Náhodná proměnná - Random variable

v pravděpodobnost a statistika, a náhodná proměnná, náhodné množství, nejistá proměnnánebo stochastická proměnná je popisován neformálně jako a proměnná, jejíž hodnoty závisí na výsledky a náhodný jev.^[1] Tématem je formální matematické zpracování náhodných proměnných teorie pravděpodobnosti. V této souvislosti je náhodná proměnná chápána jako a měřitelná funkce definované na a pravděpodobnostní prostor že mapy z ukázkový prostor do reálná čísla.^[2]

Tento graf ukazuje, jak je náhodná proměnná funkcí od všech možných výsledků po skutečné hodnoty. Ukazuje také, jak se náhodná proměnná používá k definování hromadných funkcí pravděpodobnosti.

Možné hodnoty náhodné proměnné mohou představovat možné výsledky experimentu, který je ještě třeba provést, nebo možné výsledky minulého experimentu, jehož již existující hodnota je nejistá (například kvůli nepřesným měřením nebo kvantová nejistota ). Mohou také koncepčně představovat buď výsledky „objektivně“ náhodného procesu (například válcování matricí), nebo „subjektivní“ náhodnost, která vyplývá z neúplné znalosti veličiny. Význam pravděpodobností přiřazených potenciálním hodnotám náhodné proměnné není součástí samotné teorie pravděpodobnosti, nýbrž souvisí s filozofickými argumenty o interpretace pravděpodobnosti. Matematika funguje stejně bez ohledu na konkrétní použitou interpretaci.

Jako funkce musí být náhodná proměnná měřitelný, což umožňuje přiřazení pravděpodobností k sadám jeho potenciálních hodnot. Je běžné, že výsledky závisí na některých fyzikálních proměnných, které nelze předvídat. Například když hodíte spravedlivou minci, konečný výsledek hlav nebo ocasů závisí na nejistých fyzických podmínkách, takže sledovaný výsledek je nejistý. Mince by se mohla zachytit trhlinou v podlaze, ale taková možnost je z úvahy vyloučena.

The doména náhodné proměnné se nazývá ukázkový prostor. Interpretuje se jako soubor možných výsledků náhodného jevu. Například v případě hodu mincí se berou v úvahu pouze dva možné výsledky, a to hlavy nebo ocasy.

Náhodná proměnná má a rozdělení pravděpodobnosti, která určuje pravděpodobnost Podmnožiny Borel jeho rozsahu. Náhodné proměnné mohou být oddělený, to znamená převzetí kteréhokoli ze specifikovaných konečných nebo spočítatelný seznam hodnot (majících spočetný rozsah), obdařen a funkce pravděpodobnostní hmotnosti to je charakteristické pro rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné; nebo kontinuální, přičemž jakoukoli číselnou hodnotu v intervalu nebo soubor intervalů (s nespočet rozsah), přes a funkce hustoty pravděpodobnosti to je charakteristické pro rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné; nebo směs obou.

Dvě náhodné proměnné se stejným rozdělením pravděpodobnosti se stále mohou lišit, pokud jde o jejich asociace s, nebo nezávislost z, jiné náhodné proměnné. Realizace náhodné proměnné, tj. Výsledky náhodného výběru hodnot podle funkce rozdělení pravděpodobnosti proměnné, se nazývají náhodné variace.

Definice

A náhodná proměnná je měřitelná funkce ${displaystyle Xcolon Omega o E}$ ze sady možných výsledky ${displaystyle Omega}$ do a měřitelný prostor ${displaystyle E}$ . Technická axiomatická definice vyžaduje ${displaystyle Omega}$ být ukázkovým prostorem a trojnásobek pravděpodobnosti ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$ (viz míra-teoretická definice ). Náhodná proměnná je často označována kapitálem římská písmena jako ${displaystyle X}$ , ${displaystyle Y}$ , ${displaystyle Z}$ , ${displaystyle T}$ .^[3]^[4]

Pravděpodobnost, že ${displaystyle X}$ přebírá hodnotu v měřitelné sadě ${displaystyle Ssubseteq E}$ je psán jako

{displaystyle operatorname {P} (Xin S) = operatorname {P} ({omega v Omega mid X (omega) v S})}

^[3]

Standardní pouzdro

V mnoha případech, ${displaystyle X}$ je skutečný, tj. ${displaystyle E = mathbb {R}}$ . V některých kontextech termín náhodný prvek (vidět rozšíření ) se používá k označení náhodné proměnné, která nemá tento tvar.

Když obraz (nebo rozsah) z ${displaystyle X}$ je počitatelný, náhodná proměnná se nazývá a diskrétní náhodná proměnná^[5]^:399 a jeho distribuce je a diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, tj. může být popsán a funkce pravděpodobnostní hmotnosti která přiřadí pravděpodobnost každé hodnotě v obraze ${displaystyle X}$ . Pokud je obraz nespočetně nekonečný (obvykle interval ) pak ${displaystyle X}$ se nazývá a spojitá náhodná proměnná.^[6]^{[Citace je zapotřebí ]} Ve zvláštním případě to je absolutně kontinuální, jeho distribuci lze popsat a funkce hustoty pravděpodobnosti, který přiřazuje pravděpodobnosti intervalům; zejména každý jednotlivý bod musí mít nutně nulovou pravděpodobnost pro absolutně spojitou náhodnou proměnnou. Ne všechny spojité náhodné proměnné jsou absolutně spojité,^[7] A distribuce směsi je jeden takový protipříklad; takové náhodné proměnné nelze popsat hustotou pravděpodobnosti nebo funkcí pravděpodobnostní hmotnosti.

