v matematika, Iverson držák, pojmenoval podle Kenneth E. Iverson, je zápis, který zobecňuje Kroneckerova delta, což je Iversonův výrok prohlášení X = y. Mapuje všechny prohlášení do funkce z volné proměnné v tom to vezme hodnotu jedna pro hodnoty proměnných, pro které je tvrzení pravdivé, a jinak vezme hodnotu nula. Obecně se označuje vložením příkazu do hranatých závorek:
![[P] = begin {cases} 1 & text {if} P text {is true;} 0 & text {jinak.} End {cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead533e8bdd9bcb51828f0d580bdc2d70a799da6)
V kontextu součet, zápis lze použít k zápisu libovolného součtu jako nekonečného součtu bez omezení: If
je libovolná vlastnost celého čísla
,
![{ displaystyle sum _ {k} f (k) , [P (k)] = součet _ {P (k)} f (k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e79740dc65a7926c3dfb7b99228e14e680c77d3)
Všimněte si, že podle této konvence je summand
musí vyhodnotit na 0 bez ohledu na to, zda
je definováno. Podobně pro produkty:
![{ displaystyle prod _ {k} f (k) ^ {[P (k)]} = prod _ {P (k)} f (k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82938d04cbf49103d77f89584316020e26b5b80)
Zápis původně zavedl Kenneth E. Iverson v jeho programovacím jazyce APL,[1][2] ačkoli omezeno na jednotlivé relační operátory uzavřené v závorkách, zatímco zobecnění na libovolné příkazy, notační omezení na hranaté závorky a aplikace na součet, prosazoval Donald Knuth vyhnout se nejednoznačnosti v logických výrazech v závorkách.[3]
Vlastnosti
Existuje přímá korespondence mezi aritmetikou v závorkách Iverson, logikou a operacemi množin. Například, pojďme A a B být soubory a
jakákoli vlastnost celých čísel; pak máme
![{ displaystyle { begin {aligned} [] [P land Q] & = [P] [Q], qquad [ neg P] = 1- [P]. [1em] [P lor Q ] & = [P] + [Q] - [P] [Q]. [1em] [k v A] + [k v B] & = [k v A pohár B] + [k in A cap B]. [1em] [x in A cap B] & = [x in A] [x in B]. [1em] [ forall m . P (k, m)] & = prod _ {m} [P (k, m)]. [1em] [ existuje m . P (k, m)] & = min { velký ( } 1, sum _ {m} [P (k, m)] { Big)} = 1- prod _ {m} vlevo (1- [P (k, m)] vpravo). [1em] # {m mid P (k, m) } & = sum _ {m} [P (k, m)]. End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6ea6ce6fbe7823a779762f25d8e42214af7223)
Příklady
Zápis umožňuje přesouvat okrajové podmínky součtů (nebo integrálů) jako samostatného faktoru do součtu, uvolňuje prostor kolem operátoru součtu, ale co je důležitější, umožňuje s ním manipulovat algebraicky.
Pravidlo dvojitého počítání
Mechanicky odvozujeme známé pravidlo manipulace se součty pomocí závorek Iverson:
![{ displaystyle { begin {seřazeno} součet _ {k v A} f (k) + součet _ {k v B} f (k) & = součet _ {k} f (k) , [k v A] + součet _ {k} f (k) , [k v B] & = součet _ {k} f (k) , ([k v A] + [ k in B]) & = sum _ {k} f (k) , ([k in A cup B] + [k in A cap B]) & = sum _ {k in A cup B} f (k) + sum _ {k in A cap B} f (k). end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db21dce1a822a3af11a89026a8c9e03533598ae)
Výměna součtů
Známé pravidlo
lze také snadno odvodit:
![{ displaystyle { begin {seřazeno} součet _ {j = 1} ^ {n} , součet _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) & = součet _ {j, k } f (j, k) , [1 leq j leq n] , [1 leq k leq j] & = sum _ {j, k} f (j, k) , [ 1 leq k leq j leq n] & = sum _ {j, k} f (j, k) , [1 leq k leq n] , [k leq j leq n ] & = sum _ {k = 1} ^ {n} , sum _ {j = k} ^ {n} f (j, k). end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2967acb1f5111d9b0baa80b51131e9094295bae5)
Počítací
Například Funkce Euler phi který počítá počet kladných celých čísel až n což jsou coprime na n lze vyjádřit pomocí
