Lineární algebra - Linear algebra

V trojrozměrném Euklidovský prostor, tyto tři roviny představují řešení lineárních rovnic a jejich průsečík představuje soubor běžných řešení: v tomto případě jedinečný bod. Modrá čára je společným řešením dvou z těchto rovnic.

Lineární algebra je pobočkou matematika vztahující se k lineární rovnice jako:

${displaystyle a_ {1} x_ {1} + cdots + a_ {n} x_ {n} = b,}$

lineární mapy jako:

${displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto a_ {1} x_ {1} + ldots + a_ {n} x_ {n},}$

a jejich zastoupení v vektorové prostory a skrz matice.^[1][2][3]

Lineární algebra je ústřední tématem téměř ve všech oblastech matematiky. Například lineární algebra je základem moderních prezentací geometrie, včetně definování základních objektů, jako je řádky, letadla a rotace. Taky, funkční analýza, odvětví matematické analýzy, lze považovat v zásadě za použití lineární algebry na prostory funkcí.

Lineární algebra se také používá ve většině věd a oborů inženýrství, protože to umožňuje modelování mnoho přírodních jevů a efektivní výpočet s takovými modely. Pro nelineární systémy, které nelze modelovat pomocí lineární algebry, často se s nimi pracuje aproximace prvního řádu, s využitím skutečnosti, že rozdíl a vícerozměrná funkce v bodě je lineární mapa, která nejlépe aproximuje funkci poblíž tohoto bodu.

Dějiny

Nyní se nazývá postup řešení simultánních lineárních rovnic Gaussova eliminace se objevuje ve starověkém čínském matematickém textu Osmá kapitola: Obdélníková pole z Devět kapitol o matematickém umění. Jeho použití je znázorněno na osmnácti úlohách se dvěma až pěti rovnicemi.^[4]

Soustavy lineárních rovnic vznikly v Evropě zavedením v roce 1637 René Descartes z souřadnice v geometrie. Ve skutečnosti v této nové geometrii, která se nyní nazývá Kartézská geometrie, čáry a roviny jsou reprezentovány lineárními rovnicemi a výpočet jejich průsečíků se rovná řešení systémů lineárních rovnic.

Použité první systematické metody řešení lineárních systémů determinanty, nejprve zvážil Leibniz v roce 1693. V roce 1750 Gabriel Cramer použil je k poskytnutí explicitních řešení lineárních systémů, nyní nazývaných Cramerovo pravidlo. Později, Gauss dále popsal způsob eliminace, který byl původně uveden jako pokrok v geodézie.^[5]

V roce 1844 Hermann Grassmann publikoval svoji „Teorii rozšíření“, která obsahovala nová základní témata toho, čemu se dnes říká lineární algebra. V roce 1848 James Joseph Sylvester představil termín matice, což je latinka pro lůno.

Lineární algebra rostla s myšlenkami zaznamenanými v složité letadlo. Například dvě čísla w a z v ℂ mít rozdíl w – za úsečky ${displaystyle {overline {wz}}}$ a ${displaystyle {overline {0 (w-z)}}}$ jsou stejné délky a směru. Segmenty jsou ekvivalentní. Čtyřrozměrný systém ℍ čtveřice byla zahájena v roce 1843. Termín vektor byl představen jako proti = X i + y j + z k představující bod v prostoru. Rozdíl čtveřice p – q také vyrábí segmentový zařízení pro ${displaystyle {overline {pq}}.}$ jiný číslo hyperkomplexu systémy také používaly myšlenku lineárního prostoru s a základ.

Arthur Cayley představen násobení matic a inverzní matice v roce 1856, umožňující obecná lineární skupina. Mechanismus skupinové zastoupení byly k dispozici pro popis komplexních a hyperkomplexních čísel. Klíčové je, že Cayley použil jediné písmeno k označení matice, a tak zacházel s maticí jako s agregovaným objektem. Uvědomil si také souvislost mezi maticemi a determinanty a napsal: „K této teorii matic by bylo možné říci mnoho věcí, které by, zdá se mi, měly předcházet teorii determinantů“.^[5]

Benjamin Peirce zveřejnil svůj Lineární asociativní algebra (1872) a jeho syn Charles Sanders Peirce později práci rozšířil.^[6]

The telegrafovat vyžadoval vysvětlující systém a vydání z roku 1873 Pojednání o elektřině a magnetismu zavedl a teorie pole sil a požadováno diferenciální geometrie pro vyjádření. Lineární algebra je plochá diferenciální geometrie a slouží v tečných prostorech k rozdělovače. Elektromagnetické symetrie časoprostoru jsou vyjádřeny pomocí Lorentzovy transformace, a hodně z historie lineární algebry je historie Lorentzových transformací.

První moderní a přesnější definici vektorového prostoru představil Peano v roce 1888;^[5] do roku 1900 se objevila teorie lineárních transformací konečných trojrozměrných vektorových prostorů. Lineární algebra získala svou moderní podobu v první polovině dvacátého století, kdy bylo mnoho myšlenek a metod předchozích století zobecněno jako abstraktní algebra. Vývoj počítačů vedl ke zvýšení efektivního výzkumu algoritmy pro Gaussovu eliminaci a maticové rozklady a lineární algebra se stala základním nástrojem pro modelování a simulace.^[5]

Viz také Rozhodující § Historie a Gaussova eliminace § Historie.

Vektorové prostory

Až do 19. století byla zavedena lineární algebra soustavy lineárních rovnic a matice. V moderní matematice prezentace prostřednictvím vektorové prostory je obecně upřednostňováno, protože je syntetičtější, obecnější (neomezuje se na konečný rozměr) a koncepčně jednodušší, i když abstraktnější.

