovány jako ekvivalentní.

Definice v jedné dimenzi

Motivaci lze konkrétně realizovat pomocí nápadů z svazek kohomologie. Nechat ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ být snop z holomorfní funkce na ${ displaystyle mathbb {C}.}$ Definujte hyperfunkce na skutečná linie jako první místní kohomologie skupina:

${ displaystyle { mathcal {B}} ( mathbb {R}) = H _ { mathbb {R}} ^ {1} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}).}$

Konkrétně nechte ${ displaystyle mathbb {C} ^ {+}}$ a ${ displaystyle mathbb {C} ^ {-}}$ být horní polorovina a spodní polorovina resp. Pak ${ displaystyle mathbb {C} ^ {+} pohár mathbb {C} ^ {-} = mathbb {C} setminus mathbb {R}}$ tak

${ displaystyle H _ { mathbb {R}} ^ {1} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}) = left [H ^ {0} ( mathbb {C} ^ {+}, { mathcal {O}}) oplus H ^ {0} ( mathbb {C} ^ {-}, { mathcal {O}}) right] / H ^ {0} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}).}$

Vzhledem k tomu, že nultá kohomologická skupina jakéhokoli svazku je jednoduše globální částí tohoto svazku, vidíme, že hyperfunkce je dvojice holomorfních funkcí, každá na horní a dolní komplexní polorovině modulo celé holomorfní funkce.

Obecněji lze definovat ${ displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ pro jakoukoli otevřenou sadu ${ displaystyle U subseteq mathbb {R}}$ jako kvocient ${ displaystyle H ^ {0} ({ tilde {U}} setminus U, { mathcal {O}}) / H ^ {0} ({ tilde {U}}, { mathcal {O}} )}$ kde ${ displaystyle { tilde {U}} subseteq mathbb {C}}$ je libovolná otevřená sada s ${ displaystyle { tilde {U}} cap mathbb {R} = U}$. Lze ukázat, že tato definice nezávisí na výběru ${ displaystyle { tilde {U}}}$ což dává další důvod uvažovat o hyperfunkcích jako o „hraničních hodnotách“ holomorfních funkcí.

Příklady

• Li F je jakákoli holomorfní funkce na celé komplexní rovině, pak omezení F ke skutečné ose je hyperfunkce, reprezentovaná buď (F, 0) nebo (0, -F).
• The Funkce Heaviside step lze reprezentovat jako

${ displaystyle H (x) = left (- { tfrac {1} {2 pi i}} log (z), - { tfrac {1} {2 pi i}} log (z) -1 vpravo).}$

• The Dirac delta "funkce" je reprezentován

${ displaystyle left ({ tfrac {1} {2 pi iz}}, { tfrac {1} {2 pi iz}} right).}$

Toto je opravdu přepracování Cauchyho integrální vzorec. K ověření je možné vypočítat integraci F těsně pod skutečnou linií a odečíst integraci G těsně nad skutečnou čarou - oba zleva doprava. Všimněte si, že hyperfunkce může být netriviální, i když jsou komponenty analytickým pokračováním stejné funkce. Také to lze snadno zkontrolovat rozlišením funkce Heaviside.

• Li G je spojitá funkce (nebo obecněji rozdělení ) na skutečné lince s podporou obsaženou v omezeném intervalu Já, pak G odpovídá hyperfunkci (F, −F), kde F je holomorfní funkce na doplnění Já definován

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {x v I} g (x) { frac {1} {z-x}} , dx.}$

Tato funkce F skočí o hodnotu o G(X) při překročení skutečné osy v bodě X. Vzorec pro F vyplývá z předchozího příkladu psaním G jako konvoluce s funkcí Dirac delta.

