Nespočetná sada - Uncountable set

v matematika, an nespočetná sada (nebo nespočetně nekonečná sada)^[1] je nekonečná sada který obsahuje příliš mnoho elementy být počitatelný. Nepočítatelnost množiny s ní úzce souvisí základní číslovka: sada je nespočetná, pokud je její hlavní číslo větší než číslo sady ze všech přirozená čísla.

Charakterizace

Existuje mnoho ekvivalentních charakterizací nespočetnosti. Sada X je nepočítatelné, pokud a pouze pokud platí některá z následujících podmínek:

• Tady není žádný injekční funkce (tedy ne bijekce ) z X na množinu přirozených čísel.
• X je neprázdné a pro každý ω-sekvence prvků X, existuje alespoň jeden prvek X, který v něm není obsažen. To znamená X je neprázdné a není surjektivní funkce od přirozených čísel do X.
• The mohutnost z X není ani konečné, ani rovno ${displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-null, mohutnost přirozená čísla ).
• Sada X má mohutnost přísně větší než ${displaystyle aleph _ {0}}$.

První tři z těchto charakterizací lze prokázat jako rovnocenné v Teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiom volby, ale rovnocennost třetího a čtvrtého nelze prokázat bez dalších principů volby.

Vlastnosti

• Pokud je nespočetná sada X je podmnožinou množiny Y, pak Y je nepočítatelné.

Příklady

Nejznámějším příkladem nespočetné množiny je množina R ze všech reálná čísla; Cantorův diagonální argument ukazuje, že tato sada je nespočetná. Techniku ​​kontroly úhlopříčky lze také použít k ukázání, že několik dalších množin je nespočetných, například množina všech nekonečných sekvence z přirozená čísla a soubor všech podmnožiny množiny přirozených čísel. Mohutnost R se často nazývá mohutnost kontinua a označeno ${displaystyle {mathfrak {c}}}$,^[2] nebo ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$nebo ${displaystyle eth _ {1}}$ (beth-one ).

The Cantor set je nespočetná podmnožina R. Sada Cantor je a fraktální a má Hausdorffova dimenze větší než nula, ale menší než jedna (R má dimenzi jedna). Toto je příklad následující skutečnosti: libovolná podmnožina R Hausdorffovy dimenze striktně větší než nula musí být nespočetné.

Dalším příkladem nespočetné množiny je množina všech funkce z R na R. Tato sada je ještě „nespočetnější“ než R v tom smyslu, že mohutnost této množiny je ${displaystyle eth _ {2}}$ (beth-dva ), který je větší než ${displaystyle eth _ {1}}$.

Abstraktnějším příkladem nespočetné množiny je množina všech spočítatelných řadové číslovky, označeno Ω nebo ω₁.^[1] Mohutnost Ω je označena ${displaystyle aleph _ {1}}$ (aleph-one ). To lze zobrazit pomocí axiom volby, že ${displaystyle aleph _ {1}}$ je nejmenší nespočetné hlavní číslo. Tedy buď ${displaystyle eth _ {1}}$, mohutnost realit, se rovná ${displaystyle aleph _ {1}}$ nebo je přísně větší. Georg Cantor byl první, kdo navrhl otázku, zda ${displaystyle eth _ {1}}$ je rovný ${displaystyle aleph _ {1}}$. V roce 1900 David Hilbert položil tuto otázku jako první ze svých 23 problémů. Prohlášení, že ${displaystyle aleph _ {1} = eth _ {1}}$ se nyní nazývá hypotéza kontinua a je známo, že je nezávislý na Zermelo – Fraenkelovy axiomy pro teorie množin (včetně axiom volby ).

Bez axiomu volby

Bez axiom volby, mohou existovat kardinality nesrovnatelný na ${displaystyle aleph _ {0}}$ (jmenovitě kardinality Dedekind-konečný nekonečné množiny). Sady těchto kardinalit splňují první tři charakterizace výše, ale ne čtvrtou charakterizaci. Protože tyto množiny nejsou větší než přirozená čísla ve smyslu mohutnosti, někteří je možná nebudou chtít nazývat nespočetnými.

Pokud platí axiom výběru, platí pro kardinála následující podmínky ${displaystyle kappa}$ jsou ekvivalentní:

• ${displaystyle kappa leq aleph _ {0};}$
• ${displaystyle kappa> aleph _ {0};}$ a
• ${displaystyle kappa geq aleph _ {1}}$, kde ${displaystyle aleph _ {1} = | omega _ {1} |}$ a ${displaystyle omega _ {1}}$ je nejméně počáteční pořadové číslo větší než ${displaystyle omega.}$

Mohou se však všechny lišit, pokud selže axiom výběru. Není tedy zřejmé, které z nich je vhodné zobecnění „nespočetnosti“, když axiom selže. V tomto případě by mohlo být nejlepší slovo nepoužívat a určit, který z nich znamená.

Viz také

• Aleph číslo
• Beth číslo
• První nespočetné pořadové číslo
• Injekční funkce

Reference

Bibliografie

• Halmos, Paul, Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag). Přetištěno Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (Brožované vydání).
• Jech, Thomas (2002), Teorie množinSpringer Monografie z matematiky (3. tisíciletí ed.), Springer, ISBN  3-540-44085-2

externí odkazy

• Důkaz toho R je nepočítatelné