Lerayova spektrální sekvence - Leray spectral sequence

v matematika, Lerayova spektrální sekvence byl průkopnický příklad v homologická algebra, představený v roce 1946^[1][2] podle Jean Leray. Dnes se na něj obvykle pohlíží jako na zvláštní případ Grothendieckova spektrální sekvence.

Definice

Nechat ${displaystyle f: X o Y}$ být spojitá mapa topologických prostorů, která zejména dává a funktor ${displaystyle f _ {*}}$ z snopy abelianských skupin na ${displaystyle X}$ na snopy abelianských skupin ${displaystyle Y}$. Skládání s funktorem ${displaystyle Gamma}$ přijímání sekcí ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (Y)}$ je stejné jako převzetí sekcí ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)}$, definicí přímého funktoru obrazu ${displaystyle f _ {*}}$:

${displaystyle {ce {Sh}} _ {ext {Ab}} (X) {ce {-> [f_ *] Sh}} _ {ext {Ab}} (Y) {ce {-> [Gamma] Ab} }}$.

Tak odvozené funktory z ${displaystyle Gamma circle f _ {*}}$ vypočítat cohomologii svazku pro ${displaystyle X}$:

${displaystyle R ^ {i} (Gamma cdot f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {i} (X, {mathcal {F}})}$.

Ale protože ${displaystyle f _ {*}}$ a ${displaystyle Gamma}$ poslat injekční předměty v ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)}$ na ${displaystyle Gamma}$-acylové předměty v ${displaystyle {ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (Y)}$, existuje spektrální sekvence^{[3]str. 33,19} jehož druhá stránka je

${displaystyle E_ {2} ^ {pq} = (R ^ {p} Gamma cdot R ^ {q} f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {p} (Y, R ^ {q } f _ {*} ({mathcal {F}}))}$,

a který konverguje k

${displaystyle E_ {infty} ^ {pq} = R ^ {p + q} (gama kruh f _ {*}) ({mathcal {F}}) = H ^ {p + q} (X, {mathcal {F} })}$.

Tomu se říká Lerayova spektrální sekvence.

Zobecnění na další snopy a komplexy snopů

Všimněte si, že tento výsledek lze zobecnit namísto zvážení svazků modulů přes lokálně konstantní svazek kroužků ${displaystyle {underline {A}}}$ pro pevný komutativní kruh ${displaystyle A}$. Potom budou snopy snopy ${displaystyle {underline {A}}}$-moduly, kde pro otevřenou sadu ${displaystyle Usubset X}$takový snop ${displaystyle {mathcal {F}} v {ext {Sh}} _ {podtržení {A}} (X)}$ je ${displaystyle {underline {A}} (U)}$-modul pro ${displaystyle {mathcal {F}} (U)}$. Navíc bychom místo snopů mohli uvažovat komplexy snopů ohraničené níže ${displaystyle {mathcal {F}} ^ {ullet} v D_ {podtržení {A}} ^ {+} (X)}$ pro odvozená kategorie z ${displaystyle {ext {Sh}} _ {podtržení {A}} (X)}$. Potom jeden nahradí svazek cohomology s hypercohomologie svazku.

Konstrukce

Existence Lerayovy spektrální sekvence je přímou aplikací Grothendieckova spektrální sekvence^[3]str. To říká, že vzhledem k tomu, aditivní funktory

${displaystyle {mathcal {A}} xrightarrow {G} {mathcal {B}} xrightarrow {F} {mathcal {C}}}$

mezi Abelianské kategorie mít dost injekcí, ${displaystyle F}$ A levý přesný funktor, a ${displaystyle G}$ zasílání injekčních předmětů na ${displaystyle F}$-acyklické objekty, pak existuje izomorfismus odvozené funktory

${displaystyle R ^ {+} (Fcirc G) = R ^ {+} Fcirc F ^ {+} G}$

pro odvozené kategorie ${displaystyle D ^ {+} ({mathcal {A}}), D ^ {+} ({mathcal {B}}), D ^ {+} ({mathcal {C}})}$. Ve výše uvedeném příkladu máme složení odvozených funktorů

${displaystyle D ^ {+} ({ext {Sh}} _ {ext {Ab}} (X)) xrightarrow {Rf _ {*}} D ^ {+} ({ext {Sh}} _ {ext {Ab} } (Y)) xrightarrow {Gamma} D ^ {+} ({ext {Ab}})}$.

