Lebesguesova věta o rozkladu - Lebesgues decomposition theorem - Wikipedia

v matematika, přesněji v teorie míry, Lebesgueova věta o rozkladu^[1][2][3] uvádí, že za každé dva σ-konečný podepsaná opatření ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ na měřitelný prostor ${ displaystyle ( Omega, Sigma),}$ existují dvě σ-konečné podepsané míry ${ displaystyle nu _ {0}}$ a ${ displaystyle nu _ {1}}$ takové, že:

• ${ displaystyle nu = nu _ {0} + nu _ {1} ,}$
• ${ displaystyle nu _ {0} ll mu}$ (to znamená, ${ displaystyle nu _ {0}}$ je absolutně kontinuální s ohledem na ${ displaystyle mu}$)
• ${ displaystyle nu _ {1} perp mu}$ (to znamená, ${ displaystyle nu _ {1}}$ a ${ displaystyle mu}$ jsou jednotné číslo ).

Tyto dvě míry jsou jednoznačně určeny ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$.

Upřesnění

Lebesgueova věta o rozkladu může být upřesněna mnoha způsoby.

Za prvé, rozklad jednotné číslo součást pravidelného Borelův rozměr na skutečná linie lze upřesnit:^[4]

${ displaystyle , nu = nu _ { mathrm {cont}} + nu _ { mathrm {sing}} + nu _ { mathrm {pp}}}$

kde

• ν_pokr je absolutně kontinuální část
• ν_zpívat je singulární spojité část
• ν_str je čistý bod část (a diskrétní míra ).

Zadruhé, absolutně kontinuální opatření jsou klasifikována podle Věta Radon – Nikodym a jednotlivá opatření jsou snadno srozumitelná. Proto (singulární kontinuální opatření stranou), Lebesgueův rozklad poskytuje velmi explicitní popis opatření. The Cantorovo opatření (dále jen míra pravděpodobnosti na skutečná linie jehož kumulativní distribuční funkce je Funkce Cantor ) je příkladem singulární spojité míry.

Související pojmy

Lévy – Itō rozklad

Analogické^{[Citace je zapotřebí ]} rozklad pro a stochastické procesy je Lévy – Itō rozklad: daný a Lévyho proces X, to může být rozloženo jako součet tří nezávislých Lévyho procesy ${ displaystyle X = X ^ {(1)} + X ^ {(2)} + X ^ {(3)}}$ kde:

• ${ displaystyle X ^ {(1)}}$ je Brownův pohyb s driftem, což odpovídá absolutně spojité části;
• ${ displaystyle X ^ {(2)}}$ je složený Poissonův proces, odpovídající čisté bodové části;
• ${ displaystyle X ^ {(3)}}$ je čtvercový integrovatelný čistý skok martingale že téměř jistě má spočítatelné množství skoků v konečném intervalu, odpovídající singulární spojité části.

Viz také

• Rozklad spektra
• Hahnova věta o rozkladu a odpovídající Jordanova věta o rozkladu

Citace

Reference

• Halmos, Paul R. (1974) [1950], Teorie měření, Postgraduální texty z matematiky, 18, New York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90088-9, PAN  0033869, Zbl  0283.28001
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reálná a abstraktní analýza. Moderní pojednání o teorii funkcí reálné proměnné, Postgraduální texty z matematiky, 25, Berlín, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90138-1, PAN  0188387, Zbl  0137.03202
• Rudin, Walter (1974), Skutečná a komplexní analýza, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2. vyd.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN  0-07-054233-3, PAN  0344043, Zbl  0278.26001

Tento článek včlení materiál od Lebesgueovy věty o rozkladu PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.