Vektorový prostor nad a pole F (často pole reálná čísla ) je soubor PROTI vybaveno dvěma binární operace splňující následující axiomy. Elementy z PROTI jsou nazývány vektorya prvky F jsou nazývány skaláry. První operace, vektorové přidání, bere libovolné dva vektory proti a w a vydá třetí vektor proti + w. Druhá operace, skalární násobení, bere jakýkoli skalární A a jakýkoli vektor proti a vydává nový vektor av. Axiomy, které musí sčítání a skalární násobení splňovat, jsou následující. (V seznamu níže u, proti a w jsou libovolné prvky PROTI, a A a b jsou libovolné skaláry v poli F.)^[7]

První čtyři axiomy to znamenají PROTI je abelianská skupina pod přidáním.

Prvek konkrétního vektorového prostoru může mít různou povahu; může to být například a sekvence, a funkce, a polynomiální nebo a matice. Lineární algebra se zabývá vlastnostmi takových objektů, které jsou společné pro všechny vektorové prostory.

Lineární mapy

Lineární mapy jsou mapování mezi vektorovými prostory, které zachovávají strukturu vektorového prostoru. Vzhledem k tomu, dva vektorové prostory PROTI a Ž přes pole F, lineární mapa (nazývaná také v některých kontextech lineární transformace nebo lineární mapování) je a mapa

${displaystyle T: V o W}$

který je kompatibilní s sčítáním a skalárním násobením

${displaystyle T (u + v) = T (u) + T (v), čtyřkolka T (av) = aT (v)}$

pro všechny vektory u,proti v PROTI a skalární A v F.

To znamená, že pro všechny vektory u, proti v PROTI a skaláry A, b v F, jeden má

${displaystyle T (au + bv) = T (au) + T (bv) = aT (u) + bT (v)}$

Když PROTI = Ž jsou stejný vektorový prostor, lineární mapa ${displaystyle T: V o V}$ je také známý jako lineární operátor na PROTI.

A bijektivní lineární mapa mezi dvěma vektorovými prostory (tj. každý vektor z druhého prostoru je spojen s přesně jedním v prvním) je izomorfismus. Protože izomorfismus zachovává lineární strukturu, jsou dva izomorfní vektorové prostory z hlediska lineární algebry „v podstatě stejné“ v tom smyslu, že je nelze odlišit pomocí vlastností vektorového prostoru. Základní otázkou v lineární algebře je testování, zda je lineární mapa izomorfismem či nikoli, a pokud se nejedná o izomorfismus, nalezení jeho rozsah (nebo obrázek) a sada prvků, které jsou mapovány na nulový vektor, nazývaný jádro mapy. Všechny tyto otázky lze vyřešit pomocí Gaussova eliminace nebo nějaká jeho varianta algoritmus.

Meziprostory, rozpětí a základ

Studium těchto podmnožin vektorových prostorů, které jsou samy o sobě vektorovými prostory v rámci indukovaných operací, je zásadní, podobně jako u mnoha matematických struktur. Tyto podmnožiny se nazývají lineární podprostory. Přesněji řečeno, lineární podprostor vektorového prostoru PROTI přes pole F je podmnožina Ž z PROTI takhle u + proti a au jsou v Ž, pro každého u, proti v Ža všechny A v F. (Tyto podmínky jsou dostatečné k tomu, aby to naznačovaly Ž je vektorový prostor.)

Například vzhledem k lineární mapě ${displaystyle T: V o W}$, obraz TELEVIZE) z PROTIa inverzní obraz ${displaystyle T ^ {- 1} (0)}$ 0 (volané jádro nebo prázdný prostor ), jsou lineární podprostory Ž a PROTI, resp.

Dalším důležitým způsobem, jak vytvořit podprostor, je zvážit lineární kombinace sady S vektorů: množina všech součtů

${displaystyle a_ {1} v_ {1} + a_ {2} v_ {2} + cdots + a_ {k} v_ {k},}$

kde proti₁, proti₂, ..., proti_k jsou v S, a A₁, A₂, ..., A_k jsou v F tvoří lineární podprostor zvaný rozpětí z S. Rozpětí S je také průsečík všech lineárních podprostorů obsahujících S. Jinými slovy je to (nejmenší pro relaci začlenění) lineární podprostor obsahující S.

Sada vektorů je lineárně nezávislé pokud žádný není v rozpětí ostatních. Ekvivalentně sada S vektorů je lineárně nezávislý, pokud je jediný způsob, jak vyjádřit nulový vektor jako lineární kombinaci prvků S je vzít nulu pro každý koeficient ${displaystyle a_ {i}.}$

Sada vektorů, která se rozprostírá ve vektorovém prostoru, se nazývá a překlenovací sada nebo generující sada. Pokud je překlenovací sada S je lineárně závislé (to není lineárně nezávislé), pak nějaký prvek w z S je v rozpětí ostatních prvků Sa rozpětí by zůstalo stejné, pokud by se jedna odstranila w z S. Jeden může pokračovat v odstraňování prvků z S dokud nedostanete lineárně nezávislá překlenovací sada. Taková lineárně nezávislá množina, která překlenuje vektorový prostor PROTI se nazývá a základ z PROTI. Význam bází spočívá ve skutečnosti, že existují společně minimální generující množiny a maximální nezávislé množiny. Přesněji řečeno, pokud S je lineárně nezávislá množina a T je překlenovací množina taková ${displaystyle Ssubseteq T,}$ pak existuje základ B takhle ${displaystyle Ssubseteq Bsubseteq T.}$

Libovolné dvě báze vektorového prostoru PROTI mít stejné mohutnost, kterému se říká dimenze z PROTI; to je věta o dimenzi pro vektorové prostory. Navíc dva vektorové prostory nad stejným polem F jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi.^[8]

Pokud existuje základ PROTI (a tedy každý základ) má konečný počet prvků, PROTI je konečný trojrozměrný vektorový prostor. Li U je podprostor o PROTI, pak ztlumit U ≤ dim PROTI. V případě, že PROTI je konečně-dimenzionální, znamená rovnost dimenzí U = PROTI.