Klasická definice

Nechat ${displaystyle fcolon X o Y}$ být spojitá mapa hladké potrubí. Li ${displaystyle {mathcal {U}} = {U_ {i}} _ {iin I}}$ je otevřená obálka ${displaystyle Y}$, tvoří Čechův komplex snopu ${displaystyle {mathcal {F}} v {ext {Sh}} (X)}$ s ohledem na krytí ${displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ z ${displaystyle X}$:

${displaystyle {ext {C}} ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, {mathcal {F}})}$

Hraniční mapy ${displaystyle d ^ {p} dvojtečka C ^ {p} o C ^ {p + 1}}$ a mapy ${displaystyle delta ^ {q} dvojtečka Omega _ {X} ^ {q} o Omega _ {X} ^ {q + 1}}$ snopy na ${displaystyle X}$ společně dávají hraniční mapu dvojitého komplexu ${displaystyle {ext {C}} ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {q})}$

${displaystyle D = d + delta colon C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet}) longrightarrow C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet})}$.

Tento dvojitý komplex je také jediným komplexem odstupňovaným podle ${displaystyle n = p + q}$, vzhledem k nimž ${displaystyle D}$ je hraniční mapa. Pokud každý konečný průsečík ${displaystyle U_ {i}}$ je difeomorfní ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, lze ukázat, že cohomologie

${displaystyle H_ {D} ^ {n} (C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet})) = H_ {ext {dR}} ^ {n} (X, mathbb {R})}$

tohoto komplexu je de Rhamova kohomologie z ${displaystyle X}$.^[4]:96 Navíc,^[4]:179[5] jakýkoli dvojitý komplex má spektrální sekvenci E s

${displaystyle E_ {infty} ^ {np, p} = {ext {the}} p {ext {th graded part of}} H_ {dR} ^ {n} (C ^ {ullet} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, Omega _ {X} ^ {ullet})}}$

(takže jejich součet je ${displaystyle H_ {dR} ^ {n}}$), a

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, {mathcal {H}} ^ {q}),}$

kde ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {q}}$ je presheaf zapnutý X odesílání ${displaystyle Umapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F)}$. V této souvislosti se tomu říká Lerayova spektrální sekvence.

Moderní definice to zahrnuje, protože vyšší přímý funktor obrazu ${displaystyle R ^ {p} f _ {*} (F)}$ je sheafifikace presheafa ${displaystyle Umapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F)}$.

Příklady

• Nechat ${displaystyle X, F}$ být hladké potrubí, a ${displaystyle X}$ být jednoduše připojeno, tak ${displaystyle pi _ {1} (X) = 0}$. Vypočítáme Lerayovu spektrální sekvenci projekce ${displaystyle fcolon X imes F o X}$. Pokud kryt ${displaystyle {mathcal {U}} = {U_ {i}} _ {iin I}}$ je dobrá (konečné křižovatky jsou ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$) pak

${displaystyle {mathcal {H}} ^ {p} (f ^ {- 1} U_ {i}) simeq H ^ {q} (F)}$

Od té doby ${displaystyle X}$ je jednoduše připojen, jakýkoli lokálně konstantní presheaf je konstantní, takže toto je konstantní presheaf ${displaystyle H ^ {q} (F) = {podtržení {mathbb {R}}} ^ {n_ {q}}}$. Takže druhá stránka Lerayovy spektrální sekvence je

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {mathcal {U}}, H ^ {q} (F)) = H ^ {p} (f ^ {-1} {mathcal {U}}, mathbb {R}) často H ^ {q} (F)}$

Jako kryt ${displaystyle {f ^ {- 1} (U_ {i})} _ {iin I}}$ z ${displaystyle X imes F}$ je také dobrý, ${displaystyle H ^ {p} (f ^ {- 1} (U_ {i}); mathbb {R}) cong H ^ {p} (f; mathbb {R})}$. Tak

${displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X) často H ^ {q} (F) Longrightarrow H ^ {p + q} (X je F, mathbb {R})}$

Tady je první místo, které používáme ${displaystyle f}$ je projekce a nejen svazek vláken: každý prvek ${displaystyle E_ {2}}$ je skutečná uzavřená diferenciální forma na všech ${displaystyle X imes F}$, takže platí obojí d a ${displaystyle delta}$ jim dává nulu. Tím pádem ${displaystyle E_ {infty} = E_ {2}}$. To dokazuje Künneth věta pro ${displaystyle X}$ jednoduše připojeno:

${displaystyle H ^ {ullet} (X je Y, mathbb {R}) simeq H ^ {ullet} (X) často H ^ {ullet} (Y)}$

• Li ${displaystyle fcolon X o Y}$ je generál svazek vláken s vláknem ${displaystyle F}$, platí výše uvedené, kromě toho ${displaystyle V ^ {p} o H ^ {p} (f ^ {- 1} V, H ^ {q})}$ je pouze lokálně konstantní presheaf, ne konstantní.

• Všechny příklady výpočtů s Serre spektrální sekvence jsou Lerayova sekvence pro konstantní svazek.

