Vernější dualita

v matematika, Vernější dualita je dualita v teorie svazků to zobecňuje Poincaré dualita pro rozdělovače. Verdierovu dualitu představil Jean-Louis Verdier (1967, 1995 ) jako analog pro lokálně kompaktní prostory koherentní dualita pro režimy z důvodu Alexander Grothendieck. Běžně se s ním setkáváme při studiu konstruktivních nebo perverzní snopy.

Verdierova dualita říká, že jisté obrazové funktory pro snopy jsou ve skutečnosti adjunkční funktory. Existují dvě verze.

Global Verdier dualita uvádí, že pro spojitou mapu ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ , odvozený funktor přímého obrazu se správnými podporami ${ displaystyle Rf_ {!}}$ má správné adjoint ${ displaystyle f ^ {!}}$ v odvozené kategorii snopů, jinými slovy, pro snop ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na ${ displaystyle Y}$ my máme

{ displaystyle RHom (Rf _ {!} { mathcal {F}}, { mathcal {G}}) cong RHom ({ mathcal {F}}, f ^ {!} { mathcal {G}}) .}

Vykřičník se často vyslovuje „výkřik“ (slang pro vykřičník) a mapy se nazývají „ ${ displaystyle f}$ křičet „nebo“ ${ displaystyle f}$ nižší výkřik "a"F horní výkřik "- viz také křik mapa.

Místní dualita Verdier tvrdí, že

{ displaystyle R , { mathcal {H}} om (Rf _ {!} { mathcal {F}}, { mathcal {G}}) cong Rf _ { ast} R , { mathcal {H }} om ({ mathcal {F}}, f ^ {!} { mathcal {G}})}

v odvozená kategorie snopy z k moduly přes Y. Je důležité si uvědomit, že rozdíl mezi globální a místní verzí spočívá v tom, že ta první souvisí s mapami mezi snopy, zatímco ta druhá souvisí (komplexy) snopy přímo, takže je lze hodnotit lokálně. Vezmeme-li globální sekce obou stran do místního prohlášení, získáme globální Verdier dualitu.

The komplexizace ${ displaystyle D_ {X}}$ na ${ displaystyle X}$ je definován jako

{ displaystyle omega _ {X} = p ^ {!} (k),}

kde str je mapa z ${ displaystyle X}$ do bodu. Část toho, co dělá Verdier dualitu zajímavou v jedinečném prostředí, je to, když ${ displaystyle X}$ není manifold (například graf nebo singulární algebraická odrůda), pak dualizační komplex není kvazi-izomorfní pro svazek koncentrovaný v jediném stupni. Z tohoto pohledu je odvozená kategorie nezbytná při studiu singulárních prostorů.

Li ${ displaystyle X}$ je konečně-dimenzionální lokálně kompaktní prostor, a ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ omezený odvozená kategorie snopy abelianských skupin ${ displaystyle X}$ , pak Verdier dual je kontravariantní funktor

{ displaystyle D dvojtečka D ^ {b} (X) až D ^ {b} (X)}

definován

{ displaystyle D ({ mathcal {F}}) = R , { mathcal {H}} om ({ mathcal {F}}, omega _ {X}).}

Má následující vlastnosti:

${ displaystyle D ^ {2} ({ mathcal {F}}) cong { mathcal {F}}}$ pro snopy s konstruktivní kohomologií.
(Prolínání funktorů ${ displaystyle f _ {*}}$ a ${ displaystyle f_ {!}}$ ). Li ${ displaystyle f}$ je spojitá mapa z ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle Y}$ , pak existuje izomorfismus
${ displaystyle D (Rf _ {!} ({ mathcal {F}})) cong Rf _ { ast} D ({ mathcal {F}})}$ .

Poincaré dualita

Poincaré dualita lze odvodit jako speciální případ Verdierovy duality. Zde jeden výslovně vypočítá cohomologii prostoru pomocí mechanismu svazek kohomologie.

Předpokládat X je kompaktní orientovatelný n-rozměrné potrubí, k je pole a ${ displaystyle k_ {X}}$ je stálý svazek X s koeficienty v k. Nechat ${ displaystyle f = p}$ být konstantní mapa. Global Verdier dualita pak uvádí

{ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] cong [k_ {X}, p ^ {!} k].}

Abychom pochopili, jak se z tohoto tvrzení získává Poincaréova dualita, je asi nejjednodušší porozumět oběma stranám po kuse. Nechat

{ displaystyle k_ {X} to (I_ {X} ^ { bullet} = I_ {X} ^ {0} do I_ {X} ^ {1} do cdots)}

být injektivní rozlišení konstantního svazku. Pak standardními fakty o správných odvozených funktorech

{ displaystyle Rp _ {!} k_ {X} = p _ {!} I_ {X} ^ { bullet} = Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet})}

je komplex, jehož kohomologie je kompaktně podporovanou kohomologií X. Jelikož samotné morfismy mezi komplexy snopů (nebo vektorových prostorů) tvoří komplex, zjistíme to

{ displaystyle mathrm {Hom} ^ { bullet} ( Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet}), k) = cdots to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {2}) ^ { vee} to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {1}) ^ { vee} to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {0}) ^ { vee} až 0}

kde poslední nenulový člen je ve stupni 0 a ty nalevo jsou v záporném stupni. Morfismy v odvozené kategorii jsou získány z homotopy kategorie řetězových komplexů snopů převzetím nulté cohomologie komplexu, tj.

{ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] cong H ^ {0} ( mathrm {Hom} ^ { bullet} ( Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet}), k)) = H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ { vee}.}

Na druhé straně výše uvedeného Verdierova duality musíme brát jako samozřejmost fakt, že když X je kompaktní orientovatelný n-rozměrné potrubí

{ displaystyle p ^ {!} k = k_ {X} [n],}

což je dualizační komplex pro potrubí. Nyní můžeme znovu vyjádřit pravou stranu jako

{ displaystyle [k_ {X}, k_ {X} [n]] cong H ^ {n} ( mathrm {Hom} ^ { bullet} (k_ {X}, k_ {X})) = H ^ {n} (X; k_ {X}).}

Nakonec jsme získali prohlášení, že

{ displaystyle H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ { vee} cong H ^ {n} (X; k_ {X}).}

Opakováním tohoto argumentu s svazkem k_X nahrazeno stejným svazkem umístěným ve stupních i dostaneme klasickou Poincarého dualitu

{ displaystyle H_ {c} ^ {i} (X; k_ {X}) ^ { vee} cong H ^ {n-i} (X; k_ {X}).}

Viz také

Reference

Borel, Armand (1984), Křižovatková kohomologie, Progress in Mathematics, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
Gelfand, Sergei I .; Manin, Jurij Ivanovič (1999), Homologická algebra, Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
Grothendieck, Alexandre (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5), Přednášky z matematiky, 589, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. xii + 484, ISBN 978-3-540-08248-4„Expozice I a II obsahují odpovídající teorii v étale situaci
Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, PAN 0842190
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2002), Snopy na rozdělovačích potrubích, Berlín: Springer, ISBN 3540518614
Verdier, Jean-Louis (1967), „Teorém duality v etální kohomologii schémat“, Springer, Tonny Albert (ed.), Sborník konference z místních oborů: Letní škola NUFFIC konaná v Driebergen (Nizozemsko) v roce 1966, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 184–198, ISBN 978-3-540-03953-2, PAN 0230732
Verdier, Jean-Louis (1995), „Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts“, Seminář Bourbaki, 9, Paříž: Société Mathématique de France, str. Exp. Č. 300, 337–349, ISBN 978-2-85629-042-2, PAN 1610971