Libovolnou náhodnou proměnnou lze popsat pomocí kumulativní distribuční funkce, který popisuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná bude menší nebo rovna určité hodnotě.

Rozšíření

Pojem „náhodná proměnná“ je ve statistice tradičně omezen na skutečný případ ( ${displaystyle E = mathbb {R}}$ ). V tomto případě umožňuje struktura reálných čísel definovat veličiny, jako například očekávaná hodnota a rozptyl náhodné proměnné, její kumulativní distribuční funkce a momenty jeho distribuce.

Výše uvedená definice však platí pro všechny měřitelný prostor ${displaystyle E}$ hodnot. Lze tedy uvažovat náhodné prvky jiných množin ${displaystyle E}$ , například náhodný booleovské hodnoty, kategorické hodnoty, komplexní čísla, vektory, matice, sekvence, stromy, sady, tvary, rozdělovače, a funkce. Jeden pak může konkrétně odkazovat na a náhodná proměnná typ ${displaystyle E}$ , nebo ${displaystyle E}$ -hodnota náhodná proměnná.

Tento obecnější koncept a náhodný prvek je zvláště užitečný v oborech, jako je teorie grafů, strojové učení, zpracování přirozeného jazyka a další pole v diskrétní matematika a počítačová věda, kde je často zájem o modelování náhodných variací nečíselných datové struktury. V některých případech je nicméně vhodné představovat každý prvek ${displaystyle E}$ pomocí jednoho nebo více reálných čísel. V tomto případě může být náhodný prvek volitelně reprezentován jako vektor náhodných proměnných se skutečnou hodnotou (vše je definováno ve stejném podkladovém prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle Omega}$ , což umožňuje různým náhodným proměnným covary ). Například:

Náhodné slovo může být reprezentováno jako náhodné celé číslo, které slouží jako rejstřík do slovníku možných slov. Alternativně to může být reprezentováno jako náhodný indikátorový vektor, jehož délka se rovná velikosti slovníku, kde jediné hodnoty kladné pravděpodobnosti jsou ${displaystyle (1 0 0 0 cdots)}$ , ${displaystyle (0 1 0 0 cdots)}$ , ${displaystyle (0 0 1 0 cdots)}$ a pozice 1 označuje slovo.
Náhodná věta dané délky ${displaystyle N}$ může být reprezentován jako vektor ${displaystyle N}$ náhodná slova.
A náhodný graf na ${displaystyle N}$ dané vrcholy mohou být reprezentovány jako a ${displaystyle N imes N}$ matice náhodných proměnných, jejichž hodnoty určují matice sousedství náhodného grafu.
A náhodná funkce ${displaystyle F}$ mohou být reprezentovány jako soubor náhodných proměnných ${displaystyle F (x)}$ , udávající hodnoty funkce v různých bodech ${displaystyle x}$ v doméně funkce. The ${displaystyle F (x)}$ jsou běžné náhodné proměnné se skutečnou hodnotou za předpokladu, že je funkce reálná. Například a stochastický proces je náhodná funkce času, a náhodný vektor je náhodná funkce nějaké sady indexů, jako je ${displaystyle 1,2, ldots, n}$ , a náhodné pole je náhodná funkce libovolné množiny (obvykle času, prostoru nebo diskrétní množiny).

Distribuční funkce

Pokud je náhodná proměnná ${displaystyle Xcolon Omega o mathbb {R}}$ definovaný na pravděpodobnostním prostoru ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$ , můžeme klást otázky jako „Jak pravděpodobné je, že hodnota ${displaystyle X}$ je rovno 2? ". To je stejné jako pravděpodobnost události." ${displaystyle {omega: X (omega) = 2} ,!}$ který je často psán jako ${displaystyle P (X = 2) ,!}$ nebo ${displaystyle p_ {X} (2)}$ v krátkosti.

Zaznamenávání všech těchto pravděpodobností výstupních rozsahů reálné náhodné proměnné ${displaystyle X}$ výnosy rozdělení pravděpodobnosti z ${displaystyle X}$ . Distribuce pravděpodobnosti „zapomíná“ na konkrétní pravděpodobnostní prostor použitý k definování ${displaystyle X}$ a zaznamenává pouze pravděpodobnosti různých hodnot ${displaystyle X}$ . Takové rozdělení pravděpodobnosti lze vždy zachytit jeho kumulativní distribuční funkce

{displaystyle F_ {X} (x) = operatorname {P} (Xleq x)}

a někdy také pomocí a funkce hustoty pravděpodobnosti, ${displaystyle p_ {X}}$ . v míra-teoretická používáme náhodnou proměnnou ${displaystyle X}$ „posunout dopředu“ opatření ${displaystyle P}$ na ${displaystyle Omega}$ na míru ${displaystyle p_ {X}}$ na ${displaystyle mathbb {R}}$ Základní prostor pravděpodobnosti ${displaystyle Omega}$ je technické zařízení sloužící k zajištění existence náhodných proměnných, někdy k jejich konstrukci a definování pojmů jako např korelace a závislost nebo nezávislost na základě a společná distribuce dvou nebo více náhodných proměnných ve stejném prostoru pravděpodobnosti. V praxi člověk často disponuje prostorem ${displaystyle Omega}$ dohromady a jen měří ${displaystyle mathbb {R}}$ který přiřadí míru 1 celé reálné linii, tj. místo náhodných proměnných se pracuje s distribucemi pravděpodobnosti. Viz článek o kvantilové funkce pro plnější rozvoj.

