Vennův diagram - Venn diagram

Vennův diagram zobrazující velká písmena glyfy sdílí řecký, latinský, a cyrilice abecedy
Část série na statistika
Teorie pravděpodobnosti
Aplikace Nuvola atlantik.png

A Vennův diagram, také zvaný primární diagram, nastavený diagram nebo logický diagram, je diagram to ukazuje Všechno možný logický vztahy mezi konečnou sbírkou různých sady. Tyto diagramy zobrazují elementy jako body v rovině a sady jako oblasti uvnitř uzavřených křivek. Vennův diagram se skládá z několika překrývajících se uzavřených křivek, obvykle kruhů, z nichž každá představuje množinu. Označené body uvnitř křivky S představují prvky množiny S, zatímco body mimo hranici představují prvky, které nejsou v množině S. To se hodí pro intuitivní vizualizace; například sada všech prvků, které jsou členy obou sad S a T, označeno S ∩ T a přečíst „křižovatku S a T", je vizuálně reprezentována oblastí překrytí regionů S a T.[1][2] Ve Vennových diagramech se křivky všemožně překrývají a ukazují všechny možné vztahy mezi množinami. Jsou tedy zvláštním případem Eulerovy diagramy, které nemusí nutně ukazovat všechny vztahy. Vennovy diagramy vznikly kolem roku 1880 John Venn. Používají se k výuce elementárních předmětů teorie množin, stejně jako ilustraci jednoduchých nastavených vztahů v pravděpodobnost, logika, statistika, lingvistika, a počítačová věda.

Vennův diagram, ve kterém je plocha každého tvaru úměrná počtu prvků, které obsahuje, se nazývá an proporcionální (nebo zmenšený Vennův diagram).

Příklad

Sady A (bytosti se dvěma nohama) a B (bytosti, které mohou létat)

Tento příklad zahrnuje dva sady, A a B, zde znázorněné jako barevné kruhy. Oranžový kruh, sada A, představuje všechny typy živých tvorů, které jsou dvounohé. Modrý kruh, sada B, představuje živé tvory, které mohou létat. Každý samostatný typ stvoření si lze představit jako bod někde v diagramu. Živí tvorové, kteří mohou létat a mít dvě nohy - například papoušky - jsou pak v obou sadách, takže odpovídají bodům v oblasti, kde se modré a oranžové kruhy překrývají. Tato překrývající se oblast by obsahovala pouze ty prvky (v tomto příkladu tvory), které jsou členy jak sady A (dvounohé bytosti), tak sady B (létající bytosti).

Lidé a tučňáci jsou bipedální, stejně jako v oranžovém kruhu, ale protože nemohou létat, objevují se v levé části oranžového kruhu, kde se nepřekrývá s modrým kruhem. Komáři mají šest nohou a létají, takže bod pro komáry je v části modrého kruhu, který se nepřekrývá s oranžovým. Bytosti, které nejsou dvounohé a nemohou létat (například velryby a pavouci), by byly všechny reprezentovány body mimo oba kruhy.

Kombinovaná oblast množin A a B se nazývá svaz A a B, označeno A ∪ B.[1][3] Spojení v tomto případě obsahuje všechny živé tvory, které jsou buď dvounohé, nebo mohou létat (nebo obojí).

Oblast zahrnutá v A i B, kde se tyto dvě sady překrývají, se nazývá průsečík A a B, označeno A ∩ B.[1][3] V tomto příkladu není průnik dvou sad prázdný, protože tam jsou body, které představují tvory, které jsou v oba oranžové a modré kruhy.