Li U₁ a U₂ jsou podprostory PROTI, pak

${displaystyle dim (U_ {1} + U_ {2}) = dim U_ {1} + dim U_ {2} -dim (U_ {1} cap U_ {2}),}$

kde ${displaystyle U_ {1} + U_ {2}}$ označuje rozpětí ${displaystyle U_ {1} šálek U_ {2}.}$^[9]

Matice

Matice umožňují explicitní manipulaci s konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory a lineární mapy. Jejich teorie je tedy podstatnou součástí lineární algebry.

Nechat PROTI být konečným trojrozměrným vektorovým prostorem nad polem F, a (proti₁, proti₂, ..., proti_m) být základem PROTI (tím pádem m je rozměr PROTI). Podle definice základu, mapa

${displaystyle {egin {aligned} (a_ {1}, ldots, a_ {m}) & mapsto a_ {1} v_ {1} + cdots a_ {m} v_ {m} F ^ {m} & o Vend {aligned }}}$

je bijekce z ${displaystyle F ^ {m},}$ soubor sekvence z m prvky F, na PROTI. Tohle je izomorfismus vektorových prostorů, pokud ${displaystyle F ^ {m}}$ je vybaven standardní strukturou vektorového prostoru, kde se sčítání vektorů a skalární násobení provádí po komponentách.

Tento izomorfismus umožňuje reprezentovat vektor podle jeho inverzní obraz pod tímto izomorfismem, tj vektor souřadnic ${displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {m})}$ nebo sloupcová matice

${displaystyle {egin {bmatrix} a_ {1} vdots a_ {m} konec {bmatrix}}.}$

Li Ž je další konečný dimenzionální vektorový prostor (možná stejný), se základnou ${displaystyle (w_ {1}, ldots, w_ {n}),}$ lineární mapa F z Ž na PROTI je dobře definován svými hodnotami na základních prvcích, to znamená ${displaystyle (f (w_ {1}), ldots, f (w_ {n})).}$ Tím pádem, F je dobře reprezentován seznamem odpovídajících matic sloupců. To je, pokud

${displaystyle f (w_ {j}) = a_ {1, j} v_ {1} + cdots + a_ {m, j} v_ {m},}$

pro j = 1, ..., n, pak F je reprezentován maticí

${displaystyle {egin {bmatrix} a_ {1,1} & ldots & a_ {1, n} vdots & ldots & vdots a_ {m, 1} & ldots & a_ {m, n} end {bmatrix}},}$

s m řádky a n sloupce.

Násobení matic je definován takovým způsobem, že součin dvou matic je maticí složení odpovídajících lineárních map a produktem matice a sloupcové matice je sloupcová matice představující výsledek aplikace představované lineární mapy na znázorněný vektor. Z toho vyplývá, že teorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů a teorie matic jsou dva různé jazyky pro vyjádření přesně stejných konceptů.

Dvě matice, které kódují stejnou lineární transformaci v různých bázích, se nazývají podobný. Lze dokázat, že dvě matice jsou si podobné právě tehdy, když jedna dokáže transformovat jednu v druhou pomocí základní operace s řádky a sloupci. Pro matici představující lineární mapu z Ž na PROTI, řádkové operace odpovídají změně základen v PROTI a operace sloupců odpovídají změně základen v Ž. Každá matice je podobná jako matice identity případně ohraničeno nulovými řádky a nulovými sloupci. Z hlediska vektorových prostorů to znamená, že pro jakoukoli lineární mapu z Ž na PROTI, existují základy takové, že část základu Ž je mapován bijektivně na části základu PROTI, a že zbývající základní prvky Ž, pokud existují, jsou mapovány na nulu. Gaussova eliminace je základní algoritmus pro nalezení těchto základních operací a prokázání těchto výsledků.

Lineární systémy

Konečná sada lineárních rovnic v konečné sadě proměnných, například ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}}$ nebo ${displaystyle x, y, ..., z}$ se nazývá a soustava lineárních rovnic nebo a lineární systém.^{[10][11][12][13][14]}

Systémy lineárních rovnic tvoří základní část lineární algebry. Historicky byla pro řešení těchto systémů vyvinuta lineární algebra a teorie matic. V moderní prezentaci lineární algebry prostřednictvím vektorových prostorů a matic lze mnoho problémů interpretovat z hlediska lineárních systémů.

Například pojďme

${displaystyle {egin {alignedat} {7} 2x &&; +; && y &&; -; && z &&; =; && 8 -3x &&; -; && y &&; +; && 2z &&; =; && - 11 -2x &&; +; && y &&; +; && 2z &&; =; && - 3end {alignedat}} qquad}$

(S)

být lineární systém.