Příklady

Diskrétní náhodná proměnná

V experimentu může být osoba vybrána náhodně a jednou náhodnou proměnnou může být její výška. Matematicky je náhodná proměnná interpretována jako funkce, která mapuje osobu na její výšku. S náhodnou proměnnou je spojeno rozdělení pravděpodobnosti, které umožňuje výpočet pravděpodobnosti, že výška je v jakékoli podmnožině možných hodnot, jako je pravděpodobnost, že výška je mezi 180 a 190 cm, nebo pravděpodobnost, že výška bude buď menší než 150 nebo více než 200 cm.

Další náhodnou proměnnou může být počet dětí dané osoby; toto je diskrétní náhodná proměnná s nezápornými celočíselnými hodnotami. Umožňuje výpočet pravděpodobností pro jednotlivé celočíselné hodnoty - funkci pravděpodobnostní hmotnosti (PMF) - nebo pro množiny hodnot, včetně nekonečných množin. Událostí zájmu může být například „sudý počet dětí“. U konečných i nekonečných množin událostí lze jejich pravděpodobnosti zjistit sečtením PMF prvků; to znamená, že pravděpodobnost sudého počtu dětí je nekonečný součet ${displaystyle operatorname {PMF} (0) + operatorname {PMF} (2) + operatorname {PMF} (4) + cdots}$ .

V takových příkladech je ukázkový prostor je často potlačeno, protože je matematicky obtížné to popsat, a možné hodnoty náhodných proměnných jsou poté považovány za ukázkový prostor. Ale když jsou naměřeny dvě náhodné proměnné na stejném vzorovém prostoru výsledků, jako je výška a počet dětí počítaných na stejných náhodných osobách, je snazší sledovat jejich vztah, pokud je uznáno, že jak výška, tak počet dětí přicházejí od stejné náhodné osoby, například tak, aby bylo možné položit otázky, zda takové náhodné proměnné souvisejí nebo ne.

Li ${extstyle {a_ {n}}, {b_ {n}}}$ jsou spočítatelné sady reálných čísel, ${extstyle b_ {n}> 0}$ a ${displaystyle sum _ {n} b_ {n} = 1}$ , pak ${displaystyle F = součet _ {n} b_ {n} delta _ {a_ {n}}}$ je funkce diskrétní distribuce. Tady ${displaystyle delta _ {t} (x) = 0}$ pro ${displaystyle x$ , ${displaystyle delta _ {t} (x) = 1}$ pro ${displaystyle xgeq t}$ . Vezmeme například výčet všech racionálních čísel jako ${displaystyle {a_ {n}}}$ , získá se funkce diskrétní distribuce, která není krokovou funkcí nebo po částech konstantní.^[5]

Hod mincí

Možné výsledky pro jeden hod mincí lze popsat v prostoru vzorku ${displaystyle Omega = {{ext {heads}}, {ext {tails}}}}$ . Můžeme zavést náhodnou proměnnou se skutečnou hodnotou ${displaystyle Y}$ který modeluje výplatu 1 $ za úspěšnou sázku na hlavy následujícím způsobem:

{displaystyle Y (omega) = {egin {cases} 1, & {ext {if}} omega = {ext {heads}}, [6pt] 0, & {ext {if}} omega = {ext {tails} }. end {cases}}}

Pokud je mincí a spravedlivá mince, Y má funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${displaystyle f_ {Y}}$ dána:

{displaystyle f_ {Y} (y) = {egin {cases} {frac {1} {2}}, & {ext {if}} y = 1, [6pt] {frac {1} {2}}, & {ext {if}} y = 0, konec {případů}}}

Hod kostkami

Pokud je ukázkovým prostorem množina možných čísel hozených na dvě kostky a náhodná proměnná zájmu je součet S čísel na dvou kostkách S je diskrétní náhodná proměnná, jejíž rozdělení je popsáno pomocí funkce pravděpodobnostní hmotnosti zde je vyneseno jako výška sloupců obrázků.

Náhodnou proměnnou lze také použít k popisu procesu házení kostkami a možných výsledků. Nejviditelnějším znázorněním pro případ dvou kostek je vzít sadu dvojic čísel n₁ a n₂ od {1, 2, 3, 4, 5, 6} (představující čísla na dvou kostkách) jako ukázkový prostor. Celkový počet válců (součet čísel v každém páru) je pak náhodná proměnná X dané funkcí, která mapuje pár na součet:

{displaystyle X ((n_ {1}, n_ {2})) = n_ {1} + n_ {2}}

a (pokud jsou kostky veletrh ) má funkci pravděpodobnostní hmotnosti ƒ_X dána:

{displaystyle f_ {X} (S) = {frac {min (S-1,13-S)} {36}}, {ext {for}} Sin {2,3,4,5,6,7,8 , 9,10,11,12}}

Spojitá náhodná proměnná

Formálně je spojitá náhodná proměnná náhodná proměnná, jejíž kumulativní distribuční funkce je kontinuální všude.^[8] Nejsou k dispozici žádné "mezery ", což by odpovídalo číslům, která mají konečnou pravděpodobnost vyskytující se. Místo toho spojité náhodné proměnné skoro nikdy vezměte přesně předepsanou hodnotu C (formálně, ${extstyle forall cin mathbb {R}:; Pr (X = c) = 0}$ ), ale existuje pozitivní pravděpodobnost, že bude ležet zejména jeho hodnota intervaly který může být libovolně malý. Spojité náhodné proměnné obvykle připouštějí funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF), které charakterizují jejich CDF a pravděpodobnostní opatření; tyto distribuce se také nazývají absolutně kontinuální; ale některé spojité distribuce jsou jednotné číslo nebo směsi absolutně spojité části a singulární části.

Příkladem spojité náhodné proměnné může být proměnná založená na rozmetávači, který může zvolit vodorovný směr. Hodnoty přijaté náhodnou proměnnou jsou pak směry. Tyto směry bychom mohli reprezentovat severem, západem, východem, jihem, jihovýchodem atd. Obvykle je však vhodnější namapovat prostor vzorku na náhodnou proměnnou, která bere hodnoty, které jsou reálnými čísly. Toho lze dosáhnout například mapováním směru k ložisku ve stupních ve směru hodinových ručiček od severu. Náhodná proměnná poté přebírá hodnoty, které jsou reálnými čísly z intervalu [0, 360], přičemž všechny části rozsahu jsou „stejně pravděpodobné“. V tomto případě, X = úhel otočení. Jakékoli reálné číslo má pravděpodobnost nula výběru, ale každému lze přiřadit kladnou pravděpodobnost rozsah hodnot. Například pravděpodobnost výběru čísla v [0, 180] je¹⁄₂. Místo toho, abychom mluvili o hromadné funkci pravděpodobnosti, říkáme, že pravděpodobnost hustota z X je 1/360. Pravděpodobnost podmnožiny [0, 360) lze vypočítat vynásobením míry sady 1/360. Obecně lze pravděpodobnost množiny pro danou spojitou náhodnou proměnnou vypočítat integrací hustoty přes danou množinu.

Více formálně, vzhledem k jakékoli interval ${extstyle I = [a, b] = {xin mathbb {R}: aleq xleq b}}$ , náhodná proměnná ${displaystyle X_ {I} sim operatorname {U} (I) = operatorname {U} [a, b]}$ se nazývá „nepřetržitá uniforma náhodná proměnná "(CURV), pokud je pravděpodobnost, že získá hodnotu v a podinterval záleží pouze na délce podintervalu. To znamená, že pravděpodobnost ${displaystyle X_ {I}}$ spadající do jakéhokoli podintervalu ${displaystyle [c, d] subseteq [a, b]}$ je úměrný do délka subintervalu, tedy pokud $A \leq C \leq d \leq b$ , jeden má

{displaystyle Pr left (X_ {I} in [c, d] ight) = {frac {d-c} {b-a}} Pr left (X_ {I} in Iight) = {frac {d-c} {b-a}}}

kde poslední rovnost vyplývá z jednotný axiom pravděpodobnosti. The funkce hustoty pravděpodobnosti KŘIVKY ${displaystyle Xsim operatorname {U} [a, b]}$ je dán funkce indikátoru jeho intervalu Podpěra, podpora normalizováno délkou intervalu:

{displaystyle f_ {X} (x) = {egin {cases} displaystyle {1 over b-a}, & aleq xleq b 0, & {ext {else}}. end {cases}}}

Zvláštní pozornost je věnována rovnoměrnému rozložení na internetu jednotkový interval

{displaystyle [0,1]}

. Ukázky libovolných požadovaných rozdělení pravděpodobnosti

{displaystyle operatorname {D}}

lze generovat výpočtem kvantilová funkce z

{displaystyle operatorname {D}}

na náhodně vygenerované číslo rovnoměrně rozloženy na jednotkovém intervalu. To využívá vlastnosti kumulativních distribučních funkcí, které jsou sjednocujícím rámcem pro všechny náhodné proměnné.

Smíšený typ

A smíšená náhodná proměnná je náhodná proměnná, jejíž kumulativní distribuční funkce není ani jedno po částech konstantní (diskrétní náhodná proměnná) ani všude - nepřetržitě.^[8] Lze jej realizovat jako součet diskrétní náhodné proměnné a spojité náhodné proměnné; v takovém případě CDF bude vážený průměr CDF komponentních proměnných.^[8]

Příklad náhodné proměnné smíšeného typu by byl založen na experimentu, kde je mince otočena a spinner je otočen pouze v případě, že výsledkem hodu mincí jsou hlavy. Pokud jsou výsledkem ocasy, X = -1; v opačném případě X = hodnota rozmetače jako v předchozím příkladu. Existuje pravděpodobnost¹⁄₂ že tato náhodná proměnná bude mít hodnotu −1. Jiné rozsahy hodnot by měly poloviční pravděpodobnost z posledního příkladu.

Obecně je každé rozdělení pravděpodobnosti na reálné přímce směsicí diskrétní části, singulární části a absolutně spojité části; vidět Lebesgueova věta o rozkladu § Upřesnění. Diskrétní část je soustředěna na spočetnou množinu, ale tato množina může být hustá (jako množina všech racionálních čísel).

Teoretická definice míry

Nejformálnější, axiomatický definice náhodné proměnné zahrnuje teorie míry. Spojité náhodné proměnné jsou definovány z hlediska sady čísel spolu s funkcemi, které mapují takové množiny na pravděpodobnosti. Z důvodu různých obtíží (např Banach – Tarski paradox ), které vznikají, pokud jsou takové množiny nedostatečně omezené, je nutné zavést to, co se nazývá a sigma-algebra omezit možné množiny, ve kterých lze definovat pravděpodobnosti. Normálně se používá konkrétní taková sigma-algebra, Borel σ-algebra, což umožňuje definovat pravděpodobnosti nad libovolnými množinami, které lze odvodit buď přímo z nepřetržitých intervalů čísel, nebo konečnou nebo počítatelně nekonečný počet odbory a / nebo křižovatky takových intervalů.^[2]

Teoretická definice míry je následující.

Nechat ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ být pravděpodobnostní prostor a ${displaystyle (E, {mathcal {E}})}$ A měřitelný prostor. Pak ${displaystyle (E, {mathcal {E}})}$ -hodná náhodná proměnná je měřitelná funkce ${displaystyle Xcolon Omega o E}$ , což znamená, že pro každou podmnožinu ${displaystyle Bin {mathcal {E}}}$ , své preimage ${displaystyle X ^ {- 1} (B) v {mathcal {F}}}$ kde ${displaystyle X ^ {- 1} (B) = {omega: X (omega) v B}}$ .^[9] Tato definice nám umožňuje měřit jakoukoli podmnožinu ${displaystyle Bin {mathcal {E}}}$ v cílovém prostoru při pohledu na jeho předobraz, který je podle předpokladu měřitelný.

Intuitivnějšími slovy člen ${displaystyle Omega}$ je možný výsledek, člen ${displaystyle {mathcal {F}}}$ je měřitelná podmnožina možných výsledků, funkce ${displaystyle P}$ dává pravděpodobnost každé takové měřitelné podmnožiny, ${displaystyle E}$ představuje množinu hodnot, které může náhodná proměnná nabývat (například množinu reálných čísel), a člen ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je „dobře vychovaná“ (měřitelná) podmnožina ${displaystyle E}$ (ty, u nichž lze určit pravděpodobnost). Náhodná proměnná je pak funkcí od jakéhokoli výsledku k veličině, takže výsledky vedoucí k jakékoli užitečné podmnožině veličin pro náhodnou proměnnou mají dobře definovanou pravděpodobnost.

Když ${displaystyle E}$ je topologický prostor, pak nejběžnější volba pro σ-algebra ${displaystyle {mathcal {E}}}$ je Borel σ-algebra ${displaystyle {mathcal {B}} (E)}$ , což je σ-algebra generovaná sbírkou všech otevřených množin ${displaystyle E}$ . V takovém případě ${displaystyle (E, {mathcal {E}})}$ ohodnocená náhodná proměnná se nazývá ${displaystyle E}$ -hodná náhodná proměnná. Navíc, když prostor ${displaystyle E}$ je skutečná linie ${displaystyle mathbb {R}}$ , pak se taková náhodná proměnná se skutečnou hodnotou nazývá jednoduše a náhodná proměnná.

Skutečné náhodné proměnné

V tomto případě je pozorovacím prostorem množina reálných čísel. Odvolání, ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je prostor pravděpodobnosti. Pro skutečný pozorovací prostor funkce ${displaystyle Xcolon Omega ightarrow mathbb {R}}$ je náhodná proměnná se skutečnou hodnotou, pokud

{displaystyle {omega: X (omega) leq r} v {mathcal {F}} qquad pro všechny rin mathbb {R}.}

Tato definice je zvláštním případem výše uvedeného, protože množina ${displaystyle {(-infty, r]: rin mathbb {R}}}$ generuje Borel σ-algebru na množině reálných čísel a stačí zkontrolovat měřitelnost na libovolné generující množině. Zde můžeme dokázat měřitelnost na této generující sadě pomocí skutečnosti, že ${displaystyle {omega: X (omega) leq r} = X ^ {- 1} ((- infty, r])}$ .

Okamžiky

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné je často charakterizováno malým počtem parametrů, které mají také praktickou interpretaci. Například často stačí vědět, jaká je jeho „průměrná hodnota“. To je zachyceno matematickým konceptem očekávaná hodnota náhodné proměnné, označené ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ , a také volal za prvé okamžik. Obecně, ${displaystyle operatorname {E} [f (X)]}$ se nerovná ${displaystyle f (operatorname {E} [X])}$ . Jakmile je známa „průměrná hodnota“, dalo by se zeptat, jak daleko od této průměrné hodnoty jsou hodnoty ${displaystyle X}$ obvykle jsou, otázka, na kterou odpovídá rozptyl a standardní odchylka náhodné proměnné. ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ lze zobrazit intuitivně jako průměr získaný z nekonečné populace, jejíž členy jsou konkrétní hodnocení ${displaystyle X}$ .

Matematicky je to známé jako (zobecněné) problém momentů: pro danou třídu náhodných proměnných ${displaystyle X}$ , najít sbírku ${displaystyle {f_ {i}}}$ funkcí tak, že očekávané hodnoty ${displaystyle operatorname {E} [f_ {i} (X)]}$ plně charakterizovat rozdělení náhodné proměnné ${displaystyle X}$ .

Momenty lze definovat pouze pro reálné funkce náhodných proměnných (nebo komplexních hodnot atd.). Pokud je náhodná proměnná sama o sobě skutečná, pak lze vzít momenty samotné proměnné, které jsou ekvivalentní momentům funkce identity ${displaystyle f (X) = X}$ náhodné proměnné. Avšak i pro náhodné proměnné, které nemají reálnou hodnotu, lze vzít momenty funkcí těchto proměnných se skutečnou hodnotou. Například pro a kategorický náhodná proměnná X který může převzít nominální hodnoty „červená“, „modrá“ nebo „zelená“, funkce se skutečnou hodnotou ${displaystyle [X = {ext {green}}]}$ lze postavit; toto používá Iverson držák, a má hodnotu 1, pokud ${displaystyle X}$ má hodnotu „zelená“, jinak 0. Poté očekávaná hodnota a další momenty této funkce lze určit.

Funkce náhodných proměnných

Nová náhodná proměnná Y lze definovat pomocí přihlašování skutečný Borel měřitelná funkce ${displaystyle gcolon mathbb {R} ightarrow mathbb {R}}$ k výsledkům a skutečný náhodná proměnná ${displaystyle X}$ . To znamená ${displaystyle Y = g (X)}$ . The kumulativní distribuční funkce z ${displaystyle Y}$ je tedy

{displaystyle F_ {Y} (y) = operatorname {P} (g (X) leq y).}

Pokud funkce ${displaystyle g}$ je invertibilní (tj. ${displaystyle h = g ^ {- 1}}$ existuje, kde ${displaystyle h}$ je ${displaystyle g}$ je inverzní funkce ) a je buď zvýšení nebo snížení, pak lze předchozí vztah rozšířit a získat

{displaystyle F_ {Y} (y) = operatorname {P} (g (X) leq y) = {egin {cases} operatorname {P} (Xleq h (y)) = F_ {X} (h (y)) , & {ext {if}} h = g ^ {- 1} {ext {rostoucí}}, operatorname {P} (Xgeq h (y)) = 1-F_ {X} (h (y)), & {ext {if}} h = g ^ {- 1} {ext {klesající}}. konec {případů}}}

Se stejnými hypotézami o invertibilitě ${displaystyle g}$ , za předpokladu také rozlišitelnost, vztah mezi funkce hustoty pravděpodobnosti lze najít rozlišením obou stran výše uvedeného výrazu s ohledem na ${displaystyle y}$ , za účelem získání^[8]

{displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {igl (} h (y) {igr)} vlevo | {frac {dh (y)} {dy}} vpravo |.}

Pokud není invertovatelnost ${displaystyle g}$ ale každý ${displaystyle y}$ připouští nanejvýš spočetný počet kořenů (tj. konečný nebo spočetně nekonečný počet ${displaystyle x_ {i}}$ takhle ${displaystyle y = g (x_ {i})}$ ) pak předchozí vztah mezi funkce hustoty pravděpodobnosti lze zobecnit pomocí

{displaystyle f_ {Y} (y) = součet _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {- 1} (y)) vlevo | {frac {dg_ {i} ^ {- 1} (y) } {dy}} hned |}

kde ${displaystyle x_ {i} = g_ {i} ^ {- 1} (y)}$ , podle věta o inverzní funkci. Vzorce pro hustoty nevyžadují ${displaystyle g}$ bude přibývat.

V teorii míry axiomatický přístup na pravděpodobnost, pokud náhodná proměnná ${displaystyle X}$ na ${displaystyle Omega}$ a a Borel měřitelná funkce ${displaystyle gcolon mathbb {R} ightarrow mathbb {R}}$ , pak ${displaystyle Y = g (X)}$ je také náhodná proměnná na ${displaystyle Omega}$ , protože složení měřitelných funkcí je také měřitelný. (To však nemusí být nutně pravda, pokud ${displaystyle g}$ je Lebesgue měřitelný.^{[Citace je zapotřebí ]}) Stejný postup, který člověku umožnil přejít z prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle (Omega, P)}$ na ${displaystyle (mathbb {R}, dF_ {X})}$ lze použít k získání distribuce ${displaystyle Y}$ .

Příklad 1

Nechat ${displaystyle X}$ být skutečnou hodnotou, spojitá náhodná proměnná a nechte ${displaystyle Y = X ^ {2}}$ .

{displaystyle F_ {Y} (y) = operatorname {P} (X ^ {2} leq y).}

Li ${displaystyle y <0}$ , pak ${displaystyle P (X ^ {2} leq y) = 0}$ , tak

{displaystyle F_ {Y} (y) = 0qquad {hbox {if}} quad y <0.}

Li ${displaystyle ygeq 0}$ , pak

{displaystyle operatorname {P} (X ^ {2} leq y) = operatorname {P} (| X | leq {sqrt {y}}) = operatorname {P} (- {sqrt {y}} leq Xleq {sqrt { y}}),}

tak

{displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} ({sqrt {y}}) - F_ {X} (- {sqrt {y}}) qquad {hbox {if}} quad ygeq 0.}

Příklad 2

Předpokládat ${displaystyle X}$ je náhodná proměnná s kumulativním rozdělením

{displaystyle F_ {X} (x) = P (Xleq x) = {frac {1} {(1 + e ^ {- x}) ^ {heta}}}}

kde ${displaystyle heta> 0}$ je pevný parametr. Zvažte náhodnou proměnnou ${displaystyle Y = mathrm {log} (1 + e ^ {- X}).}$ Pak,

{displaystyle F_ {Y} (y) = P (Yleq y) = P (mathrm {log} (1 + e ^ {- X}) leq y) = P (Xgeq -mathrm {log} (e ^ {y} -1)).,}

Poslední výraz lze vypočítat z hlediska kumulativního rozdělení ${displaystyle X,}$ tak

{displaystyle {egin {aligned} F_ {Y} (y) & = 1-F_ {X} (- log (e ^ {y} -1)) [5pt] & = 1- {frac {1} {( 1 + e ^ {log (e ^ {y} -1)}) ^ {heta}}} [5pt] & = 1- {frac {1} {(1 + e ^ {y} -1) ^ { heta}}} [5pt] & = 1-e ^ {- y heta} .end {aligned}}}

který je kumulativní distribuční funkce (CDF) z exponenciální rozdělení.

Příklad 3

Předpokládat ${displaystyle X}$ je náhodná proměnná s a standardní normální rozdělení, jehož hustota je

{displaystyle f_ {X} (x) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}.}

Zvažte náhodnou proměnnou ${displaystyle Y = X ^ {2}.}$ Hustotu můžeme najít pomocí výše uvedeného vzorce pro změnu proměnných:

{displaystyle f_ {Y} (y) = součet _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {- 1} (y)) vlevo | {frac {dg_ {i} ^ {- 1} (y) } {dy}} hned |.}

V tomto případě změna není monotóní, protože každá hodnota ${displaystyle Y}$ má dvě odpovídající hodnoty ${displaystyle X}$ (jeden pozitivní a negativní). Kvůli symetrii se však obě poloviny transformují stejně, tj.

{displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) left | {frac {dg ^ {- 1} (y)} {dy}} vpravo |.}

Inverzní transformace je

{displaystyle x = g ^ {- 1} (y) = {sqrt {y}}}

a jeho derivát je

{displaystyle {frac {dg ^ {- 1} (y)} {dy}} = {frac {1} {2 {sqrt {y}}}}.}

Pak,

{displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- y / 2} {frac {1} {2 {sqrt {y}}}} = {frac { 1} {sqrt {2pi y}}} e ^ {- y / 2}.}

Tohle je distribuce chí-kvadrát s jedním stupeň svobody.

Příklad 4

Předpokládat ${displaystyle X}$ je náhodná proměnná s a normální distribuce, jehož hustota je

{displaystyle f_ {X} (x) = {frac {1} {sqrt {2pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- (x-mu) ^ {2} / (2sigma ^ {2})}. }

Zvažte náhodnou proměnnou ${displaystyle Y = X ^ {2}.}$ Hustotu můžeme najít pomocí výše uvedeného vzorce pro změnu proměnných:

{displaystyle f_ {Y} (y) = součet _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {- 1} (y)) vlevo | {frac {dg_ {i} ^ {- 1} (y) } {dy}} hned |.}

V tomto případě změna není monotóní, protože každá hodnota ${displaystyle Y}$ má dvě odpovídající hodnoty ${displaystyle X}$ (jeden pozitivní a negativní). Na rozdíl od předchozího příkladu však v tomto případě neexistuje symetrie a musíme vypočítat dva odlišné výrazy:

{displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} (g_ {1} ^ {- 1} (y)) left | {frac {dg_ {1} ^ {- 1} (y)} {dy}} ight | + f_ {X} (g_ {2} ^ {- 1} (y)) vlevo | {frac {dg_ {2} ^ {- 1} (y)} {dy}} ight |.}

Inverzní transformace je

{displaystyle x = g_ {1,2} ^ {- 1} (y) = pm {sqrt {y}}}

a jeho derivát je

{displaystyle {frac {dg_ {1,2} ^ {- 1} (y)} {dy}} = pm {frac {1} {2 {sqrt {y}}}}.}

Pak,

{displaystyle f_ {Y} (y) = {frac {1} {sqrt {2pi sigma ^ {2}}}} {frac {1} {2 {sqrt {y}}}} (e ^ {- ({sqrt {y}} - mu) ^ {2} / (2sigma ^ {2})} + e ^ {- (- {sqrt {y}} - mu) ^ {2} / (2sigma ^ {2})}) .}

Tohle je necentrální distribuce chí-kvadrát s jedním stupeň svobody.

Některé vlastnosti

Rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je konvoluce každé z jejich distribucí.
Distribuce pravděpodobnosti nejsou a vektorový prostor - nejsou uzavřeny pod lineární kombinace, protože nezachovávají nezápornost nebo celkový integrál 1 - ale jsou uzavřeny pod konvexní kombinace, čímž se vytvoří a konvexní podmnožina prostoru funkcí (nebo měr).

Ekvivalence náhodných proměnných

Existuje několik různých smyslů, ve kterých lze náhodné proměnné považovat za rovnocenné. Dvě náhodné proměnné mohou být stejné, téměř jisté nebo stejné v distribuci.

V rostoucím pořadí síly je přesná definice těchto pojmů ekvivalence uvedena níže.

Rovnost v distribuci

Pokud je ukázkový prostor podmnožinou skutečné linie, náhodné proměnné X a Y jsou stejný v distribuci (označeno ${displaystyle X {stackrel {d} {=}} Y}$ ) pokud mají stejné distribuční funkce:

{displaystyle operatorname {P} (Xleq x) = operatorname {P} (Yleq x) quad {ext {for all}} x.}

Aby byly distribuce stejné, nemusí být náhodné proměnné definovány ve stejném prostoru pravděpodobnosti. Dvě náhodné proměnné, které mají stejné funkce generující moment mají stejnou distribuci. To poskytuje například užitečnou metodu kontroly rovnosti určitých funkcí nezávislé, identicky distribuované (IID) náhodné proměnné. Funkce generování momentů však existuje pouze pro distribuce, které mají definované Laplaceova transformace.

Téměř jistá rovnost

Dvě náhodné proměnné X a Y jsou rovnat se téměř jistě (označeno ${displaystyle X; {stackrel {ext {a.s.}} {=}}; Y}$ ) právě tehdy, je-li pravděpodobnost, že se liší, je nula:

{displaystyle operatorname {P} (Xeq Y) = 0.}

Pro všechny praktické účely v teorii pravděpodobnosti je tento pojem ekvivalence stejně silný jako skutečná rovnost. Je spojena s následující vzdáleností:

{displaystyle d_ {infty} (X, Y) = operatorname {ess} sup _ {omega} | X (omega) -Y (omega) |,}

kde "ess sup" představuje základní supremum ve smyslu teorie míry.

Rovnost

Nakonec dvě náhodné proměnné X a Y jsou rovnat se pokud jsou stejné jako funkce na jejich měřitelném prostoru:

{displaystyle X (omega) = Y (omega) qquad {hbox {pro všechny}} omega.}

Tento pojem je obvykle nejméně užitečný v teorii pravděpodobnosti, protože v praxi a teoreticky je základem změřte prostor z experiment je zřídka výslovně charakterizována nebo dokonce charakterizována.

Konvergence

Významné téma v matematické statistice spočívá v jistém získání výsledků konvergence sekvence náhodných proměnných; například zákon velkých čísel a teorém centrálního limitu.

Existuje řada smyslů, ve kterých je sekvence ${displaystyle X_ {n}}$ náhodných proměnných může konvergovat na náhodnou proměnnou ${displaystyle X}$ . Ty jsou vysvětleny v článku o konvergence náhodných proměnných.

Viz také

Reference

Vložené citace

^ Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Úvod do pravděpodobnosti. CRC Press. ISBN 9781466575592.
^ ^A ^b Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A - Introduction to Measure Theory“ (PDF). University of California, Santa Barbara. Citováno 26. dubna 2013.
^ ^A ^b "Seznam symbolů pravděpodobnosti a statistik". Matematický trezor. 2020-04-26. Citováno 2020-08-21.
^ "Náhodné proměnné". www.mathsisfun.com. Citováno 2020-08-21.
^ ^A ^b Yates, Daniel S .; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). Praxe statistiky (2. vyd.). New York: Freemane. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivovány od originál dne 9. února 2005.
^ "Náhodné proměnné". www.stat.yale.edu. Citováno 2020-08-21.
^ L. Castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). Úvod do pravděpodobnosti a stochastických procesů s aplikacemi. Wiley. p. 67. ISBN 9781118344941.
^ ^A ^b ^C ^d Bertsekas, Dimitri P. (2002). Úvod do pravděpodobnosti. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.
^ Fristedt & Gray (1996, strana 11)

Literatura

Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). Moderní přístup k teorii pravděpodobnosti. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Kallenberg, Olav (1986). Náhodná opatření (4. vydání). Berlín: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. PAN 0854102.
Kallenberg, Olav (2001). Základy moderní pravděpodobnosti (2. vyd.). Berlín: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2.
Papoulis, Athanasios (1965). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy (9. vydání). Tokio: McGraw – Hill. ISBN 0-07-119981-0.

externí odkazy

"Náhodná proměnná", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Zukerman, Moshe (2014), Úvod do teorie front a stochastické modely teletraffic (PDF)
Zukerman, Moshe (2014), Základní témata pravděpodobnosti (PDF)

[1] Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Úvod do pravděpodobnosti. CRC Press. ISBN 9781466575592.

[UCSB-2] A ^b Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A - Introduction to Measure Theory“ (PDF). University of California, Santa Barbara. Citováno 26. dubna 2013.

[:1-3] A ^b "Seznam symbolů pravděpodobnosti a statistik". Matematický trezor. 2020-04-26. Citováno 2020-08-21.

[4] "Náhodné proměnné". www.mathsisfun.com. Citováno 2020-08-21.

[Yates-5] A ^b Yates, Daniel S .; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). Praxe statistiky (2. vyd.). New York: Freemane. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivovány od originál dne 9. února 2005.

[6] "Náhodné proměnné". www.stat.yale.edu. Citováno 2020-08-21.

[7] L. Castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). Úvod do pravděpodobnosti a stochastických procesů s aplikacemi. Wiley. p. 67. ISBN 9781118344941.

[:0-8] A ^b ^C ^d Bertsekas, Dimitri P. (2002). Úvod do pravděpodobnosti. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

[9] Fristedt & Gray (1996, strana 11)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]