Dějiny

Vitráže okno s Vennovým diagramem ve Windows Gonville a Caius College v Cambridge

Venn diagramy byly zavedeny v roce 1880 John Venn v příspěvku s názvem "O schematickém a mechanickém znázornění návrhů a úvah" v dokumentu Filozofický časopis a Journal of Science, o různých způsobech reprezentace propozice podle diagramů.[4][5][6] Použití těchto typů diagramy v formální logika, podle Frank Ruskey a Mark Weston, „není snadné vysledovat historii, ale je jisté, že diagramy, které jsou populárně spojovány s Vennem, ve skutečnosti vznikly mnohem dříve. Jsou však správně spojeny s Vennem, protože komplexně zkoumal a formalizoval jejich použití a byl první, kdo je zobecnil “.[7]

Venn sám nepoužil výraz „Vennův diagram“ a odkazoval na svůj vynález jako „Euleriánské kruhy ".[6] Například v úvodní větě svého článku z roku 1880 Venn píše: „Schémata schematického znázornění byla během minulého století tak dobře zavedena do logických pojednání, že mnoho čtenářů, dokonce i těch, kteří neprovedli žádné odborné studium logiky, může Předpokládá se, že bude seznámen s obecnou povahou a předmětem takových zařízení. Pouze jeden z těchto schémat, tj. běžně nazývaný „Eulerianské kruhy“, se setkal s jakýmkoli obecným přijetím ... “[4][5] Lewis Carroll (Charles L. Dodgson ) zahrnuje „Vennovu metodu diagramů“ i „Eulerovu metodu diagramů“ v „Příloze adresované učitelům“ jeho knihy Symbolická logika (4. vydání vydané v roce 1896). Termín „Vennův diagram“ byl později použit Clarence Irving Lewis v roce 1918, ve své knize Průzkum symbolické logiky.[7][8]

Vennovy diagramy jsou velmi podobné Eulerovy diagramy, které vynalezl Leonhard Euler v 18. století.[poznámka 1][9][10] M. E. Baron to poznamenal Leibniz (1646–1716) vytvořil podobné diagramy před Eulerem v 17. století, ale mnoho z nich bylo nepublikováno.[11] Pozoruje také ještě dřívější Eulerovy diagramy Ramon Llull ve 13. století.[12]

Ve 20. století se Vennovy diagramy dále rozvíjely. David Wilson Henderson v roce 1963 ukázal, že existence n-Venův diagram s n-složit rotační symetrie to naznačovalo n byl prvočíslo.[13] Ukázal také, že takové symetrické Vennovy diagramy existují, když n je pět nebo sedm. V roce 2002 našel Peter Hamburger symetrické Vennovy diagramy pro n = 11 a v roce 2003 Griggs, Killian a Savage ukázali, že pro všechny ostatní prvočísla existují symetrické Vennovy diagramy. Tyto kombinované výsledky ukazují, že rotačně symetrické Vennovy diagramy existují, právě když n je prvočíslo.[14]

Vennovy diagramy a Eulerovy diagramy byly začleněny jako součást výuky do teorie množin jako součást nová matematika hnutí v 60. letech. Od té doby byly také přijaty do učebních osnov jiných oborů, jako je čtení.[15]

Přehled

Viz také: Sada (matematika) § Základní operace

  • Průsečík dvou sad

  • svaz dvou sad

  • Symetrický rozdíl dvou sad

  • Relativní doplněk z A (zůstal v B (že jo)

  • Absolutní doplněk A v U.

Vennův diagram je sestrojen ze sbírky jednoduchých uzavřených křivek nakreslených v rovině. Podle Lewise,[8] "princip těchto diagramů je, že třídy [nebo sady ] být reprezentovány regiony v takovém vzájemném vztahu, že všechny možné logické vztahy těchto tříd lze označit ve stejném diagramu. To znamená, že diagram zpočátku ponechává prostor pro jakýkoli možný vztah tříd a skutečný nebo daný vztah lze potom určit uvedením, že určitá konkrétní oblast je null nebo není null ".[8]:157

Vennovy diagramy obvykle zahrnují překrývající se kruhy. Vnitřek kruhu symbolicky představuje elementy sady, zatímco exteriér představuje prvky, které nejsou členy sady. Například ve Vennově diagramu se dvěma sadami může jeden kruh představovat skupinu všech dřevěný objekty, zatímco druhý kruh může představovat sadu všech tabulek. Překrývající se oblast nebo průsečík, pak bude představovat sadu všech dřevěných stolů. Lze použít i jiné tvary než kružnice, jak je znázorněno níže na vlastních vyšších sadách diagramů. Vennovy diagramy obecně neobsahují informace o relativních nebo absolutních velikostech (mohutnost ) sad. To znamená, že jsou schematické schémata obecně nejsou nakreslena v měřítku.