K takovému systému lze přiřadit jeho matici

${displaystyle M = left [{egin {array} {rrr} 2 & 1 & -1 -3 & -1 & 2 -2 & 1 & 2end {array}} ight] {ext {.}}}$

a jeho pravý členský vektor

${displaystyle v = {egin {bmatrix} 8 -11 -3end {bmatrix}}.}$

Nechat T být lineární transformace spojená s maticí M. Řešení systému (S) je vektor

${displaystyle X = {egin {bmatrix} x y zend {bmatrix}}}$

takhle

${displaystyle T (X) = v,}$

to je prvek preimage z proti podle T.

Nechť (S ') být přidružený homogenní systém, kde jsou pravé strany rovnic vynulovány:

${displaystyle {egin {alignedat} {7} 2x &&; +; && y &&; -; && z &&; =; && 0 -3x &&; -; && y &&; +; && 2z &&; =; && 0 -2x &&; +; && y &&; +; && 2z &&; =; && 0end {alignedat}} qquad}$

(S ')

Řešení (S ') jsou přesně prvky jádro z T nebo ekvivalentně M.

The Gaussova eliminace spočívá v provedení základní řádkové operace na rozšířená matice

${displaystyle Mleft [{egin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 8 -3 & -1 & 2 & -11 -2 & 1 & 2 & -3end {array}} ight]}$

za vložení snížená řada echelon forma. Tyto řádkové operace nemění množinu řešení soustavy rovnic. V příkladu je forma se sníženým sledem

${displaystyle Mleft [{egin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & -1end {array}} ight],}$

ukazuje, že systém (S) má jedinečné řešení

${displaystyle {egin {aligned} x & = 2 y & = 3 z & = - 1.end {aligned}}}$

Z této maticové interpretace lineárních systémů vyplývá, že stejné metody lze použít pro řešení lineárních systémů a pro mnoho operací s maticemi a lineárními transformacemi, které zahrnují výpočet hodnosti, jádra, inverze matice.

Endomorfismy a čtvercové matice

Lineární endomorfismus je lineární mapa, která mapuje vektorový prostor PROTI pro sebe. Li PROTI má základ n prvků, takový endomorfismus je reprezentován čtvercovou maticí velikosti n.

Pokud jde o obecné lineární mapy, lineární endomorfismy a čtvercové matice mají některé specifické vlastnosti, díky nimž je jejich studium důležitou součástí lineární algebry, která se používá v mnoha částech matematiky, včetně geometrické transformace, změny souřadnic, kvadratické formy a mnoho dalších částí matematiky.

Rozhodující

The určující čtvercové matice A je definován jako

${displaystyle sum _ {sigma in S_ {n}} (- 1) ^ {sigma} a_ {1sigma (1)} cdots a_ {nsigma (n)},}$

kde ${displaystyle S_ {n}}$ je skupina všech permutací z n elementy,${displaystyle sigma}$ je obměna a ${displaystyle (-1) ^ {sigma}}$ the parita matice je invertibilní právě tehdy, když je determinant invertibilní (tj. nenulový, pokud skaláry patří do pole).

Cramerovo pravidlo je uzavřený výraz, pokud jde o determinanty, řešení a systém n lineární rovnice v n neznámé. Cramerovo pravidlo je užitečné pro úvahy o řešení, ale až na n = 2 nebo 3, je zřídka používán pro výpočet řešení, protože Gaussova eliminace je rychlejší algoritmus.

The determinant endomorfismu je determinant matice představující endomorfismus, pokud jde o nějaký uspořádaný základ. Tato definice má smysl, protože tento determinant je nezávislý na volbě základny.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Li F je lineární endomorfismus vektorového prostoru PROTI přes pole F, an vlastní vektor z F je nenulový vektor proti z PROTI takhle F(proti) = av pro některé skalární A v F. Tento skalární A je vlastní číslo z F.

Pokud je rozměr PROTI je konečný a byl vybrán základ, F a proti mohou být reprezentovány čtvercovou maticí M a sloupcová matice z; stane se rovnice definující vlastní vektory a vlastní hodnoty

${displaystyle Mz = az.}$

Za použití matice identity Já, jehož položky jsou všechny nulové, s výjimkou těch, které jsou na hlavní úhlopříčce, které se rovnají jedné, toto může být přepsáno

${displaystyle (M-aI) z = 0.}$

Tak jako z má být nenulová, to znamená, že M – aI je singulární matice, a tedy jeho determinant ${displaystyle det (M-aI)}$ se rovná nule. Vlastní čísla jsou tedy kořeny z polynomiální

${displaystyle det (xI-M).}$

Li PROTI má rozměr n, to je monický polynom stupně n, nazvaný charakteristický polynom matice (nebo endomorfismu) a existuje nanejvýš n vlastní čísla.

Pokud existuje základ, který se skládá pouze z vlastních vektorů, matice z F na tomto základě má velmi jednoduchou strukturu: je to diagonální matice takové, že položky na hlavní úhlopříčka jsou vlastní čísla a ostatní položky jsou nulové. V tomto případě se říká, že endomorfismus a matice jsou úhlopříčně. Obecněji se o endomorfismu a matici také říká, že je diagonalizovatelná, pokud se po ní stane diagonalizovatelnou prodlužování pole skalárů. V tomto rozšířeném smyslu, pokud je charakteristický polynom bez čtverce, pak je matice diagonalizovatelná.

A symetrická matice je vždy diagonalizovatelný. Nejjednodušší jsou nediagnostikovatelné matice

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 a 1 0 a 0end {bmatrix}}}$

(nemůže být diagonalizovatelný, protože jeho čtverec je nulová matice a čtverec nenulové diagonální matice není nikdy nula).

