Pravděpodobnostní axiomy - Probability axioms
Část série na statistika |
Teorie pravděpodobnosti |
---|
![]() |
The Kolmogorovovy axiomy jsou základy teorie pravděpodobnosti představil Andrey Kolmogorov v roce 1933.[1] Tyto axiomy zůstávají ústřední a mají přímý přínos pro matematiku, fyzikální vědy a reálné případy pravděpodobnosti.[2] Někteří zvýhodňují alternativní přístup k formování pravděpodobnosti Bayesians, darováno Coxova věta.[3]
Axiomy
Předpoklady týkající se nastavení axiomů lze shrnout takto: Nechť (Ω,F, P) být a změřte prostor s být pravděpodobnost některých událost E, a = 1. Potom (Ω,F, P) je pravděpodobnostní prostor, s ukázkovým prostorem Ω, prostorem událostí F a míra pravděpodobnostiP.[1]
První axiom
Pravděpodobnost události je nezáporné reálné číslo:
kde je prostor události. Z toho vyplývá, že je vždy konečný, na rozdíl od obecnějších teorie míry. Teorie, které přiřazují negativní pravděpodobnost uvolněte první axiom.
Druhý axiom
To je předpoklad měrná jednotka: že pravděpodobnost, že alespoň jeden z základní události v celém vzorovém prostoru bude 1
Třetí axiom
To je předpoklad σ-aditivita:
- Žádný počitatelný posloupnost disjunktní sady (synonymem pro vzájemně se vylučující Události) splňuje
Někteří autoři uvažují pouze konečně aditivní pravděpodobnostní prostory, v takovém případě stačí algebra množin, spíše než a σ-algebra.[4] Kvaziprobability rozdělení obecně uvolněte třetí axiom.
Důsledky
Z Kolmogorov axiomy, lze odvodit další užitečná pravidla pro studium pravděpodobností. Důkazy[5][6][7] těchto pravidel je velmi bystrý postup, který ilustruje sílu třetího axiomu a jeho interakce se zbývajícími dvěma axiomy. Níže jsou zobrazeny čtyři okamžité důsledky a jejich důkazy:
Monotónnost
Pokud A je podmnožinou nebo rovnou B, pak je pravděpodobnost A menší než nebo rovna pravděpodobnosti B.
Důkaz monotónnosti[5]
Za účelem ověření vlastnosti monotónnosti jsme nastavili a , kde a pro . Je snadné vidět, že sady jsou párově disjunktní a . Z toho tedy získáme třetí axiom
Protože podle prvního axiomu je levá strana této rovnice řadou nezáporných čísel a protože konverguje k což je konečné, dostaneme obojí a .
Pravděpodobnost prázdné množiny
V některých případech, není jediná událost s pravděpodobností 0.
Důkaz pravděpodobnosti prázdné sady
Jak ukazuje předchozí důkaz, . Toto tvrzení je však vnímáno rozporem: pokud pak levá strana není menší než nekonečno;
Li pak získáme rozpor, protože součet nepřesahuje což je konečné. Tím pádem, . Ukázali jsme to jako vedlejší produkt důkazu monotónnosti .
Pravidlo doplňku
Důkaz pravidla doplňku
Dáno a se vzájemně vylučují a to :
... (podle axiomu 3)
a, ... (podle axiomu 2)
Číselná vazba
Z vlastnosti monotónnosti to okamžitě vyplývá
Důkaz numerické vazby
Vzhledem k pravidlu doplňku a axiom 1 :
Další důsledky
Další důležitou vlastností je:
Říká se tomu zákon sčítání pravděpodobnosti nebo pravidlo součtu A nebo B stane se součet pravděpodobností, že A se stane a to B se stane, minus pravděpodobnost, že obojí A a B stane se. Důkaz je následující:
Za prvé,
- ... (podle Axiom 3)
Tak,
- (podle ).
Taky,
a eliminovat z obou rovnic nám dává požadovaný výsledek.
Rozšíření zákona o přidání na libovolný počet sad je zásada začlenění - vyloučení.
Nastavení B k doplňku AC z A v dodatku zákon dává
To je pravděpodobnost, že každá událost bude ne se stane (nebo událost doplněk ) je 1 minus pravděpodobnost, že bude.
Jednoduchý příklad: losování mincí
Zvažte jedno losování mincí a předpokládejte, že mince buď přistane hlavou (H) nebo ocasu (T) (ale ne oběma). Neexistuje žádný předpoklad, zda je mince spravedlivá.
Můžeme definovat:
Kolmogorovovy axiomy naznačují, že:
Pravděpodobnost ani hlavy ani ocasy, je 0.
Pravděpodobnost buď hlavy nebo ocasy, je 1.
Součet pravděpodobnosti hlav a pravděpodobnosti ocasů je 1.
Viz také
- Borel algebra
- σ-algebra
- Teorie množin
- Podmíněná pravděpodobnost
- Kvazi pravděpodobnost
- Plně pravděpodobnostní design
Reference
- ^ A b Kolmogorov, Andrey (1950) [1933]. Základy teorie pravděpodobnosti. New York, USA: Chelsea Publishing Company.
- ^ Aldous, David. „Jaký význam mají Kolmogorovovy axiomy?“. David Aldous. Citováno 19. listopadu 2019.
- ^ Terenin Alexander; David Draper (2015). „Coxova věta a Jaynesova interpretace pravděpodobnosti“. arXiv:1507.06597. Bibcode:2015arXiv150706597T. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Hájek, Alan (28. srpna 2019). „Výklady pravděpodobnosti“. Stanfordská encyklopedie filozofie. Citováno 17. listopadu 2019.
- ^ A b Ross, Sheldon M. (2014). První kurz pravděpodobnosti (Deváté vydání.). Upper Saddle River, New Jersey. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384.
- ^ Gerard, David (9. prosince 2017). „Důkazy z axiomů“ (PDF). Citováno 20. listopadu 2019.
- ^ Jackson, Bill (2010). „Pravděpodobnost (poznámky k přednášce - 3. týden)“ (PDF). School of Mathematics, Queen Mary University of London. Citováno 20. listopadu 2019.
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Další čtení
- DeGroot, Morris H. (1975). Pravděpodobnost a statistika. Čtení: Addison-Wesley. str.12–16. ISBN 0-201-01503-X.
- McCord, James R .; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatická pravděpodobnost". Úvod do teorie pravděpodobnosti. New York: Macmillan. str.13–28.
- Formální definice pravděpodobnosti v Systém Mizar a seznam vět formálně o tom dokázal.