Vennovy diagramy jsou podobné Eulerovy diagramy. Avšak Vennův diagram pro n sady komponent musí obsahovat všechny 2n hypoteticky možné zóny, které odpovídají určité kombinaci zahrnutí nebo vyloučení v každé ze sad složek.[16] Eulerovy diagramy obsahují pouze skutečně možné zóny v daném kontextu. Ve Vennových diagramech může stínovaná zóna představovat prázdnou zónu, zatímco v Eulerově diagramu odpovídající zóna v diagramu chybí. Například pokud jedna sada představuje mléčné výrobky a další sýry, Vennův diagram obsahuje zónu pro sýry, které nejsou mléčnými výrobky. Za předpokladu, že v kontextu sýr znamená nějaký druh mléčného výrobku, Eulerův diagram má sýrovou zónu zcela obsaženou v zóně mléčných výrobků - neexistuje žádná zóna pro (neexistující) nemléčné sýry. To znamená, že s rostoucím počtem obrysů jsou Eulerovy diagramy typicky méně vizuálně složitější než ekvivalentní Vennův diagram, zvláště pokud je počet neprázdných křižovatek malý.[17]

Rozdíl mezi Eulerovými a Vennovými diagramy lze vidět v následujícím příkladu. Vezměte tři sady:

Eulerův a Vennův diagram těchto sad jsou:

  • Eulerův diagram

  • Vennův diagram

Rozšíření na vyšší počet sad

Vennovy diagramy obvykle představují dvě nebo tři sady, ale existují formy, které umožňují vyšší čísla. Níže zobrazené čtyři protínající se koule tvoří Vennův diagram nejvyššího řádu, který má symetrii a simplexní a lze je vizuálně znázornit. 16 průsečíků odpovídá vrcholům a tesseract (nebo buňky a 16 buněk ).

Venn 1000 0000 0000 0000.pngVenn 0110 1000 1000 0000.png

Venn 0100 0000 0000 0000.png Venn 0010 0000 0000 0000.png Venn 0000 1000 0000 0000.png Venn 0000 0000 1000 0000.png

Venn 0001 0110 0110 1000.png

Venn 0001 0000 0000 0000.png Venn 0000 0100 0000 0000.png Venn 0000 0010 0000 0000.png Venn 0000 0000 0100 0000.png Venn 0000 0000 0010 0000.png Venn 0000 0000 0000 1000.png

Venn 0000 0001 0001 0110.png

Venn 0000 0001 0000 0000.png Venn 0000 0000 0001 0000.png Venn 0000 0000 0000 0100.png Venn 0000 0000 0000 0010.png

Venn 0000 0000 0000 0001.png

U vyšších počtů sad je nevyhnutelná určitá ztráta symetrie v diagramech. Venn horlivě hledal „symetrické postavy ... samy o sobě elegantní“.[9] který představoval vyšší počet sad a on vymyslel elegantní čtyřsetový diagram pomocí elipsy (viz. níže). Dal také konstrukci Vennových diagramů pro žádný počet sad, kde každá po sobě jdoucí křivka, která vymezuje množinu, se prokládá s předchozími křivkami, počínaje trojkruhovým diagramem.

  • Vennova konstrukce pro čtyři sady

  • Vennova konstrukce pro pět sad

  • Vennova konstrukce pro šest sad

  • Vennův čtyřsetový diagram využívající elipsy

  • Non-příklad: Tento Eulerův diagram je ne Vennův diagram pro čtyři sady, protože má pouze 13 oblastí (kromě vnější); neexistuje region, kde by se setkaly pouze žluté a modré nebo pouze červené a zelené kruhy.

  • Pětinásobný Vennův diagram využívající shodné elipsy pětinásobně rotačně symetrické ujednání vymyslel Branko Grünbaum. Štítky byly zjednodušeny pro lepší čitelnost; například, A označuje A ∩ BC ∩ CC ∩ DC ∩ EC, zatímco BCE označuje AC ∩ B ∩ C ∩ DC ∩ E.

  • Šestinásobný Vennův diagram sestávající pouze z trojúhelníků (interaktivní verze)

Edwards – Vennovy diagramy

  • Tři sady

  • Čtyři sady

  • Pět sad

  • Šest sad

Anthony William Fairbank Edwards zkonstruoval řadu Vennových diagramů pro vyšší počet sad segmentací povrchu koule, která se stala známou jako Edwards – Vennovy diagramy.[18] Například tři sady lze snadno znázornit tak, že vezmeme tři polokoule koule v pravém úhlu (X = 0, y = 0 a z = 0). Čtvrtá sada může být přidána do reprezentace tím, že vezmeme křivku podobnou švu na tenisovém míčku, který se vine nahoru a dolů kolem rovníku atd. Výsledné množiny lze potom promítnout zpět do roviny, dát ozubené kolo diagramy s rostoucím počtem zubů - jak je znázorněno zde. Tyto diagramy byly vytvořeny při navrhování a vitráže okno na památku Venna.[18]

Další diagramy

Edwards – Vennovy diagramy jsou topologicky ekvivalentní na diagramy vytvořené uživatelem Branko Grünbaum, které byly založeny na protínajících se mnohoúhelníky s rostoucím počtem stran. Jsou také dvourozměrnými reprezentacemi hyperkrychle.

Henry John Stephen Smith vymyslel podobný n-nastavení diagramů pomocí sinus křivky[18] s řadou rovnic

Charles Lutwidge Dodgson (aka Lewis Carroll ) vymyslel pětisetový diagram známý jako Carrollovo náměstí. Na druhé straně Joaquin a Boyles navrhli doplňková pravidla pro standardní Vennův diagram, aby se zohlednily určité problémové případy. Například pokud jde o otázku reprezentace singulárních výroků, navrhují považovat kruh Vennova diagramu za reprezentaci množiny věcí a použít logika prvního řádu a teorie množin zacházet s kategorickými výroky jako s výroky o množinách. Dále navrhují považovat singulární výroky za výroky o nastavit členství. Například pro vyjádření výroku „a je F“ v tomto přestavěném Vennově diagramu může být uvnitř kruhu, který představuje množinu F, malé písmeno „a“.[19]

Související pojmy

Vennův diagram jako pravdivostní tabulka

Vennovy diagramy odpovídají pravdivostní tabulky pro propozice , atd. v tom smyslu, že každá oblast Vennova diagramu odpovídá jednomu řádku tabulky pravdy.[20][21] Tento typ je také známý jako Johnstonův diagram. Dalším způsobem, jak reprezentovat sady, je John F. Randolph R-diagramy.

Viz také

Poznámky

  1. ^ V Eulerově Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie [Dopisy německé kněžně o různých fyzikálních a filozofických tématech] (Petrohrad, Rusko: l'Academie Impériale des Sciences, 1768), svazek 2, stránky 95-126. Ve Vennově článku však naznačuje, že schematická myšlenka předchází Eulera a lze jej přičíst Christian Weise nebo Johann Christian Lange (v Langeho knize Nucleus Logicae Weisianae (1712)).

Reference

  1. ^ A b C "Úplný seznam symbolů teorie množin". Matematický trezor. 2020-04-11. Citováno 2020-09-05.
  2. ^ „Průnik množin“. web.mnstate.edu. Citováno 2020-09-05.
  3. ^ A b „Sady a Vennovy diagramy“. www.mathsisfun.com. Citováno 2020-09-05.
  4. ^ A b Venne, Johne (Červenec 1880). „I. O schematickém a mechanickém znázornění návrhů a úvah“ (PDF). The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 5. 10 (59): 1–18. doi:10.1080/14786448008626877. Archivováno (PDF) od původního dne 2017-05-16. [1] [2]
  5. ^ A b Venne, Johne (1880). „O využití geometrických diagramů pro rozumné znázornění logických tvrzení“. Sborník Cambridge Philosophical Society. 4: 47–59.
  6. ^ A b Sandifer, Ed (2003). „Jak to Euler udělal“ (PDF). MAA online. Matematická asociace Ameriky (MAA). Citováno 2009-10-26.
  7. ^ A b Ruskey, Franku; Weston, Mark (18.06.2005). „Průzkum Vennových diagramů“. Electronic Journal of Combinatorics.
  8. ^ A b C Lewis, Clarence Irving (1918). Průzkum symbolické logiky. Berkeley: University of California Press.
  9. ^ A b Venne, Johne (1881). Symbolická logika. Macmillana. str.108. Citováno 2013-04-09.
  10. ^ Mac Queen, Gailand (říjen 1967). Logický diagram (PDF) (Teze). McMaster University. Archivovány od originál (PDF) dne 2017-04-14. Citováno 2017-04-14. (Pozn. Má podrobnou historii vývoje logických diagramů, mimo jiné včetně Vennova diagramu.)
  11. ^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1903) [ca. 1690]. „De Formae Logicae per linearum ductus“. v Couturat, Louis (vyd.). Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz (v latině). str. 292–321.
  12. ^ Baron, Margaret E. (květen 1969). "Poznámka k historickému vývoji logických diagramů". Matematický věstník. 53 (384): 113–125. doi:10.2307/3614533. JSTOR  3614533.
  13. ^ Henderson, David Wilson (Duben 1963). "Vennovy diagramy pro více než čtyři třídy". Americký matematický měsíčník. 70 (4): 424–426. doi:10.2307/2311865. JSTOR  2311865.
  14. ^ Ruskey, Franku; Savage, Carla D.; Wagon, Stan (Prosinec 2006). „Hledání jednoduchých symetrických Vennových diagramů“ (PDF). Oznámení AMS. 53 (11): 1304–1311.
  15. ^ „Strategie pro čtení Vennových diagramů s porozuměním“. Archivovány od originál dne 29. 04. 2009. Citováno 2009-06-20.
  16. ^ Weisstein, Eric W. "Vennův diagram". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-09-05.
  17. ^ „Eulerovy diagramy 2004: Brighton, Velká Británie: 22. – 23. Září“. Úvaha o projektu Diagrams, University of Kent. 2004. Citováno 2008-08-13.
  18. ^ A b C Edwards, Anthony William Fairbank (2004). Ozubená kola mysli: Příběh Vennových diagramů. Baltimore, Maryland, USA: Johns Hopkins University Press. str. 65. ISBN  978-0-8018-7434-5..
  19. ^ Joaquin, Jeremiah Joven; Boyles, Robert James M. (červen 2017). „Výuka logiky logiky pomocí přestavené Vennovy diagramové techniky“. Výuka filozofie. 40 (2): 161–180. doi:10,5840 / teachphil201771767. Archivováno od originálu 21. 11. 2018. Citováno 2020-05-12.
  20. ^ Grimaldi, Ralph P. (2004). Diskrétní a kombinatorická matematika. Boston: Addison-Wesley. str. 143. ISBN  978-0-201-72634-3.
  21. ^ Johnson, David L. (2001). „3.3 Zákony“. Logické prvky pomocí čísel a množin. Springerova vysokoškolská matematická série. Berlín, Německo: Springer-Verlag. str.62. ISBN  978-3-540-76123-5.

Další čtení

externí odkazy