Když endomorfismus není diagonalizovatelný, existují základy, na nichž má jednoduchý tvar, i když ne tak jednoduchý jako diagonální forma. The Frobeniova normální forma nepotřebuje rozšiřovat pole skalárů a zajišťuje, aby byl charakteristický polynom okamžitě čitelný na matici. The Jordan normální forma vyžaduje rozšířit pole skaláru, aby obsahovalo všechny vlastní hodnoty, a liší se od diagonální formy pouze některými položkami, které jsou těsně nad hlavní úhlopříčkou a jsou rovny 1.

Dualita

A lineární forma je lineární mapa z vektorového prostoru PROTI přes pole F do pole skalárů F, viděný jako vektorový prostor nad sebou. Vybaveno bodově sčítání a násobení skalárem, lineární formy tvoří vektorový prostor, který se nazývá dvojí prostor z PROTIa obvykle označeny ${displaystyle V ^ {*}.}$

Li ${displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ je základem PROTI (z toho vyplývá, že PROTI je konečně-dimenzionální), pak lze definovat, pro i = 1, ..., n, lineární mapa ${displaystyle v_ {i} ^ {*}}$ takhle ${displaystyle v_ {i} ^ {*} (e_ {i}) = 1}$ a ${displaystyle v_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0}$ -li j ≠ i. Tyto lineární mapy tvoří základ ${displaystyle V ^ {*},}$ volal dvojí základ z ${displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}.}$ (Li PROTI není konečně-dimenzionální, ${displaystyle v_ {i} ^ {*}}$ mohou být definovány podobně; jsou lineárně nezávislé, ale netvoří základ.)

Pro proti v PROTI, mapa

${displaystyle f o f (v)}$

je lineární forma na ${displaystyle V ^ {*}.}$ To definuje kanonická lineární mapa z PROTI do ${displaystyle V ^ {**},}$ dvojí ${displaystyle V ^ {*},}$ volal dvojitý z PROTI. Tato kanonická mapa je izomorfismus -li PROTI je konečně-dimenzionální, a to umožňuje identifikaci PROTI s jeho bidualem. (V nekonečném dimenzionálním případě je kanonická mapa injektivní, ale nikoli surjektivní.)

Existuje tedy úplná symetrie mezi konečným trojrozměrným vektorovým prostorem a jeho duálním. To v této souvislosti motivuje k častému používání braketová notace

${displaystyle langle f, xangle}$

pro označení F (X).

Duální mapa

Nechat

${displaystyle f: V o W}$

být lineární mapa. Pro každou lineární formu h na Ž, složená funkce h ∘ F je lineární forma na PROTI. To definuje lineární mapu

${displaystyle f ^ {*}: W ^ {*} o V ^ {*}}$

mezi dvojitými mezerami, kterému se říká dvojí nebo přemístit z F.

Li PROTI a Ž jsou konečné dimenzionální a M je matice F z hlediska některých uspořádaných bází, pak matice ${displaystyle f ^ {*}}$ přes duální základny je přemístit ${displaystyle M ^ {mathsf {T}}}$ z M, získané výměnou řádků a sloupců.

Pokud jsou prvky vektorových prostorů a jejich duály reprezentovány vektory sloupců, může být tato dualita vyjádřena v braketová notace podle

${displaystyle langle h ^ {mathsf {T}}, Mvangle = langle h ^ {mathsf {T}} M, vangle.}$

Pro zvýraznění této symetrie jsou někdy zapsáni dva členové této rovnosti

${displaystyle langle h ^ {mathsf {T}} mid Mmid vangle.}$

Vnitřní produktové prostory

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Potřeba encyklopedičtějšího stylu, který je homogenní se stylem předchozích částí. Některé podrobnosti také nepatří do tohoto obecného článku, ale do více specializovaných. Také by se vnitřní produktové prostory měly jevit jako speciální instance obecnějšího konceptu bilineární forma. Nakonec by se komplexní konjugace měla objevit v určité části lineární algebry nad komplexy. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (Srpna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kromě těchto základních konceptů studuje lineární algebra také vektorové prostory s další strukturou, jako je například vnitřní produkt. Vnitřní produkt je příkladem a bilineární forma a dává vektorovému prostoru geometrickou strukturu tím, že umožňuje definici délky a úhlů. Formálně, an vnitřní produkt je mapa

${displaystyle langle cdot, cdot angle: V imes Vightarrow F}$

který splňuje následující tři axiomy pro všechny vektory u, proti, w v PROTI a všechny skaláry A v F:^[15][16]

• Sdružené symetrie:

${displaystyle langle u, vangle = {overline {langle v, uangle}}.}$

v R, je symetrický.

• Linearita v prvním argumentu:

${displaystyle langle au, vangle = alangle u, vangle.}$

${displaystyle langle u + v, wangle = langle u, wangle + langle v, wangle.}$

• Pozitivní definitivita:

${displaystyle langle v, vangle geq 0}$ s rovností pouze pro proti = 0.

Můžeme definovat délku vektoru proti v PROTI podle

${displaystyle | v | ^ {2} = langle v, vangle,}$

a můžeme dokázat Cauchy – Schwarzova nerovnost:

${displaystyle | langle u, vangle | leq | u | cdot | v |.}$

Zejména množství

${displaystyle {frac {| langle u, vangle |} {| u | cdot | v |}} leq 1,}$

a tak můžeme tuto veličinu nazvat kosinem úhlu mezi dvěma vektory.