• Pomocí oddílu jednoty lze zapsat libovolnou spojitou funkci (distribuci) jako lokálně konečný součet funkcí (distribucí) s kompaktní podporou. To lze využít k rozšíření výše uvedeného vkládání do vkládání ${ displaystyle textstyle { mathcal {D}} '( mathbb {R}) do { mathcal {B}} ( mathbb {R}).}$
• Li F je jakákoli funkce, která je holomorfní všude s výjimkou zásadní singularita na 0 (například E^1/z), pak ${ displaystyle (f, -f)}$ je hyperfunkce s Podpěra, podpora 0 to není distribuce. Li F má pól konečného řádu na 0 pak ${ displaystyle (f, -f)}$ je distribuce, takže kdy F má tedy zásadní singularitu ${ displaystyle (f, -f)}$ vypadá jako „distribuce nekonečného řádu“ na 0. (Všimněte si, že distribuce vždy mají konečný objednávku kdykoli.)

Operace s hyperfunkcemi

Nechat ${ displaystyle U subseteq mathbb {R}}$ být libovolnou otevřenou podmnožinou.

• Podle definice ${ displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ je vektorový prostor takový, že sčítání a násobení komplexními čísly jsou dobře definována. Výslovně:

${ displaystyle a (f _ {+}, f _ {-}) + b (g _ {+}, g _ {-}): = (af _ {+} + bg _ {+}, af _ {-} + bg _ {-} )}$

• Zjevné mapy omezení se otočí ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ do snop (což je ve skutečnosti ochablý ).
• Násobení skutečnými analytickými funkcemi ${ displaystyle h in { mathcal {O}} (U)}$ a diferenciace jsou dobře definované:

${ displaystyle { begin {aligned} h (f _ {+}, f _ {-}) &: = (hf _ {+}, hf _ {-}) [6pt] { frac {d} {dz}} (f _ {+}, f _ {-}) &: = left ({ frac {df _ {+}} {dz}}, { frac {df _ {-}} {dz}} right) end { zarovnaný}}}$

S těmito definicemi ${ displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ se stává D-modul a vložení ${ displaystyle { mathcal {D}} ' hookrightarrow { mathcal {B}}}$ je morfismus D-modulů.

• Bod ${ displaystyle a v U}$ se nazývá a holomorfní bod z ${ displaystyle f in { mathcal {B}} (U)}$ -li ${ displaystyle f}$ omezuje na skutečnou analytickou funkci v nějakém malém sousedství ${ displaystyle a.}$ Li ${ displaystyle a leqslant b}$ jsou dva holomorfní body, pak je integrace dobře definovaná:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f: = - int _ { gamma _ {+}} f _ {+} (z) , dz + int _ { gamma _ {-}} f_ {-} (z) , dz}$

kde ${ displaystyle gamma _ { pm}: [0,1] to mathbb {C} ^ { pm}}$ jsou libovolné křivky s ${ displaystyle gamma _ { pm} (0) = a, gamma _ { pm} (1) = b.}$ Integrály jsou nezávislé na výběru těchto křivek, protože horní a dolní polovina roviny jsou jednoduše připojeno.

• Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {c} (U)}$ být prostorem hyperfunkcí s kompaktní podporou. Prostřednictvím bilineární formy

${ displaystyle { begin {cases} { mathcal {B}} _ {c} (U) times { mathcal {O}} (U) to mathbb {C} (f, varphi) mapsto int f cdot varphi end {případy}}}$

jeden přidruží každou hyperfunkci s kompaktní podporou kontinuální lineární funkce ${ displaystyle { mathcal {O}} (U).}$ To vyvolává identifikaci dvojího prostoru, ${ displaystyle { mathcal {O}} '(U),}$ s ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {c} (U).}$ Zvláštní případ, který stojí za zvážení, je případ spojitých funkcí nebo distribucí s kompaktní podporou: Pokud někdo uvažuje ${ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$ (nebo ${ displaystyle { mathcal {E}} '(U)}$) jako podmnožina ${ displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ pomocí výše uvedeného vložení se pak vypočítá přesně tradiční Lebesgueův integrál. Dále: Pokud ${ displaystyle u in { mathcal {E}} '(U)}$ je distribuce s kompaktní podporou, ${ displaystyle varphi v { mathcal {O}} (U)}$ je skutečná analytická funkce a ${ displaystyle operatorname {supp} (u) podmnožina (a, b)}$ pak

