Náhodná míra - Random measure

v teorie pravděpodobnosti, a náhodné opatření je opatření -hodnota náhodný prvek.^[1]^[2] Náhodná opatření se používají například v teorii náhodné procesy, kde tvoří mnoho důležitých bodové procesy jako Procesy Poissonova bodu a Coxovy procesy.

Definice

Náhodné míry lze definovat jako přechodová jádra nebo jako náhodné prvky. Obě definice jsou rovnocenné. Definice pojďme ${ displaystyle E}$ být oddělitelný kompletní metrický prostor a nechte ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ být jeho Borel ${ displaystyle sigma}$ -algebra. (Nejběžnějším příkladem oddělitelného úplného metrického prostoru je ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ )

Jako přechodové jádro

Náhodné opatření ${ displaystyle zeta}$ je (tak jako. ) lokálně konečné přechodové jádro z (abstraktu) pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}}, P)}$ na ${ displaystyle (E, { mathcal {E}})}$ .^[3]

Být přechodovým jádrem to znamená

Pro všechny pevné ${ displaystyle B v { mathcal { mathcal {E}}}}$ , mapování

{ displaystyle omega mapsto zeta ( omega, B)}

je měřitelný z

{ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}})}

na

{ displaystyle ( mathbb {R}, { mathcal {B}} ( mathbb {R}))}

Pro každou pevnou ${ displaystyle omega v Omega}$ , mapování

{ displaystyle B mapsto zeta ( omega, B) quad (B v { mathcal {E}})}

je opatření na

{ displaystyle (E, { mathcal {E}})}

Být místně konečný znamená, že opatření

{ displaystyle B mapsto zeta ( omega, B)}

uspokojit ${ displaystyle zeta ( omega, { tilde {B}}) < infty}$ pro všechny ohraničené měřitelné množiny ${ displaystyle { tilde {B}} v { mathcal {E}}}$ a pro všechny ${ displaystyle omega v Omega}$ kromě některých ${ displaystyle P}$ -nulová sada

Jako náhodný prvek

Definovat

{ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}: = { mu mid mu { text {je míra na}} (E, { mathcal {E}}) }}

a podmnožina lokálně konečných opatření do

{ displaystyle { mathcal {M}}: = { mu in { tilde { mathcal {M}}} mid mu ({ tilde {B}}) < infty { text {pro všechny ohraničené měřitelné}} { tilda {B}} v { mathcal {E}} }}

Pro všechny ohraničené měřitelné ${ displaystyle { tilde {B}}}$ , definujte mapování

{ displaystyle I _ { tilde {B}} colon mu mapsto mu ({ tilde {B}})}

z ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$ . Nechat ${ displaystyle { tilde { mathbb {M}}}}$ být ${ displaystyle sigma}$ -algebra vyvolaná mapováním ${ displaystyle I _ { tilde {B}}}$ na ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}}}$ a ${ displaystyle mathbb {M}}$ the ${ displaystyle sigma}$ -algebra vyvolaná mapováním ${ displaystyle I _ { tilde {B}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ . Všimněte si, že ${ displaystyle { tilde { mathbb {M}}} | _ { mathcal {M}} = mathbb {M}}$ .

Náhodná míra je náhodný prvek z ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}}, P)}$ na ${ displaystyle ({ tilde { mathcal {M}}}, { tilde { mathbb {M}}})}$ že téměř jistě nabývá hodnot ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, mathbb {M})}$ ^[3]^[4]^[5]

Základní související pojmy

Míra intenzity

Pro náhodnou míru ${ displaystyle zeta}$ , Měření ${ displaystyle operatorname {E} zeta}$ uspokojující

{ displaystyle operatorname {E} left [ int f (x) ; zeta ( mathrm {d} x) right] = int f (x) ; operatorname {E} zeta ( mathrm {d} x)}

pro každou pozitivní měřitelnou funkci ${ displaystyle f}$ se nazývá míra intenzity ${ displaystyle zeta}$ . Míra intenzity existuje pro každé náhodné opatření a je a s-konečná míra.

Podpůrné opatření

Pro náhodnou míru ${ displaystyle zeta}$ , Měření ${ displaystyle nu}$ uspokojující

{ displaystyle int f (x) ; zeta ( mathrm {d} x) = 0 { text {a.s. }} { text {iff}} int f (x) ; nu ( mathrm {d} x) = 0}

pro všechny pozitivní měřitelné funkce se nazývá podpůrné opatření z ${ displaystyle zeta}$ . Podpůrná míra existuje pro všechny náhodné míry a lze ji zvolit jako konečnou.

Laplaceova transformace

Pro náhodnou míru ${ displaystyle zeta}$ , Laplaceova transformace je definován jako

{ displaystyle { mathcal {L}} _ { zeta} (f) = operatorname {E} left [ exp left (- int f (x) ; zeta ( mathrm {d} x )dobře dobře]}

pro každou pozitivní měřitelnou funkci ${ displaystyle f}$ .

Základní vlastnosti

Měřitelnost integrálů

Pro náhodnou míru ${ displaystyle zeta}$ , integrály

{ displaystyle int f (x) zeta ( mathrm {d} x)}

a ${ displaystyle zeta (A): = int mathbf {1} _ {A} (x) zeta ( mathrm {d} x)}$

pro pozitivní ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ -měřitelný ${ displaystyle f}$ jsou měřitelné, takže jsou náhodné proměnné.

Jedinečnost

Distribuce náhodné míry je jednoznačně určena distribucemi

{ displaystyle int f (x) zeta ( mathrm {d} x)}

pro všechny nepřetržité funkce s kompaktní podporou ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle E}$ . Pro pevné semiring ${ displaystyle { mathcal {I}} podmnožina { mathcal {E}}}$ který generuje ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ V tom smyslu, že ${ displaystyle sigma ({ mathcal {I}}) = { mathcal {E}}}$ , rozdělení náhodné míry je také jednoznačně určeno integrálem mezi všemi pozitivními jednoduchý ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ -měřitelné funkce ${ displaystyle f}$ .^[6]

Rozklad

Opatření lze obecně rozložit jako:

{ displaystyle mu = mu _ {d} + mu _ {a} = mu _ {d} + součet _ {n = 1} ^ {N} kappa _ {n} delta _ {X_ {n}},}

Tady ${ displaystyle mu _ {d}}$ je difúzní míra bez atomů ${ displaystyle mu _ {a}}$ je čistě atomová míra.

Míra náhodného počítání

Náhodné měřítko formuláře:

{ displaystyle mu = součet _ {n = 1} ^ {N} delta _ {X_ {n}},}

kde ${ displaystyle delta}$ je Diracova míra, a ${ displaystyle X_ {n}}$ jsou náhodné proměnné, nazývá se a bodový proces^[1]^[2] nebo míra náhodného počítání. Toto náhodné opatření popisuje množinu N částice, jejichž umístění je dáno náhodnými proměnnými (obecně s vektorovou hodnotou) ${ displaystyle X_ {n}}$ . Difúzní složka ${ displaystyle mu _ {d}}$ je null pro míru počítání.

Ve formálním zápisu výše je mírou náhodného počítání mapa z prostoru pravděpodobnosti do prostoru měřitelného ( ${ displaystyle N_ {X}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {B}} (N_ {X})}$ ) A měřitelný prostor. Tady ${ displaystyle N_ {X}}$ je prostor všech omezeně konečných celočíselných hodnot ${ displaystyle N v M_ {X}}$ (nazývá se počítací opatření).

Definice míry očekávání, Laplaceovy funkce, momentové míry a stacionarity pro náhodné míry se řídí definicemi z bodové procesy. Náhodná opatření jsou užitečná při popisu a analýze Metody Monte Carlo, jako Monte Carlo numerická kvadratura a částicové filtry.^[7]

Viz také

Reference

^ ^A ^b Kallenberg, O., Náhodná opatření, 4. vydání. Academic Press, New York, Londýn; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 PAN854102. Autoritativní, ale poměrně obtížný odkaz.
^ ^A ^b Jan Grandell, Bodové procesy a náhodná opatření, Pokroky v aplikované pravděpodobnosti 9 (1977) 502-526. PAN0478331 JSTOR Pěkný a jasný úvod.
^ ^A ^b Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p. 526. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Daley, D. J .; Vere-Jones, D. (2003). "Úvod do teorie bodových procesů". Pravděpodobnost a její aplikace. doi:10.1007 / b97277. ISBN 0-387-95541-0. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. p. 52. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ „Crisan, D., Filtry částic: Teoretická perspektiva, v Postupné Monte Carlo v praxi, Doucet, A., de Freitas, N. a Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6

[RN-1] A ^b Kallenberg, O., Náhodná opatření, 4. vydání. Academic Press, New York, Londýn; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 PAN854102. Autoritativní, ale poměrně obtížný odkaz.

[G-2] A ^b Jan Grandell, Bodové procesy a náhodná opatření, Pokroky v aplikované pravděpodobnosti 9 (1977) 502-526. PAN0478331 JSTOR Pěkný a jasný úvod.

[Kallenberg1-3] A ^b Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Klenke526-4] Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p. 526. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[daleyPPI2003-5] Daley, D. J .; Vere-Jones, D. (2003). "Úvod do teorie bodových procesů". Pravděpodobnost a její aplikace. doi:10.1007 / b97277. ISBN 0-387-95541-0. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[Kallenberg52-6] Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. p. 52. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[crisan-7] „Crisan, D., Filtry částic: Teoretická perspektiva, v Postupné Monte Carlo v praxi, Doucet, A., de Freitas, N. a Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]