Dva vektory jsou ortogonální, pokud ${displaystyle langle u, vangle = 0}$. Ortonormální základ je základ, kde všechny základní vektory mají délku 1 a jsou navzájem kolmé. Vzhledem k tomu, že existuje konečný trojrozměrný vektorový prostor, ortonormální základ lze nalézt pomocí Gram – Schmidt postup. S ortonormálními základnami je obzvláště snadné se vypořádat, protože pokud proti = A₁ proti₁ + ... + A_n proti_n, pak ${displaystyle a_ {i} = jazyk v, v_ {i} úhel}$.

Vnitřní produkt usnadňuje konstrukci mnoha užitečných konceptů. Například vzhledem k transformaci T, můžeme definovat jeho Hermitianský konjugát T * jako uspokojivá lineární transformace

${displaystyle langle Tu, vangle = langle u, T ^ {*} vangle.}$

Li T splňuje TT * = T * T, voláme T normální. Ukazuje se, že normální matice jsou přesně ty matice, které mají ortonormální systém vlastních vektorů, které se rozprostírají PROTI.

Vztah k geometrii

Mezi lineární algebrou a je silný vztah geometrie, který začal zavedením René Descartes, v roce 1637, z Kartézské souřadnice. V této nové (v té době) geometrii, nyní nazývané Kartézská geometrie, body jsou reprezentovány Kartézské souřadnice, což jsou sekvence tří reálných čísel (v případě obvyklých trojrozměrný prostor ). Základní objekty geometrie, které jsou řádky a letadla jsou reprezentovány lineárními rovnicemi. Výpočet průsečíků přímek a rovin tedy znamená řešení systémů lineárních rovnic. To byla jedna z hlavních motivací pro vývoj lineární algebry.

Většina geometrická transformace, jako překlady, rotace, odrazy, tuhé pohyby, izometrie, a projekce transformovat řádky na řádky. Z toho vyplývá, že je lze definovat, specifikovat a studovat pomocí lineárních map. To je také případ homografie a Möbiovy transformace, jsou-li považovány za transformace a projektivní prostor.

Až do konce 19. století byly geometrické prostory definovány symbolem axiomy související body, čáry a roviny (syntetická geometrie ). Kolem tohoto data se zdálo, že lze také definovat geometrické prostory konstrukcemi zahrnujícími vektorové prostory (viz například Projektivní prostor a Afinní prostor ). Ukázalo se, že tyto dva přístupy jsou v zásadě rovnocenné.^[17] V klasické geometrii jsou zapojené vektorové prostory vektorovými prostory nad reálemi, ale konstrukce mohou být rozšířeny na vektorové prostory nad jakýmkoli polem, což umožňuje uvažovat o geometrii nad libovolnými poli, včetně konečná pole.

V současné době většina učebnic zavádí geometrické prostory z lineární algebry a geometrie je často prezentována na základní úrovni jako podpole lineární algebry.

Použití a aplikace

Lineární algebra se používá téměř ve všech oblastech matematiky, takže je relevantní téměř ve všech vědeckých oblastech, které používají matematiku. Tyto aplikace lze rozdělit do několika širokých kategorií.

Geometrie okolního prostoru

The modelování z okolní prostor je založeno na geometrie. Vědy zabývající se tímto prostorem široce používají geometrii. To je případ mechanika a robotika, za popis tuhá dynamika těla; geodézie za popis Tvar Země; perspektiva, počítačové vidění, a počítačová grafika, pro popis vztahu mezi scénou a její rovinnou reprezentací; a mnoho dalších vědeckých domén.

Ve všech těchto aplikacích syntetická geometrie je často používán pro obecné popisy a kvalitativní přístup, ale pro studium explicitních situací je třeba počítat s souřadnice. To vyžaduje intenzivní používání lineární algebry.

Funkční analýza

Funkční analýza studie funkční prostory. Jedná se o vektorové prostory s další strukturou, jako např Hilbertovy prostory. Lineární algebra je tedy základní součástí funkční analýzy a jejích aplikací, mezi které patří zejména kvantová mechanika (vlnové funkce ).

Studie složité systémy

Většina fyzikálních jevů je modelována pomocí parciální diferenciální rovnice. Při jejich řešení se obvykle rozkládá prostor, ve kterém se řešení hledají, na malé, vzájemně se ovlivňující buňky. Pro lineární systémy tato interakce zahrnuje lineární funkce. Pro nelineární systémy, tato interakce je často aproximována lineárními funkcemi.^[b] V obou případech se obvykle jedná o velmi velké matice. Předpověď počasí je typickým příkladem, kdy celá Země atmosféra je rozdělena na buňky, řekněme, 100 km šířky a 100 m výšky.

Vědecké výpočty

Téměř všechny vědecké výpočty zahrnovat lineární algebru. V důsledku toho byly algoritmy lineární algebry vysoce optimalizovány. BLAS a LAPACK jsou nejznámější implementace. Pro zvýšení efektivity někteří konfigurují algoritmy automaticky za běhu, aby je přizpůsobili specifikám počítače (mezipaměti velikost, počet dostupných jádra, ...).

Nějaký procesory, typicky jednotky grafického zpracování (GPU), jsou navrženy s maticovou strukturou pro optimalizaci operací lineární algebry.

Rozšíření a zobecnění

Tato část představuje několik souvisejících témat, která se obecně neobjevují v základních učebnicích lineární algebry, ale jsou v pokročilé matematice běžně považována za součást lineární algebry.

