Náhodná kompaktní sada - Random compact set

v matematika, a náhodná kompaktní sada je v podstatě kompaktní sada -hodnota náhodná proměnná. Náhodné kompaktní sady jsou užitečné při studiu atraktorů pro náhodné dynamické systémy.

Definice

Nechat ${displaystyle (M, d)}$ být kompletní oddělitelný metrický prostor. Nechat ${displaystyle {mathcal {K}}}$ označuje sadu všech kompaktních podskupin ${displaystyle M}$. Hausdorffova metrika ${displaystyle h}$ na ${displaystyle {mathcal {K}}}$ je definováno

${displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = max vlevo {sup _ {ain K_ {1}} inf _ {bin K_ {2}} d (a, b), sup _ {bin K_ { 2}} inf _ {ain K_ {1}} d (a, b) ight}.}$

${displaystyle ({mathcal {K}}, h)}$ je také úplný oddělitelný metrický prostor. Odpovídající otevřené podmnožiny generují a σ-algebra na ${displaystyle {mathcal {K}}}$, Borel sigma algebra ${displaystyle {mathcal {B}} ({mathcal {K}})}$ z ${displaystyle {mathcal {K}}}$.

A náhodná kompaktní sada je а měřitelná funkce ${displaystyle K}$ od а pravděpodobnostní prostor ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ do ${displaystyle ({mathcal {K}}, {mathcal {B}} ({mathcal {K}}))}}$.

Jinými slovy, náhodná kompaktní sada je měřitelná funkce ${displaystyle Kcolon Omega o 2 ^ {M}}$ takhle ${displaystyle K (omega)}$ je téměř jistě kompaktní a

${displaystyle omega mapsto inf _ {bin K (omega)} d (x, b)}$

je měřitelná funkce pro každého ${displaystyle xin M}$.

Diskuse

Náhodné kompaktní sady v tomto smyslu jsou také náhodné uzavřené množiny jako v Matheron (1975). V důsledku toho, za dalšího předpokladu, že nosný prostor je lokálně kompaktní, je jejich rozdělení dáno pravděpodobnostmi

${displaystyle mathbb {P} (Xcap K = emptyset)}$ pro ${displaystyle Kin {mathcal {K}}.}$

(Distribuce náhodných kompaktních konvexních množin je dána také systémem všech pravděpodobností zařazení ${displaystyle mathbb {P} (Xsubset K).}$)

Pro ${displaystyle K = {x}}$, pravděpodobnost ${displaystyle mathbb {P} (xin X)}$ získá, což uspokojí

${displaystyle mathbb {P} (xin X) = 1-mathbb {P} (xot v X).}$

Tak krycí funkce ${displaystyle p_ {X}}$ darováno

${displaystyle p_ {X} (x) = mathbb {P} (xin X)}$ pro ${displaystyle xin M.}$

Samozřejmě, ${displaystyle p_ {X}}$ lze také interpretovat jako průměr funkce indikátoru ${displaystyle mathbf {1} _ {X}}$:

${displaystyle p_ {X} (x) = mathbb {E} mathbf {1} _ {X} (x).}$

Krycí funkce má hodnoty mezi ${displaystyle 0}$ a ${displaystyle 1}$. Sada ${displaystyle b_ {X}}$ ze všech ${displaystyle xin M}$ s ${displaystyle p_ {X} (x)> 0}$ se nazývá Podpěra, podpora z ${displaystyle X}$. Sada ${displaystyle k_ {X}}$, ze všech ${displaystyle xin M}$ s ${displaystyle p_ {X} (x) = 1}$ se nazývá jádro, soubor pevné bodynebo základní minimum ${displaystyle e (X)}$. Li ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots}$, je sekvence i.i.d. náhodné kompaktní sady, pak téměř jistě

${displaystyle igcap _ {i = 1} ^ {infty} X_ {i} = e (X)}$

a ${displaystyle igcap _ {i = 1} ^ {infty} X_ {i}}$ téměř jistě konverguje k ${displaystyle e (X).}$

Reference

• Matheron, G. (1975) Náhodné sady a integrální geometrie. J. Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) Teorie náhodných množin. Springer, New York.
• Stoyan D. a H. Stoyan (1994) Fraktály, náhodné tvary a bodová pole. John Wiley & Sons, Chichester, New York.