Weilova kohomologická teorie - Weil cohomology theory

v algebraická geometrie, a Weilova kohomologie nebo Weilova kohomologická teorie je kohomologie splňující určité axiomy týkající se souhry algebraické cykly a kohomologické skupiny. Jméno je na počest André Weil. Weilovy kohomologické teorie hrají důležitou roli v teorii motivy, pokud kategorie z Chow motivy je univerzální pro Weilovy kohomologické teorie v tom smyslu, že jakákoli Weilova kohomologická teorie ovlivňuje motivy Chow. Všimněte si však, že kategorie motivů Chow nedává Weilovu kohomologickou teorii, protože tomu tak není abelian.

Definice

A Weilova kohomologická teorie je kontravariantní funktor:

${ displaystyle H ^ {*}: {{ text {plynulé projektivní variace nad polem}} k } longrightarrow {{ text {graded}} K { text {-algebras}} },}$

s výhradou níže uvedených axiomů. Všimněte si, že pole K. nelze zaměňovat k; první je pole charakteristické nuly, nazývané pole koeficientu, zatímco základní pole k může být libovolný. Předpokládat X je hladký projektivní algebraická rozmanitost dimenze n, pak odstupňované K.-algebra

${ displaystyle H ^ {*} (X) = bigoplus nolimits _ {i} H ^ {i} (X)}$

podléhá následujícímu:

• ${ displaystyle H ^ {i} (X)}$ jsou konečně-dimenzionální K.-vektorové prostory.

• ${ displaystyle H ^ {i} (X)}$ zmizet pro i <0 nebo i > 2n.

• ${ displaystyle H ^ {2n} (X)}$ je izomorfní s K. (tzv. orientační mapa).

• Tady je Poincaré dualita, tj. nedegenerované párování:

${ displaystyle H ^ {i} (X) krát H ^ {2n-i} (X) až H ^ {2n} (X) cong K.}$

• Existuje kanonický Künneth izomorfismus:

${ displaystyle H ^ {*} (X) mnohokrát H ^ {*} (Y) až H ^ {*} (X krát Y).}$

• Tady je cyklomapa:

${ displaystyle gamma _ {X}: Z ^ {i} (X) až H ^ {2i} (X),}$

kde první skupina znamená algebraické cykly codimension i, splňující určité podmínky kompatibility s ohledem na funkčnost H, Künneth izomorfismus a takový, že pro X bod, cyklická mapa je zahrnutí Z ⊂ K..

• Slabý Lefschetzův axiom: Pro jakýkoli hladký sekce nadroviny j: Ž ⊂ X (tj. Ž = X ∩ H, H nějaká nadrovina v okolním projektivním prostoru), mapy:

${ displaystyle j ^ {*}: H ^ {i} (X) až H ^ {i} (W),}$

jsou izomorfismy pro ${ displaystyle i leqslant n-2}$ a monomorfismus pro ${ displaystyle i leqslant n-1.}$

• Tvrdý Lefschetzův axiom: Nechte Ž být částí nadroviny a ${ displaystyle w = gamma _ {X} (W) v H ^ {2} (X)}$ být jeho obrazem pod mapou tříd cyklů. The Operátor Lefschetz je definován jako

${ displaystyle { begin {cases} L: H ^ {i} (X) až H ^ {i + 2} (X) x mapsto x cdot w end {cases}}}$

kde tečka označuje produkt v algebře ${ displaystyle H ^ {*} (X).}$ Pak

${ displaystyle L ^ {i}: H ^ {n-i} (X) až H ^ {n + i} (X)}$

je izomorfismus pro i = 1, ..., n.

Příklady

Existují čtyři takzvané Weilovy kohomologické teorie:

• singulární (= Betti) kohomologie, pokud jde o odrůdy C jako topologické prostory využívající jejich analytická topologie (vidět SENILNÍ )

• de Rhamova kohomologie nad základním polem charakteristický nula: přes C definován diferenciální formy a obecně pomocí komplexu Kählerových diferenciálů (viz algebraická de Rhamova kohomologie )

• l-adická kohomologie pro odrůdy nad charakteristickými poli odlišnými od l

• krystalická kohomologie

Důkazy axiomů v případě kohomologie Bettiho a de Rhama jsou poměrně snadné a klasické, zatímco pro l-adic cohomology, například, většina z výše uvedených vlastností jsou hluboké věty.

Mizení bettiho kohomologických skupin přesahujících dvojnásobek dimenze je zřejmé ze skutečnosti, že (komplexní) rozmanitost komplexní dimenze n má skutečný rozměr 2n, takže tyto vyšší kohomologické skupiny zmizí (například porovnáním s zjednodušená (ko) homologie ). Mapa cyklů má také vysvětlení: k libovolnému (komplexnímu)i-dimenzionální poddruh (kompaktní potrubí) X komplexní dimenze n, lze integrovat diferenciál (2n - i) - tvoří se podél této odrůdy. Klasické prohlášení o Poincaré dualita je, že to dává nedegenerované párování:

${ displaystyle H_ {i} (X) mnohokrát H _ { text {dR}} ^ {2n-i} (X) to mathbf {C},}$

tedy (prostřednictvím srovnání de Rhamovy kohomologie a bettiho kohomologie) izomorfismus:

${ displaystyle H_ {i} (X) cong H _ { text {dR}} ^ {2n-i} (X) ^ { vee} cong H ^ {i} (X).}$

Reference

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, PAN  1288523 (obsahuje důkazy všech axiomů pro Bettiho a de-Rhamovu kohomologii)
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7 (idem pro l- adic cohomology)
• Kleiman, S. L. (1968), „Algebraické cykly a Weilovy domněnky“, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 359–386, PAN  0292838