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} u cdot varphi = langle u, varphi rangle.}$

Tento pojem integrace tedy dává přesný význam formálním výrazům jako

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} delta (x) , dx}$

které nejsou definovány v obvyklém smyslu. Navíc: Protože skutečné analytické funkce jsou husté ${ displaystyle { mathcal {E}} (U), { mathcal {E}} '(U)}$ je podprostor o ${ displaystyle { mathcal {O}} '(U)}$. Toto je alternativní popis stejného vkládání ${ displaystyle { mathcal {E}} ' hookrightarrow { mathcal {B}}}$.

• Li ${ displaystyle Phi: U až V}$ je skutečná analytická mapa mezi otevřenými soubory ${ displaystyle mathbb {R}}$, pak složení s ${ displaystyle Phi}$ je dobře definovaný operátor z ${ displaystyle { mathcal {B}} (V)}$ na ${ displaystyle { mathcal {B}} (U)}$:

${ displaystyle f circ Phi: = (f _ {+} circ Phi, f _ {-} circ Phi)}$

Viz také

Reference

• Imai, Isao (2012) [1992], Aplikovaná teorie hyperfunkcí, Matematika a její aplikace (kniha 8), Springer, ISBN  978-94-010-5125-5.
• Kaneko, Akira (1988), Úvod do teorie hyperfunkcí, Matematika a její aplikace (kniha 3), Springer, ISBN  978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Základy algebraické analýzy Knihovna Princeton Legacy Library (kniha 5158), PMS-37, překládal Kato, Goro (vydání Reprint), Princeton University Press, ISBN  978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, ed. (1973), Hyperfunkce a pseudo-diferenciální rovnice, sborník z konference v Katatě, 1971, Přednášky z matematiky 287, Springer, ISBN  978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Relativní kohomologie svazků řešení diferenciálních rovnic, str. 192–261.
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, Mikrofunkce a pseudo-diferenciální rovnice, str. 265–529. - Říká se tomu SKK.
• Martineau, André (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato, Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Exposé no. 214, PAN  1611794, Zbl  0122.34902.
• Morimoto, Mitsuo (1993), Úvod do Sato HyperfunctionsPřeklady matematických monografií (kniha 129), Americká matematická společnost, ISBN  978-0-82184571-4.
• Pham, F. L., ed. (1975), Hyperfunkce a teoretická fyzika, Rencontre de Nice, 21-30 Mai 1973, Přednášky z matematiky 449, Springer, ISBN  978-3-540-37454-1.
  • Cerezo, A .; Piriou, A .; Chazarain, J., Úvod do hyperfunkce, s. 1–53.
• Sato, Mikio (1958), „Cyōkansū no riron (Theory of Hyperfunctions)“, Sūgaku (v japonštině), Mathematical Society of Japan, 10 (1): 1–27, doi:10.11429 / sugaku1947.10.1, ISSN  0039-470X
• Sato, Mikio (1959), „Theory of Hyperfunctions, I“, Časopis Přírodovědecké fakulty Tokijské univerzity. Sekta. 1, Matematika, Astronomie, Fyzika, Chemie, 8 (1): 139–193, hdl:2261/6027, PAN  0114124.
• Sato, Mikio (1960), „Theory of Hyperfunctions, II“, Časopis Přírodovědecké fakulty Tokijské univerzity. Sekta. 1, Matematika, Astronomie, Fyzika, Chemie, 8 (2): 387–437, hdl:2261/6031, PAN  0132392.
• Schapira, Pierre (1970), Theories des Hyperfonctions, Přednášky z matematiky 126, Springer, ISBN  978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hyperfunkce a harmonická analýza na symetrických prostorech, Progress in Mathematics (Softcover dotisk původního 1. vydání), Springer, ISBN  978-1-4612-9775-8

externí odkazy

• Jacobs, Bryan. „Hyperfunkce“. MathWorld.
• Kaneko, A. (2001) [1994], „Hyperfunkce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS