Boole nerovnost - Booles inequality - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Část série na statistika
Teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní axiomy
Pravděpodobný prostor Ukázkový prostor Základní událost událost Náhodná proměnná Míra pravděpodobnosti
Doplňková akce Společná pravděpodobnost Mezní pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost
Nezávislost Podmíněná nezávislost Zákon celkové pravděpodobnosti Zákon velkých čísel Bayesova věta Booleova nerovnost
Vennův diagram Stromový diagram

v teorie pravděpodobnosti, Booleova nerovnost, také známý jako odborově vázán, říká, že pro všechny konečný nebo počitatelný soubor z Události, pravděpodobnost, že dojde alespoň k jedné z událostí, není větší než součet pravděpodobností jednotlivých událostí. Booleova nerovnost je pojmenována po George Boole.^[1]

Formálně pro spočetnou řadu událostí A₁, A₂, A₃, ..., my máme

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i} A_ {i}) leq sum _ {i} { mathbb {P}} (A_ {i}).}$

v míra-teoretická termíny, Booleova nerovnost vyplývá ze skutečnosti, že opatření (a určitě jakékoli míra pravděpodobnosti ) je σ-subaditivum.

Důkaz

Důkaz pomocí indukce

Booleovu nerovnost lze prokázat pro konečné sbírky událostí pomocí metody indukce.

Pro ${ displaystyle n = 1}$ z toho vyplývá, že

${ displaystyle mathbb {P} (A_ {1}) leq mathbb {P} (A_ {1}).}$

Pro případ ${ displaystyle n}$, my máme

${ displaystyle { mathbb {P}} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}) leq sum _ {i = 1} ^ {n} { mathbb {P}} ( A_ {i}).}$

Od té doby ${ displaystyle mathbb {P} (A cup B) = mathbb {P} (A) + mathbb {P} (B) - mathbb {P} (A cap B),}$ a protože operace unie je asociativní, my máme

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i}) = mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i }) + mathbb {P} (A_ {n + 1}) - mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} cap A_ {n + 1}).}$

Od té doby

${ displaystyle { mathbb {P}} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} cap A_ {n + 1}) geq 0,}$

podle první axiom pravděpodobnosti, my máme

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i}) leq mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ { i}) + mathbb {P} (A_ {n + 1}),}$

a proto

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i}) leq sum _ {i = 1} ^ {n} mathbb {P} (A_ { i}) + mathbb {P} (A_ {n + 1}) = sum _ {i = 1} ^ {n + 1} mathbb {P} (A_ {i}).}$

Důkaz bez použití indukce

Pro všechny události v ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, dots}$v našem pravděpodobnostní prostor my máme

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i} A_ {i}) leq sum _ {i} mathbb {P} (A_ {i}).}$

Jedním z axiomů pravděpodobnostního prostoru je, že pokud ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, dots}$ jsou disjunktní podmnožiny pravděpodobnostního prostoru

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i} B_ {i}) = součet _ {i} mathbb {P} (B_ {i});}$

tomu se říká spočetná aditivita.

Li ${ displaystyle B podmnožina A,}$ pak ${ displaystyle mathbb {P} (B) leq mathbb {P} (A).}$

Ve skutečnosti z axiomů rozdělení pravděpodobnosti

${ displaystyle mathbb {P} (A) = mathbb {P} (B) + mathbb {P} (A-B).}$

Upozorňujeme, že oba výrazy na pravé straně jsou nezáporné.

Nyní musíme sady upravit ${ displaystyle A_ {i}}$, takže se stávají disjunktními.

${ displaystyle B_ {i} = A_ {i} - bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.}$

Takže když ${ displaystyle B_ {i} podmnožina A_ {i}}$, pak víme

${ displaystyle bigcup _ {i = 1} ^ { infty} B_ {i} = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}.}$

Proto můžeme odvodit následující rovnici

${ displaystyle mathbb {P} ( bigcup _ {i} A_ {i}) = mathbb {P} ( bigcup _ {i} B_ {i}) = součet _ {i} mathbb {P} (B_ {i}) leq sum _ {i} mathbb {P} (A_ {i}).}$

Bonferroniho nerovnosti

Booleovu nerovnost lze zobecnit horní a dolní hranice o pravděpodobnosti konečné odbory událostí.^[2] Tyto hranice jsou známé jako Bonferroniho nerovnosti, po Carlo Emilio Bonferroni; vidět Bonferroni (1936).

Definovat

${ displaystyle S_ {1}: = suma _ {i = 1} ^ {n} { mathbb {P}} (A_ {i}),}$

a

${ displaystyle S_ {2}: = součet _ {1 leq i$

stejně jako

${ displaystyle S_ {k}: = součet _ {1 leq i_ {1} < cdots$

pro všechna celá čísla k v {3, ..., n}.

Pak pro zvláštní k v 1, ..., n},

${ displaystyle { mathbb {P}} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}) leq sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j- 1} S_ {j},}$

a pro dokonce k v {2, ..., n},

${ displaystyle { mathbb {P}} ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}) geq sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j- 1} S_ {j}.}$

Booleova nerovnost je počáteční případ, k = 1. Kdy k = n, pak platí rovnost a výsledná identita je zásada začlenění - vyloučení.

Viz také

• Zředěný princip zahrnutí - vyloučení
• Schuette – Nesbittův vzorec
• Nerovnosti Boole – Fréchet
• Pravděpodobnost spojení párově nezávislých událostí

Reference

• Bonferroni, Carlo E. (1936), „Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità“, Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Ekonom. e Commerciali di Firenze (v italštině), 8: 1–62, Zbl  0016.41103
• Dohmen, Klaus (2003), Vylepšené nerovnosti Bonferroni prostřednictvím abstraktních trubek. Nerovnosti a identity inkluze - typ vyloučeníPřednášky z matematiky, 1826, Berlín: Springer-Verlag, str. viii + 113, ISBN  3-540-20025-8, PAN  2019293, Zbl  1026.05009
• Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Nerovnosti typu Bonferroni s aplikacemiPravděpodobnost a její aplikace, New York: Springer-Verlag, str. x + 269, ISBN  0-387-94776-0, PAN  1402242, Zbl  0869.60014
• Galambos, János (1977), „Bonferroniho nerovnosti“, Annals of Probability, 5 (4): 577–581, doi:10.1214 / aop / 1176995765, JSTOR  2243081, PAN  0448478, Zbl  0369.60018
• Galambos, János (2001) [1994], „Bonferroniho nerovnosti“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

Tento článek obsahuje materiál z nerovností Bonferroni PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.