Věta o degeneraci

V kategorii kvazi-projektivních odrůd přes ${displaystyle mathbb {C}}$existuje věta o degeneraci dokázaná Pierre Deligne a Blanchard pro Lerayovu spektrální sekvenci, která uvádí, že plynulý projektivní morfismus odrůd ${displaystyle fcolon X o Y}$ dává nám to ${displaystyle E_ {2}}$-strana spektrální sekvence pro ${displaystyle {underline {mathbb {Q}}} _ {X}}$ zdegeneruje

${displaystyle H ^ {k} (X; mathbb {Q}) cong igoplus _ {p + q = k} H ^ {p} (Y; mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {X})).}$

Snadné příklady lze vypočítat, pokud Y je jednoduše připojen; například úplný průnik dimenze ${displaystyle geq 2}$ (je to kvůli Hurewiczův homomorfismus a Lefschetzova hyperplošinová věta ). V tomto případě místní systémy ${displaystyle mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {X})}$ proto bude mít triviální monodromy ${displaystyle mathbf {R} ^ {q} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {X}) cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus l_ {q} }}$. Zvažte například hladkou rodinu ${displaystyle fcolon X o Y}$ rodu 3 křivek na hladké Povrch K3. Pak tu máme

${displaystyle {egin {aligned} mathbf {R} ^ {0} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} mathbf {R} ^ {1} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6} mathbf {R} ^ {2} f _ {*} ({underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & cong {underline {mathbb {Q}}} _ {Y} end {aligned}}}$

dává nám ${displaystyle E_ {2}}$-strana

${displaystyle E_ {2} = E_ {infty} = {egin {bmatrix} H ^ {0} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {2} (Y; {underline { mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {4} (Y; {podtržení {mathbb {Q}}} _ {Y}) H ^ {0} (Y; {podtržení {mathbb {Q}} } _ {Y} ^ {oplus 6}) & 0 & H ^ {2} (Y; {podtržení {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6}) & 0 & H ^ {4} (Y; {podtržení {mathbb {Q}}} _ {Y} ^ {oplus 6}) H ^ {0} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {2} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) & 0 & H ^ {4} (Y; {underline {mathbb {Q}}} _ {Y}) end {bmatrix}}}$

Příklad s monodromy

Dalším důležitým příkladem hladké projektivní rodiny je rodina spojená s eliptickými křivkami

${displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x-t)}$

přes ${displaystyle mathbb {P} ^ {1} setminus {0,1, infty}}$. Tady je monodromy 0 a 1 lze vypočítat pomocí Teorie Picard – Lefschetz, dávat monodromy kolem ${displaystyle infty}$ skládáním místních monodromií.

Historie a souvislost s jinými spektrálními sekvencemi

V době Lerayovy práce žádný ze dvou zahrnutých konceptů (spektrální sekvence, snopová kohomologie) nedosáhl něčeho jako definitivní stav. Proto je zřídka případ, že je Lerayův výsledek citován v původní podobě. Po dlouhé práci, na semináři Henri Cartan zejména byl získán moderní výrok, i když ne obecná Grothendieckova spektrální sekvence.

Dříve (1948/9) důsledky pro svazky vláken byly extrahovány ve formě formálně totožné s formami Serre spektrální sekvence, který nepoužívá snopy. Toto zacházení se však vztahovalo na Alexander – Spanierova kohomologie s kompaktní podpěry, jak se vztahuje na správné mapy místně kompaktních Hausdorffových prostorů, protože k odvození spektrální sekvence bylo zapotřebí a jemný svazek skutečné diferenciálně odstupňované algebry na celkový prostor, který byl získán stažením komplex de Rham podél vložení do koule. Jean-Pierre Serre, který potřeboval spektrální sekvenci v homologie to platilo pro fibrace prostoru dráhy, jehož celkové prostory nejsou téměř nikdy lokálně kompaktní, nemohl tedy použít původní Lerayovu spektrální sekvenci a tak odvodil související spektrální sekvenci, jejíž cohomologická varianta souhlasí, pro kompaktní svazek vláken na dobře vychovaném prostoru s výše uvedenou sekvencí.

Ve formulaci dosažené Alexander Grothendieck kolem roku 1957 je Lerayova spektrální sekvence Grothendieckova spektrální sekvence pro složení dvou odvozené funktory.

Viz také

• Serre spektrální sekvence - pro více příkladů
• Grothendieckova spektrální sekvence - pro abstraktní teorii subsumující konstrukci pro Lerayovu spektrální sekvenci
• Smíšený modul Hodge

Reference

externí odkazy

• Lerayova spektrální sekvence Článek v Encyclopedia of Mathematics
• Lerayova spektrální sekvence pro prstencové prostory Článek v Projekt Stohy