![phi (n) = sum_ {i = 1} ^ {n} [ gcd (i, n) = 1], qquad text {for} n in mathbb N ^ +.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc403d665aad384552591ea3d98add8af0950a1)
Zjednodušení zvláštních případů
Další použití Iversonovy závorky je zjednodušení rovnic pomocí speciálních případů. Například vzorec

platí pro n > 1 ale je pryč 1/2 pro n = 1. Chcete-li získat identitu platnou pro všechna kladná celá čísla n (tj. všechny hodnoty, pro které
je definován), lze přidat korekční člen zahrnující Iversonovu závorku:
![sum_ {1 le k le n na vrcholu gcd (k, n) = 1} ! ! k = frac {1} {2} n ( varphi (n) + [n = 1])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c71d0e09fb43a028c48fc640101a56eead61a5)
Společné funkce
Mnoho běžných funkcí, zejména těch s přirozenou definicí po částech, lze vyjádřit pomocí Iversonovy závorky. The Kroneckerova delta notace je specifický případ Iversonovy notace, když je podmínkou rovnost. To znamená
![delta _ {{ij}} = [i = j].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81e83a8bfafc93fb53facd4360cd794ea0fc98d)
The funkce indikátoru, často označován
,
nebo
, je závorka Iverson s nastaveným členstvím jako podmínkou:
.
The Funkce Heaviside step, znaková funkce,[1] a funkce absolutní hodnoty jsou také snadno vyjádřeny v tomto zápisu:
![{ displaystyle { begin {seřazeno} H (x) & = [x geq 0], operatorname {sgn} (x) & = [x> 0] - [x <0], end {zarovnáno }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a598483538bebdd969498bae9d62c7071e74aa61)
a
![{ displaystyle { begin {seřazeno} | x | & = x [x> 0] -x [x <0] & = x ([x> 0] - [x <0]) & = x cdot operatorname {sgn} (x). end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baca386282c81fa70a6d985d0fc8f8b1cb26607b)
Porovnávací funkce max a min (vrací větší nebo menší ze dvou argumentů) mohou být zapsány jako
a
.
The funkce podlahy a stropu lze vyjádřit jako
![{ displaystyle lfloor x rfloor = součet _ {n} n cdot [n leq x <n + 1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b376aa67868c65c1cd58ebe7ba9c738da3b4810)
a
![{ displaystyle lceil x rceil = součet _ {n} n cdot [n-1 <x leq n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faee0541bcabb19ed0265101e73afe0e3fd856a4)
kde index
součtu se rozumí rozsah přes všechna celá čísla.
The funkce rampy lze vyjádřit
![{ displaystyle R (x) = x cdot [x geq 0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039b3efdebd26fa8fdf4548161888c931f0913b8)
The trichotomie reals je ekvivalentní následující identitě:
![[a <b] + [a = b] + [a> b] = 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f904a0e9312701114b104202634fa07e250c2605)
The Möbiova funkce má vlastnost (a lze ji definovat opakováním jako[4])
![{ displaystyle sum _ {d | n} mu (d) = [n = 1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5864cb0903f1b7a7b58d48a3a3294041b77069aa)
Formulace z hlediska obvyklých funkcí
Ve 30. letech Guglielmo dalla Sommaja použil výraz
představovat to, co by nyní bylo napsáno
; dalla Sommaja také použité varianty, jako např
pro
.[3]Po jednom společná konvence, tato množství jsou stejná, pokud jsou definována:
je 1, pokud X > 0, je 0, pokud X = 0 a jinak není definováno.
Viz také
Reference
- ^ A b Kenneth E. Iverson (1962). Programovací jazyk. Wiley. str. 11. Citováno 7. dubna 2016.
- ^ Ronald Graham, Donald Knuth, a Oren Patashnik. Konkrétní matematika, Oddíl 2.2: Součty a opakování.
- ^ A b Donald Knuth, „Dvě poznámky k notaci“, Americký matematický měsíčník, Svazek 99, číslo 5, květen 1992, str. 403–422. (TeX, arXiv:matematika / 9205211 ).
- ^ Ronald Graham, Donald Knuth, a Oren Patashnik. Konkrétní matematika, Oddíl 4.9: Phi a Mu.