Teorie modulů

Existence multiplikativních inverzí v polích není zahrnuta do axiomů definujících vektorový prostor. Lze tedy nahradit pole skalárů a prsten R, a to dává strukturu s názvem modul přes Rnebo R-modul.

Pojmy lineární nezávislost, rozpětí, základ a lineární mapy (nazývané také homomorfismy modulu ) jsou definovány pro moduly přesně jako pro vektorové prostory, se zásadním rozdílem, že pokud R není pole, existují moduly, které nemají žádný základ. Moduly, které mají základ, jsou bezplatné moduly, a ty, které jsou překlenuty konečnou množinou, jsou konečně generované moduly. Homomorfismy modulů mezi konečně generovanými volnými moduly mohou být reprezentovány maticemi. Teorie matic nad prstencem je podobná teorii matic nad polem, kromě toho determinanty existují pouze v případě, že prsten je komutativní, a že čtvercová matice nad komutativním prstencem je invertibilní pouze pokud má jeho determinant a multiplikativní inverzní v ringu.

Vektorové prostory jsou zcela charakterizovány svou dimenzí (až do izomorfismu). Obecně pro moduly neexistuje taková úplná klasifikace, i když se člověk omezuje na konečně generované moduly. Každý modul je však a koksovna homomorfismu volných modulů.

Moduly přes celá čísla lze identifikovat pomocí abelianské skupiny, protože násobení celým číslem může být identifikováno k opakovanému sčítání. Většinu teorie abelianských skupin lze rozšířit na moduly nad a hlavní ideální doména. Zejména přes hlavní ideální doménu je každý submodul volného modulu zdarma a základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách lze rozšířit přímo na konečně generované moduly přes hlavní kruh.

Existuje mnoho kruhů, pro které existují algoritmy pro řešení lineárních rovnic a systémy lineárních rovnic. Tyto algoritmy však mají obecně a výpočetní složitost to je mnohem vyšší než podobné algoritmy nad polem. Další podrobnosti viz Lineární rovnice nad prstencem.

Multilineární algebra a tenzory

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: O duálním prostoru se uvažuje výše a část musí být přepsána, aby poskytla srozumitelné shrnutí tohoto tématu Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (Září 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v multilineární algebra, jeden zvažuje vícerozměrné lineární transformace, tj. mapování, které je lineární v každé z řady různých proměnných. Tato řada dotazů přirozeně vede k myšlence dvojí prostor, vektorový prostor PROTI^∗ skládající se z lineárních map F: PROTI → F kde F je pole skalárů. Multilineární mapy T: PROTIⁿ → F lze popsat pomocí tenzorové výrobky prvků PROTI^∗.

Pokud kromě vektorového sčítání a skalárního násobení existuje bilineární vektorový produkt PROTI × PROTI → PROTI, vektorový prostor se nazývá algebra; například asociativní algebry jsou algebry s asociatním vektorovým produktem (jako algebra čtvercových matic nebo algebra polynomů).

Topologické vektorové prostory

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2018)

Vektorové prostory, které nejsou konečné dimenzionální, často vyžadují další strukturu, aby byly snadno použitelné. A normovaný vektorový prostor je vektorový prostor spolu s funkcí zvanou a norma, která měří „velikost“ prvků. Norma indukuje a metrický, který měří vzdálenost mezi prvky a indukuje a topologie, což umožňuje definici spojitých map. Metrika také umožňuje definici limity a úplnost - metrický prostor, který je kompletní, se nazývá a Banachův prostor. Kompletní metrický prostor spolu s další strukturou vnitřní produkt (konjugovaný symetrický sesquilineární forma ) je znám jako a Hilbertův prostor, což je v jistém smyslu zvláště dobře vychovaný Banachův prostor. Funkční analýza aplikuje metody lineární algebry vedle metod z matematická analýza studovat různé funkční prostory; ústředními objekty studia ve funkční analýze jsou L^p mezery, což jsou Banachovy prostory, a zejména L² prostor čtvercových integrovatelných funkcí, což je jediný Hilbertův prostor mezi nimi. Funkční analýza má zvláštní význam pro kvantovou mechaniku, teorii parciálních diferenciálních rovnic, zpracování digitálního signálu a elektrotechniku. Poskytuje také základ a teoretický rámec, který je základem Fourierovy transformace a souvisejících metod.

Homologická algebra

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2018)

Viz také

• Lineární rovnice nad prstencem
• Základní matice v počítačové vidění
• Lineární regrese, metoda statistického odhadu
• Seznam témat lineární algebry
• Numerická lineární algebra
• Lineární programování
• Transformační matice

Poznámky

Reference

Zdroje

• Anton, Howard (1987), Elementární lineární algebra (5. vydání), New York: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Axler, Sheldone (26. února 2004), Lineární algebra Hotovo správně (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-98258-8
• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), První kurz v lineární algebře: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí, Boston: Společnost Houghton Mifflin, ISBN  0-395-14017-X
• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (1993), Numerická analýza (5. vydání), Boston: Prindle, Weber a Schmidt, ISBN  0-534-93219-3
• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Maticové výpočty„Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3. vydání), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Harper, Charlie (1976), Úvod do matematické fyziky, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9
• Roman, Steven (22. března 2005), Pokročilá lineární algebra, Postgraduální texty z matematiky (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-24766-3

Další čtení

Dějiny

• Fearnley-Sander, Desmond, “Hermann Grassmann a tvorba lineární algebry ", Americký matematický měsíčník 86 (1979), str. 809–817.
• Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Lipsko: O. Wigand

Úvodní učebnice

• Anton, Howard (2005), Elementární lineární algebra (verze aplikace) (9. vydání), Wiley International
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku„Texty ve statistické vědě (1. vyd.), Chapman and Hall / CRC, ISBN  978-1420095388
• Bretscher, Otto (2004), Lineární algebra s aplikacemi (3. vyd.), Prentice Hall, ISBN  978-0-13-145334-0
• Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Praktická lineární algebra: Sada nástrojů pro geometriiAK Peters, ISBN  978-1-56881-234-2
• Hefferone, Jime (2020). Lineární algebra (4. vydání). Ann Arbor, Michigan: Orthogonal Publishing. ISBN  978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. OL  30872051M.
• Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Základní lineární algebra s aplikacemi (9. vydání), Prentice Hall, ISBN  978-0-13-229654-0
• Lay, David C. (2005), Lineární algebra a její aplikace (3. vyd.), Addison Wesley, ISBN  978-0-321-28713-7
• Leon, Steven J. (2006), Lineární algebra s aplikacemi (7. vydání), Pearson Prentice Hall, ISBN  978-0-13-185785-8
• Murty, Katta G. (2014) Výpočetní a algoritmická lineární algebra a n-dimenzionální geometrie, World Scientific Publishing, ISBN  978-981-4366-62-5. Kapitola 1: Systémy simultánních lineárních rovnic
• Poole, David (2010), Lineární algebra: moderní úvod (3. vyd.), Cengage - Brooks / Cole, ISBN  978-0-538-73545-2
• Ricardo, Henry (2010), Moderní úvod do lineární algebry (1. vyd.), CRC Press, ISBN  978-1-4398-0040-9
• Sadun, Lorenzo (2008), Aplikovaná lineární algebra: princip oddělení (2. vyd.), AMS, ISBN  978-0-8218-4441-0
• Strang, Gilbert (2016), Úvod do lineární algebry (5. vydání), Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-09802327-7-6
• Manga Guide to Linear Algebra (2012), autor Shin Takahashi, Iroha Inoue a Trend-Pro Co., Ltd., ISBN  978-1-59327-413-9

Pokročilé učebnice

• Bhatia, Rajendra (15. listopadu 1996), Maticová analýza, Postgraduální texty z matematiky Springer, ISBN  978-0-387-94846-1
• Demmel, James W. (1. srpna 1997), Aplikovaná numerická lineární algebra, SIAM, ISBN  978-0-89871-389-3
• Dym, Harry (2007), Lineární algebra v akci, AMS, ISBN  978-0-8218-3813-6
• Gantmacher, Felix R. (2005), Aplikace teorie maticPublikace Dover, ISBN  978-0-486-44554-0
• Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2. vyd.), American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-1376-8
• Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-2664-5
• Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear AlgebraPublikace Dover, ISBN  978-0-486-66082-0
• Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear AnalysisPublikace Dover, ISBN  978-0-486-45332-3
• Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2. vyd.), Springer, ISBN  978-1-4020-5494-5
• Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN  0-7923-3614-3
• Greub, Werner H. (October 16, 1981), Lineární algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Lineární algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., PAN  0276251
• Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Konečně-dimenzionální vektorové prostory, Pregraduální texty z matematiky Springer, ISBN  978-0-387-90093-3
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Lineární algebra (5th ed.), Pearson, ISBN  978-0-13-486024-4
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-38632-6
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1
• Lang, Serge (March 9, 2004), Lineární algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN  978-0-387-96412-6
• Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix InequalitiesPublikace Dover, ISBN  978-0-486-67102-4
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, archivovány z originál 31. října 2009
• Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear AlgebraPublikace Dover, ISBN  978-0-486-66434-7
• Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN  978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Lineární algebraPublikace Dover, ISBN  978-0-486-63518-7
• Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN  978-0-387-33194-2
• Smith, Larry (May 28, 1998), Lineární algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN  978-0-387-98455-1
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerická lineární algebra, SIAM, ISBN  978-0-898-71361-9

Study guides and outlines

• Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN  978-0-8220-5331-6
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3. vyd.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-136200-9
• Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN  978-0-07-038023-3
• McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN  978-0-07-146579-3
• Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for StudentsJohns Hopkins University Press, ISBN  978-0-8018-9125-0

externí odkazy

Online Resources

• MIT Linear Algebra Video Lectures, a series of 34 recorded lectures by Professor Gilbert Strang (Spring 2010)
• International Linear Algebra Society
• "Linear algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lineární algebra na MathWorld
• Matrix and Linear Algebra Terms na Nejstarší známá použití některých slov matematiky
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors na Nejčasnější použití různých matematických symbolů
• Podstata lineární algebry, a video presentation from 3Modrá1Hnědá of the basics of linear algebra, with emphasis on the relationship between the geometric, the matrix and the abstract points of view

Online knihy

• Margalit, Dan; Rabinoff, Joseph (2019). Interactive Linear Algebra. Gruzínský technologický institut, Atlanta, Gruzie: Self-published.
• Beezer, Robert A. (2009) [2004]. A First Course in Linear Algebra. Gainesville, Florida: University Press na Floridě. ISBN  9781616100049.
• Connell, Edwin H. (2004) [1999]. Elements of Abstract and Linear Algebra. University of Miami, Coral Gables, Florida: Self-published.
• Hefferon, Jim (2020). Lineární algebra (4. vydání). Ann Arbor, Michigan: Orthogonal Publishing. ISBN  978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. OL  30872051M.
• Matthews, Keith, Elementární lineární algebra
• Mikaelian, Vahagn, Linear Algebra, Theory and Algorithms
• Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong