Jordan normální forma - Jordan normal form

Příklad matice v Jordanské normální formě. Šedé bloky se nazývají Jordanské bloky. Všimněte si, že ${ displaystyle lambda _ {i}}$ v různých blocích se může rovnat.

v lineární algebra, a Jordan normální forma, také známý jako a Jordan kanonická forma^[1]nebo JCF,^[2]je horní trojúhelníková matice konkrétní formy zvané a Jordanova matice představující a lineární operátor na konečně-dimenzionální vektorový prostor s ohledem na některé základ. Taková matice má každý nenulový off-diagonální vstup rovný 1, bezprostředně nad hlavní úhlopříčkou (na superdiagonální ) a se stejnými úhlopříčnými vstupy vlevo a pod nimi.

Nechat PROTI být vektorovým prostorem nad a pole K.. Pak existuje základ, ve vztahu k němuž má matice požadovanou formu kdyby a jen kdyby Všechno vlastní čísla matice leží v K., nebo ekvivalentně, pokud charakteristický polynom operátoru se rozdělí na lineární faktory K.. Tato podmínka je vždy splněna, pokud K. je algebraicky uzavřeno (například pokud se jedná o pole komplexní čísla ). Úhlopříčné zápisy normálního tvaru jsou vlastní čísla (operátoru) a kolikrát se každé vlastní číslo nazývá algebraická multiplicita vlastního čísla.^[3][4][5]

Pokud je operátor původně dán a čtvercová matice M, pak se jeho Jordan normální forma také nazývá Jordan normální forma M. Jakákoli čtvercová matice má Jordanův normální tvar, pokud je pole koeficientů rozšířeno na pole obsahující všechny vlastní hodnoty matice. Navzdory svému názvu je to normální forma pro daný M není zcela jedinečný, protože je bloková diagonální matice vytvořen z Jordan bloky, jehož pořadí není stanoveno; je obvyklé seskupovat bloky pro stejné vlastní číslo společně, ale mezi vlastními čísly ani mezi bloky pro dané vlastní číslo není uloženo žádné řazení, i když je možné je objednat například podle slabě se zmenšující velikosti.^[3][4][5]

The Jordan – Chevalleyův rozklad je obzvláště jednoduché, pokud jde o základ, pro který má provozovatel svou Jordánskou normální formu. Diagonální tvar pro úhlopříčně například matice normální matice, je zvláštní případ Jordanské normální formy.^[6][7][8]

Jordánská normální forma je pojmenována po Camille Jordan, který jako první uvedl Jordánovu větu o rozkladu v roce 1870.^[9]

Přehled

Zápis

Některé učebnice mají knihy na subdiagonální, tj. bezprostředně pod hlavní úhlopříčkou místo na superdiagonální. Vlastní čísla jsou stále na hlavní úhlopříčce.^[10][11]

Motivace

An n × n matice A je úhlopříčně právě když je součet rozměrů vlastních prostorů n. Nebo ekvivalentně, právě když A má n lineárně nezávislé vlastní vektory. Ne všechny matice jsou diagonalizovatelné; nazývají se matice, které nelze diagonalizovat vadný matice. Zvažte následující matici:

${ displaystyle A = left [! ! ! { begin {array} {* {20} {r}} 5 & 4 & 2 & 1 [2pt] 0 & 1 & -1 & -1 [2pt] -1 & -1 & 3 & 0 [2pt] 1 & 1 & -1 & 2 end {array}} ! ! Right].}$

Včetně multiplicity, vlastních čísel A jsou λ = 1, 2, 4, 4. The dimenze vlastního prostoru odpovídající vlastní hodnotě 4 je 1 (a ne 2), takže A nelze diagonalizovat. Existuje však invertibilní matice P takhle J = P⁻¹AP, kde

${ displaystyle J = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 [2pt] 0 & 2 & 0 & 0 [2pt] 0 & 0 & 4 & 1 [2pt] 0 & 0 & 0 & 4 end {bmatrix}}.}$

Matice J je téměř diagonální. Toto je normální forma Jordan A. Sekce Příklad níže vyplňuje podrobnosti výpočtu.

Složité matice

Obecně čtvercová komplexní matice A je podobný do a bloková diagonální matice

${ displaystyle J = { begin {bmatrix} J_ {1} & ; & ; ; & ddots & ; ; & ; & J_ {p} end {bmatrix}}}$

kde každý blok J_i je čtvercová matice formuláře

${ displaystyle J_ {i} = { begin {bmatrix} lambda _ {i} & 1 & ; & ; ; & lambda _ {i} & ddots & ; ; & ; & ddots & 1 ; & ; & ; & lambda _ {i} end {bmatrix}}.}$

Existuje tedy invertibilní matice P takhle P⁻¹AP = J je takový, že jediné nenulové položky J jsou na diagonále a superdiagonální. J se nazývá Jordan normální forma z A. Každý J_i se nazývá a Jordan blok z A. V daném jordánském bloku je každý záznam na superdiagonálu 1.

Za předpokladu, že tento výsledek, můžeme odvodit následující vlastnosti:

• Počítání multiplicit, vlastních čísel J, a tedy z A, jsou diagonální položky.
• Vzhledem k vlastnímu číslu λ_i, své geometrická multiplicita je rozměr Ker (A - λ_iJá), a je to počet bloků Jordan odpovídající λ_i.^[12]
• Součet velikostí všech bloků Jordan odpovídá vlastnímu číslu λ_i je jeho algebraická multiplicita.^[12]
• A je diagonalizovatelný právě tehdy, když pro každé vlastní číslo λ z A, jeho geometrické a algebraické multiplicity se shodují.
• Jordanův blok odpovídající λ má tvar λ Já + N, kde N je nilpotentní matice definováno jako N_ij = 8_i,j−1 (kde δ je Kroneckerova delta ). Nilpotence N lze při výpočtu využít F(A) kde F je komplexní analytická funkce. Například v zásadě by Jordanův formulář mohl dát výraz uzavřeného tvaru pro exponenciální exp (A).
• Počet Jordanových bloků odpovídající alespoň velikosti λ j je dim Ker (A - λI)^j - ztlumit Ker(A - λI)^j-1. Tedy přesně počet bloků Jordan j je

${ displaystyle 2 dim ker (A- lambda _ {i} I) ^ {j} - dim ker (A- lambda _ {i} I) ^ {j + 1} - dim ker (A- lambda _ {i} I) ^ {j-1}}$

• Vzhledem k vlastnímu číslu λ_i, jeho multiplicita v minimálním polynomu je velikost jeho největšího jordánského bloku.

Příklad

Zvažte matici ${ displaystyle A}$ z příkladu v předchozí části. Jordánská normální forma se získá nějakou transformací podobnosti ${ displaystyle P ^ {- 1} AP = J}$, tj.,

${ displaystyle ; AP = PJ.}$

Nechat ${ displaystyle P}$ mít vektory sloupců ${ displaystyle p_ {i}}$, ${ displaystyle i = 1, ..., 4}$, pak

${ displaystyle A { begin {bmatrix} p_ {1} & p_ {2} & p_ {3} & p_ {4} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} p_ {1} & p_ {2} & p_ {3 } & p_ {4} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 4 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} p_ {1} & 2p_ {2} & 4p_ { 3} & p_ {3} + 4p_ {4} end {bmatrix}}.}$

Vidíme to

${ displaystyle ; (A-1I) p_ {1} = 0}$

${ displaystyle ; (A-2I) p_ {2} = 0}$

${ displaystyle ; (A-4I) p_ {3} = 0}$

${ displaystyle ; (A-4I) p_ {4} = p_ {3}.}$

Pro ${ displaystyle i = 1,2,3}$ my máme ${ displaystyle p_ {i} in operatorname {Ker} (A- lambda _ {i} I)}$, tj., ${ displaystyle p_ {i}}$ je vlastní vektor ${ displaystyle A}$ odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda _ {i}}$. Pro ${ displaystyle i = 4}$, vynásobením obou stran znakem ${ displaystyle (A-4I)}$ dává

${ displaystyle ; (A-4I) ^ {2} p_ {4} = (A-4I) p_ {3}.}$

Ale ${ displaystyle (A-4I) p_ {3} = 0}$, tak

${ displaystyle ; (A-4I) ^ {2} p_ {4} = 0.}$

Tím pádem, ${ displaystyle p_ {4} in operatorname {Ker} (A-4I) ^ {2}.}$

Vektory jako ${ displaystyle p_ {4}}$ jsou nazývány zobecněné vlastní vektory z A.

Příklad: Získání normální formy

Tento příklad ukazuje, jak vypočítat Jordanův normální tvar dané matice. Jak vysvětluje následující část, je důležité provést výpočet přesně místo zaokrouhlování výsledků.

Zvažte matici

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 0 & 1 & -1 & -1 - 1 & -1 & 3 & 0 1 & 1 & -1 & 2 end {bmatrix}}}$

který je zmíněn na začátku článku.

The charakteristický polynom z A je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} chi ( lambda) & = det ( lambda IA) & = lambda ^ {4} -11 lambda ^ {3} +42 lambda ^ {2} -64 lambda +32 & = ( lambda -1) ( lambda -2) ( lambda -4) ^ {2}. , End {zarovnáno}}}$

To ukazuje, že vlastní čísla jsou 1, 2, 4 a 4, podle algebraické multiplicity. Vlastní prostor odpovídající vlastní hodnotě 1 lze nalézt řešením rovnice Av = λ v. Je překlenuta vektorem sloupce proti = (−1, 1, 0, 0)^T. Podobně je vlastní prostor odpovídající vlastní hodnotě 2 překlenut w = (1, −1, 0, 1)^T. Nakonec je vlastní prostor odpovídající vlastní hodnotě 4 také jednorozměrný (i když se jedná o dvojitou vlastní hodnotu) a je překlenut X = (1, 0, −1, 1)^T. Takže geometrická multiplicita (tj. dimenze vlastního prostoru daného vlastního čísla) každého ze tří vlastních čísel je jedna. Proto dvě vlastní čísla rovná 4 odpovídají jednomu Jordanovu bloku a Jordanově normální formě matice A je přímý součet

${ displaystyle J = J_ {1} (1) oplus J_ {1} (2) oplus J_ {2} (4) = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 4 end { bmatrix}}.}$

Tam jsou tři Jordanské řetězy. Dva mají délku jedna: {proti} a {w}, odpovídající vlastním číslům 1, respektive 2. Existuje vlastní řetězec délky dva odpovídající vlastní hodnotě 4. Chcete-li tento řetězec najít, vypočítejte

${ displaystyle ker {(A-4I)} ^ {2} = operatorname {span} , left {{ begin {bmatrix} 1 0 0 0 end {bmatrix}} , { begin {bmatrix} 1 0 - 1 1 end {bmatrix}} right }}$

kde Já je matice identity 4 x 4. Vyberte vektor ve výše uvedeném rozsahu, který není v jádře A − 4Já, např. y = (1,0,0,0)^T. Nyní, (A − 4Já)y = X a (A − 4Já)X = 0, takže {y, X} je řetězec o délce dva odpovídající vlastní hodnotě 4.

Matice přechodu P takhle P⁻¹AP = J je tvořen umístěním těchto vektorů vedle sebe následujícím způsobem

${ displaystyle P = { Big [} , v , { Big |} , w , { Big |} , x , { Big |} , y , { Big]} = { begin {bmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end {bmatrix}}.}$

Výpočet ukazuje, že rovnice P⁻¹AP = J opravdu platí.

${ displaystyle P ^ {- 1} AP = J = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 4 end {bmatrix}}.}$

Pokud bychom zaměnili pořadí, ve kterém se objevily vektory řetězců, tedy změna pořadí proti, w a {X, y} společně by byly bloky Jordánu zaměněny. Jordanské formy jsou však rovnocenné Jordanské formy.

Zobecněné vlastní vektory

Vzhledem k vlastnímu číslu λ jeho odpovídající Jordanův blok vede k a Jordanský řetěz. The generátornebo olověný vektor, řekněme p_rřetězce je zobecněný vlastní vektor takový, že (A - λ Já)^rp_r = 0, kde r je velikost bloku Jordan. Vektor p₁ = (A - λ Já)^r−1p_r je vlastní vektor odpovídající λ. Obecně, p_i je předobrazem p_i−1 pod A - λ Já. Vektor olova tedy generuje řetězec vynásobením (A - λ Já).^[13][2]

Proto je tvrzení, že každá čtvercová matice A lze uvést v Jordan normální forma je ekvivalentní tvrzení, že existuje základ tvořený pouze vlastními vektory a zobecněnými vlastními vektory A.

Důkaz

Dáme důkaz indukcí že jakákoli matice A s komplexními hodnotami může být uvedena v Jordanově normální formě.^{[Citace je zapotřebí ]} Případ 1 × 1 je triviální. Nechat A být n × n matice. Vezměte si jakékoli vlastní číslo λ z A. The rozsah z A - λ Já, označil Ran (A - λ Já), je invariantní podprostor z A. Protože λ je vlastní hodnota A, rozměr Ran (A - λ Já), r, je přísně menší než n. Nechat A' označit omezení A Ran (A - λ Já), indukční hypotézou existuje a základ {p₁, ..., p_r} takové, že A' , vyjádřeno s ohledem na tento základ, je v Jordanské normální formě.

Dále zvažte jádro, toto je podprostor Ker (A - λ Já). Li

${ displaystyle mathrm {Ran} (A- lambda I) cap mathrm {Ker} (A- lambda I) = {0 },}$

požadovaný výsledek vyplývá okamžitě z věta o nulitě. Tak by tomu bylo například v případě A byl Hermitian.

Jinak, pokud

${ displaystyle Q = mathrm {Ran} (A- lambda I) cap mathrm {Ker} (A- lambda I) neq {0 },}$

nechť rozměr Q být s ≤ r. Každý vektor v Q je vlastní vektor A' odpovídající vlastnímu číslu λ. Jordánská podoba A' musí obsahovat s Jordan řetězy odpovídající s lineárně nezávislé vlastní vektory. Takže základ {p₁, ..., p_r} musí obsahovat s vektory, řekněme {p_r−s+1, ..., p_r}, což jsou vektory olova v těchto Jordanových řetězcích z Jordanské normální formy A'. Můžeme "rozšířit řetězce" tím, že vezmeme preimages těchto vektorů olova. (Toto je klíčový krok argumentu; zobecněné vlastní vektory obecně nemusí ležet v Ran (A - λ Já).) Nechte q_i být takový, že

${ displaystyle ; (A- lambda I) q_ {i} = p_ {i} { mbox {for}} i = r-s + 1, ldots, r.}$

Je zřejmé, že žádná netriviální lineární kombinace q_i může ležet v Ker (A - λ I). Kromě toho žádná netriviální lineární kombinace q_i může být v Ran (A - λ Já), protože by to bylo v rozporu s předpokladem, že každý z nich p_i je vektor olova v řetězci Jordan. Sada {q_i}, jsou předobrazy lineárně nezávislé množiny {p_i} pod A - λ Já, je také lineárně nezávislý.

Nakonec můžeme vybrat libovolnou lineárně nezávislou množinu {z₁, ..., z_t} to se klene

${ displaystyle ; mathrm {Ker} (A- lambda I) / Q.}$

Konstrukcí je spojení tří sad {p₁, ..., p_r}, {q_{r−s +1}, ..., q_r}, a {z₁, ..., z_t} je lineárně nezávislý. Každý vektor v unii je buď vlastní vektor nebo zobecněný vlastní vektor A. A konečně, podle věty o nulitě, je mohutnost spojení n. Jinými slovy jsme našli základ, který se skládá z vlastních vektorů a zobecněných vlastních vektorů A, a to ukazuje A lze dát do normální formy Jordan.

Jedinečnost

Je možné ukázat, že Jordanova normální forma dané matice A je jedinečný až do pořadí jordánských bloků.

Znalost algebraických a geometrických multiplicit vlastních čísel nestačí k určení Jordanské normální formy A. Za předpokladu algebraické multiplicity m(λ) vlastního čísla λ je známo, strukturu jordánské formy lze zjistit analýzou řad sil (A - λ I)^m(λ). Chcete-li to vidět, předpokládejme n × n matice A má pouze jednu vlastní hodnotu λ. Tak m(λ) = n. Nejmenší celé číslo k₁ takhle

${ displaystyle (A- lambda I) ^ {k_ {1}} = 0}$

je velikost největšího jordánského bloku v jordánské formě A. (Tohle číslo k₁ se také nazývá index λ. Viz diskuse v následující části.) Hodnost

${ displaystyle (A- lambda I) ^ {k_ {1} -1}}$

je počet Jordanových bloků velikosti k₁. Podobně hodnost

${ displaystyle (A- lambda I) ^ {k_ {1} -2}}$

je dvakrát větší než počet bloků Jordan k₁ plus počet Jordan bloků velikosti k₁-1. Obecný případ je podobný.

Tímto způsobem lze ukázat jedinečnost jordánského tvaru. Nechat J₁ a J₂ být dvě Jordan normální formy A. Pak J₁ a J₂ jsou podobné a mají stejné spektrum, včetně algebraických multiplicit vlastních čísel. K určení struktury těchto matic lze použít postup popsaný v předchozím odstavci. Vzhledem k tomu, že hodnost matice je zachována transformací podobnosti, existuje bijekce mezi jordánskými bloky J₁ a J₂. To dokazuje jedinečnost části prohlášení.

Skutečné matice

Li A je skutečná matice, její Jordanská forma může být stále nereální. Místo toho, aby to bylo reprezentováno komplexními vlastními čísly a čísly 1 na superdiagonální, jak je popsáno výše, existuje skutečná invertibilní matice P takhle P⁻¹AP = J je skutečný bloková diagonální matice přičemž každý blok je skutečným blokem Jordan.^[14] Skutečný blok Jordan je buď identický se složitým blokem Jordan (pokud odpovídá vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda _ {i}}$ je skutečný), nebo je to samotná bloková matice, skládající se z 2 × 2 bloků (pro nereálné vlastní číslo ${ displaystyle lambda _ {i} = a_ {i} + ib_ {i}}$ s danou algebraickou multiplicitou) formy

${ displaystyle C_ {i} = { begin {bmatrix} a_ {i} & - b_ {i} b_ {i} & a_ {i} end {bmatrix}}}$

a popsat násobení pomocí ${ displaystyle lambda _ {i}}$ v komplexní rovině. Superdiagonální bloky jsou matice identity 2 × 2, a proto jsou v této reprezentaci rozměry matice větší než složitá forma Jordan. Celý skutečný blok Jordan je dán

${ displaystyle J_ {i} = { begin {bmatrix} C_ {i} & I & ; & ; ; & C_ {i} & ddots & ; ; & ; & ddots & I ; & ; & ; & C_ {i} end {bmatrix}}.}$

Tato skutečná jordánská forma je důsledkem složité jordánské formy. Pro skutečnou matici lze vždy zvolit nereálné vlastní vektory a zobecněné vlastní vektory komplexní konjugát páry. Vezmeme-li skutečnou a imaginární část (lineární kombinace vektoru a jeho konjugátu), má matice tuto formu s ohledem na nový základ.

Matice se záznamy v poli

Redukci Jordan lze rozšířit na jakoukoli čtvercovou matici M jehož položky leží v a pole K.. Výsledek uvádí, že jakýkoli M lze zapsat jako součet D + N kde D je polojednoduchý, N je nilpotentní, a DN = ND. Tomu se říká Jordan – Chevalleyův rozklad. Kdykoli K. obsahuje vlastní čísla z M, zejména když K. je algebraicky uzavřeno, normální formu lze vyjádřit výslovně jako přímý součet jordánských bloků.

Podobně jako v případě, kdy K. je komplexní číslo, které zná rozměry jader (M - λJá)^k pro 1 ≤ k ≤ m, kde m je algebraická multiplicita vlastního čísla λ, umožňuje určit jordánskou formu M. Můžeme zobrazit podkladový vektorový prostor PROTI jako K.[X]-modul tím, co se týká akce X na PROTI jako aplikace M a prodloužení o K.-linearita. Pak polynomy (X - λ)^k jsou základní dělitelé Ma jordánská normální forma se týká reprezentace M pokud jde o bloky spojené s elementárními děliteli.

Důkaz o normální formě Jordánska se obvykle provádí jako přihláška k prsten K.[X] z věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou, jehož je důsledkem.

Důsledky

Je vidět, že Jordanova normální forma je v podstatě výsledkem klasifikace pro čtvercové matice, a jako takové lze za její důsledky považovat několik důležitých výsledků z lineární algebry.

Věta o spektrálním mapování

Použitím Jordanovy normální formy dává přímý výpočet větu spektrálního mapování pro polynomiální funkční počet: Nechte A být n × n matice s vlastními hodnotami λ₁, ..., λ_n, pak pro libovolný polynom p, p(A) má vlastní čísla p(λ₁), ..., p(λ_n).

Charakteristický polynom

The charakteristický polynom z A je ${ displaystyle p_ {A} ( lambda) = det ( lambda I-A)}$. Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. ${ displaystyle p_ {A} ( lambda) = p_ {J} ( lambda) = prod _ {i} ( lambda - lambda _ {i}) ^ {m_ {i}}}$,kde ${ displaystyle lambda _ {i}}$ je ith kořen A a ${ displaystyle m_ {i}}$ je jeho multiplicita, protože toto je jasně charakteristický polynom jordánské formy A.

Cayley-Hamiltonova věta

The Cayley-Hamiltonova věta tvrdí, že každá matice A splňuje svou charakteristickou rovnici: pokud p je charakteristický polynom z A, pak ${ displaystyle p_ {A} (A) = 0}$. To lze ukázat přímým výpočtem ve formě Jordan, protože pokud ${ displaystyle lambda _ {i}}$ je vlastní číslo multiplicity ${ displaystyle m}$, pak jeho jordánský blok ${ displaystyle J_ {i}}$ jasně vyhovuje ${ displaystyle (J_ {i} - lambda _ {i}) ^ {m_ {i}} = 0}$Protože se diagonální bloky navzájem neovlivňují, idiagonální blok ${ displaystyle (A- lambda _ {i}) ^ {m_ {i}}}$ je ${ displaystyle (J_ {i} - lambda _ {i}) ^ {m_ {i}} = 0}$; proto ${ displaystyle p_ {A} (A) = prod _ {i} (A- lambda _ {i}) ^ {m_ {i}} = 0}$.

Lze předpokládat, že Jordanova forma existuje nad polem rozšiřujícím základní pole matice, například nad rozdělení pole z p; toto rozšíření pole nemění matici p(A) jakýmkoli způsobem.

Minimální polynom

The minimální polynom P čtvercové matice A je jedinečný monický polynom nejmenšího stupně, m, takový, že P(A) = 0. Alternativně sada polynomů, které danou danou složku ničí A tvoří ideál Já v C[X], hlavní ideální doména polynomů se složitými koeficienty. Monický prvek, který generuje Já je přesně P.

Nechť λ₁, ..., λ_q být zřetelnými vlastními hodnotami A, a s_i být velikost největšího jordánského bloku odpovídající λ_i. Z Jordanovy normální formy je zřejmé, že minimální polynom z A má titul Σs_i.

Zatímco Jordanova normální forma určuje minimální polynom, obrácení není pravdivé. To vede k představě základní dělitelé. Elementární dělitele čtvercové matice A jsou charakteristické polynomy jejích jordánských bloků. Faktory minimálního polynomu m jsou základní dělitelé největšího stupně odpovídající odlišným vlastním číslům.

Stupeň elementárního dělitele je velikost odpovídajícího jordánského bloku, tedy rozměr příslušného invariantního podprostoru. Pokud jsou všechny základní dělitele lineární, A je diagonalizovatelný.

Invariantní podprostorové rozklady

Jordánská forma a n × n matice A je bloková úhlopříčka, a proto dává rozklad na n dimenzionální euklidovský prostor do invariantní podprostory z A. Každý blok Jordan J_i odpovídá invariantnímu podprostoru X_i. Symbolicky řečeno

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} = bigoplus _ {i = 1} ^ {k} X_ {i}}$

kde každý X_i je rozpětí odpovídajícího jordánského řetězce a k je počet jordánských řetězů.

Jeden může také získat mírně odlišný rozklad prostřednictvím formy Jordan. Vzhledem k vlastnímu číslu λ_i, velikost jeho největšího odpovídajícího jordánského bloku s_i se nazývá index λ_i a označeno ν (λ_i). (Proto je stupeň minimálního polynomu součtem všech indexů.) Definujte podprostor Y_i podle

${ displaystyle ; Y_ {i} = operatorname {Ker} ( lambda _ {i} I-A) ^ { nu ( lambda _ {i})}.}$

To dává rozklad

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} = bigoplus _ {i = 1} ^ {l} Y_ {i}}$

kde l je počet zřetelných vlastních čísel A. Intuitivně globalizujeme invariantní podprostory bloku Jordan odpovídající stejné vlastní hodnotě. V krajním případě kde A je násobek matice identity, kterou máme k = n a l = 1.

Projekce na Y_i a spolu se všemi ostatními Y_j ( j ≠ i ) je nazýván spektrální projekce A v λ_i a je obvykle označen P(λ_i ; A). Spektrální projekce jsou vzájemně kolmé v tom smyslu P(λ_i ; A) P(λ_j ; A) = 0 pokud i ≠ j. Také dojíždějí s A a jejich součet je matice identity. Výměna každé λ_i v Jordanově matici J o jednu a vynulování všech ostatních položek dává P(λ_i ; J), navíc pokud U J U⁻¹ je podobnost transformace taková A = U J U⁻¹ pak P(λ_i ; A) = U P(λ_i ; J) U⁻¹. Nejsou omezeny na konečné rozměry. Níže naleznete jejich použití pro kompaktní operátory a v holomorfní funkční počet pro obecnější diskusi.

Při srovnání těchto dvou rozkladů si všimněte, že obecně l ≤ k. Když A je normální, podprostory X_iv prvním rozkladu jsou jednorozměrné a vzájemně kolmé. To je spektrální věta pro normální operátory. Druhý rozklad se obecně snáze zobecňuje pro běžné kompaktní operátory v Banachových prostorech.

Zde by mohlo být zajímavé poznamenat si některé vlastnosti indexu, ν (λ). Obecněji, pro komplexní číslo λ lze jeho index definovat jako nejméně nezáporné celé číslo ν (λ) takové, že

${ displaystyle mathrm {Ker} ( lambda -A) ^ { nu ( lambda)} = operatorname {Ker} ( lambda -A) ^ {m}, ; forall m geq nu ( lambda).}$

Takže ν (λ)> 0 právě tehdy, když λ je vlastní hodnota A. V konečně-rozměrném případě ν (λ) ≤ algebraická multiplicita λ.

Rovina (plochá) normální forma

Jordanova forma se používá k nalezení normální formy matic až do konjugace, takže normální matice tvoří algebraickou paletu nízkého fixního stupně v prostoru matice okolí.

Sady zástupců maticových konjugovaných tříd pro Jordan normální formu nebo racionální kanonické formy obecně nepředstavují lineární nebo afinní podprostory v okolních maticových prostorech.

Vladimír Arnold představoval problém v ^[15] - najít kanonickou formu matic nad polem, pro které je množina zástupců tříd konjugace matic spojením afinních lineárních podprostorů (ploch). Jinými slovy, namapujte množinu tříd konjugace matic injektivně zpět do počáteční sady matic tak, aby obraz tohoto vkládání - sada všech normálních matic, měl co nejnižší stupeň - jedná se o spojení posunutých lineárních podprostorů.

Pro algebraicky uzavřená pole to vyřešil Peteris Daugulis.^[16] Konstrukce jedinečně definované normální forma letadla matice začíná zvážením její Jordan normální formy.

Maticové funkce

Iterace řetězce Jordan motivuje různá rozšíření k abstraktnějším nastavením. Pro konečné matice získáme maticové funkce; toto může být rozšířeno na kompaktní operátory a holomorfní funkční kalkul, jak je popsáno dále níže.

Jordanova normální forma je nejvhodnější pro výpočet maticových funkcí (i když to nemusí být nejlepší volba pro počítačové výpočty). Nechat f (z) být analytickou funkcí komplexního argumentu. Použití funkce na a n × n Jordan blok J s vlastním číslem λ vede k horní trojúhelníkové matici:

${ displaystyle f (J) = { begin {bmatrix} f ( lambda) & f '( lambda) & { tfrac {f' '( lambda)} {2}} & ... & { tfrac {f ^ {(n-1)} ( lambda)} {(n-1)!}} 0 & f ( lambda) & f '( lambda) & ... & { tfrac {f ^ {( n-2)} ( lambda)} {(n-2)!}} vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & f ( lambda) & f '( lambda) 0 a 0 a 0 a 0 a f ( lambda) end {bmatrix}},}$

takže prvky k-th superdiagonální výsledné matice jsou ${ displaystyle { tfrac {f ^ {(k)} ( lambda)} {k!}}}$. U matice obecné Jordanské normální formy se výše uvedený výraz použije na každý blok Jordan.

Následující příklad ukazuje aplikaci na funkci napájení f (z) = zⁿ:

${ displaystyle { begin {bmatrix} lambda _ {1} & 1 & 0 & 0 & 0 0 & lambda _ {1} & 1 & 0 & 0 0 & 0 & lambda _ {1} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & lambda _ {2} & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & lambda _ {2} end {bmatrix}} ^ {n} = { begin {bmatrix} lambda _ {1} ^ {n} & { tbinom {n} {1}} lambda _ {1} ^ {n-1} & { tbinom {n} {2}} lambda _ {1} ^ {n-2} & 0 & 0 0 & lambda _ {1} ^ {n} & { tbinom {n} { 1}} lambda _ {1} ^ {n-1} & 0 & 0 0 & 0 & lambda _ {1} ^ {n} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & lambda _ {2} ^ {n} & { tbinom {n} {1}} lambda _ {2} ^ {n-1} 0 & 0 & 0 & 0 & lambda _ {2} ^ {n} end {bmatrix}},}$

kde jsou binomické koeficienty definovány jako ${ displaystyle { tbinom {n} {k}} = prod _ {i = 1} ^ {k} { tfrac {n + 1-i} {i}}}$. Pro celé číslo pozitivní n snižuje se na standardní definici koeficientů. Pro negativní n identita ${ displaystyle { tbinom {-n} {k}} = doleva (-1 doprava) ^ {k} { tbinom {n + k-1} {k}}}$ může být užitečné.

Kompaktní operátory

Výsledek analogický Jordanské normální formě platí kompaktní operátory na Banachův prostor. Jeden se omezuje na kompaktní operátory, protože každý bod X ve spektru kompaktního operátora Tjedinou výjimkou je, když X je mezní bod spektra, je vlastní hodnota. To neplatí pro omezené operátory obecně. Abychom získali představu o tomto zevšeobecnění, nejprve přeformulujeme Jordanův rozklad v jazyce funkční analýzy.

Holomorfní funkční počet

Nechat X být Banachovým prostorem, L(X) být omezenými operátory na X, a σ (T) označují spektrum z T ∈ L(X). The holomorfní funkční počet je definována takto:

Opravte ohraničený operátor T. Zvažte rodinu Hol (T) složitých funkcí, které je holomorfní na nějaké otevřené sadě G obsahující σ (T). Nechť Γ = {γ_i} být konečnou sbírkou Jordan křivky takové, že σ (T) leží v uvnitř z Γ, definujeme F(T) od

${ displaystyle f (T) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { Gamma} f (z) (z-T) ^ {- 1} dz.}$

Otevřená sada G se může lišit F a nemusí být připojeno. Integrál je definován jako limit Riemannova součtu, jako ve skalárním případě. Ačkoli integrál má smysl pro kontinuální F, omezíme se na holomorfní funkce, abychom použili aparát z klasické teorie funkcí (např. Cauchyův integrální vzorec). Předpoklad, že σ (T) leží uvnitř Γ zajišťuje F(T) je dobře definován; to nezávisí na volbě Γ. Funkčním kalkulem je zobrazení Φ z Hol (T) až L(X) dána

${ displaystyle ; Phi (f) = f (T).}$

Budeme vyžadovat následující vlastnosti tohoto funkčního počtu:

1. Φ rozšiřuje polynomiální funkční počet.
2. The věta o spektrálním mapování platí: σ (F(T)) = F(σ (T)).
3. Φ je homomorfismus algebry.

Konečně-dimenzionální případ

V konečně-rozměrném případě, σ (T) = {λ_i} je konečná diskrétní množina v komplexní rovině. Nechat E_i být funkce, která je 1 v nějakém otevřeném sousedství λ_i a 0 jinde. Vlastností 3 funkčního počtu je operátor

${ displaystyle ; e_ {i} (T)}$

je projekce. Navíc nechť ν_i být indexem λ_i a

${ displaystyle f (z) = (z- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}.}$

Věta o spektrálním mapování nám to říká

${ displaystyle f (T) e_ {i} (T) = (T- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}} e_ {i} (T)}$

má spektrum {0}. Podle nemovitosti 1, F(T) lze přímo vypočítat ve formě Jordan a kontrolou zjistíme, že operátor F(T)E_i(T) je nulová matice.

Podle nemovitosti 3, F(T) E_i(T) = E_i(T) F(T). Tak E_i(T) je přesně projekce do podprostoru

${ displaystyle mathrm {Ran} ; e_ {i} (T) = mathrm {Ker} (T- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}.}$

Vztah

${ displaystyle ; součet _ {i} e_ {i} = 1}$

naznačuje

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} = bigoplus _ {i} ; mathrm {Ran} ; e_ {i} (T) = bigoplus _ {i} ; mathrm {Ker} ( T- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}}$

kde index i prochází různými vlastními hodnotami T. To je přesně ten invariantní subprostorový rozklad

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} = bigoplus _ {i} Y_ {i}}$

uvedené v předchozí části. Každý E_i(T) je projekce do podprostoru překlenutého Jordanovými řetězci odpovídajícími λ_i a podél podprostorů rozprostřených Jordanovými řetězci odpovídajícími λ_j pro j ≠ i. Jinými slovy, E_i(T) = P(λ_i;T). Tato explicitní identifikace provozovatelů E_i(T) zase dává explicitní formu holomorfního funkčního počtu pro matice:

Pro všechny F ∈ Hol (T),

${ displaystyle f (T) = součet _ { lambda _ {i} in sigma (T)} součet _ {k = 0} ^ { nu _ {i} -1} { frac {f ^ {(k)}} {k!}} (T- lambda _ {i}) ^ {k} e_ {i} (T).}$

Všimněte si, že výraz F(T) je konečný součet, protože na každém sousedství λ_i, jsme si vybrali rozšíření Taylorovy řady o F se středem na λ_i.

Póly operátora

Nechat T být omezeným operátorem λ být izolovaným bodem σ (T). (Jak je uvedeno výše, kdy T je kompaktní, každý bod v jeho spektru je izolovaným bodem, s výjimkou možného mezního bodu 0.)

Bod λ se nazývá a pól operátora T s objednávkou ν, pokud rozpouštědlo funkce R_T definován

${ displaystyle ; R_ {T} ( lambda) = ( lambda -T) ^ {- 1}}$

má pól řádu ν při λ.

Ukážeme, že v případě konečných rozměrů se pořadí vlastního čísla shoduje s jeho indexem. Výsledek platí i pro kompaktní operátory.

Zvažte prstencovou oblast A vycentrován na vlastní číslo λ s dostatečně malým poloměrem ε, takže průsečík otevřeného disku B_ε(λ) a σ (T) je {λ}. Funkce resolventu R_T je holomorfní A.Rozšíření výsledku z klasické teorie funkcí, R_T má Laurentova řada zastoupení na A:

${ displaystyle R_ {T} (z) = součet _ {- infty} ^ { infty} a_ {m} ( lambda -z) ^ {m}}$

kde

${ displaystyle a _ {- m} = - { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} ( lambda -z) ^ {m-1} (zT) ^ {- 1} dz }$ a C je malý kruh se středem v λ.

Podle předchozí diskuse o funkčním počtu,

${ displaystyle ; a _ {- m} = - ( lambda -T) ^ {m-1} e _ { lambda} (T)}$ kde ${ displaystyle ; e _ { lambda}}$ je 1 zapnuto ${ displaystyle ; B _ { epsilon} ( lambda)}$ a 0 jinde.

Ukázali jsme ale, že nejmenší kladné celé číslo m takhle

${ displaystyle a _ {- m} neq 0}$ a ${ displaystyle a _ {- l} = 0 ; ; forall ; l geq m}$

je přesně index λ, ν (λ). Jinými slovy, funkce R_T má pól řádu ν (λ) na λ.

Numerická analýza

Pokud je matice A má více vlastních čísel nebo se blíží matici s více vlastními hodnotami, pak je jeho Jordan normální forma velmi citlivá na poruchy. Zvažte například matici

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 varepsilon & 1 end {bmatrix}}.}$

Pokud ε = 0, pak Jordanova normální forma je prostě

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

Avšak pro ε ≠ 0 je Jordanova normální forma

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 + { sqrt { varepsilon}} & 0 0 a 1 - { sqrt { varepsilon}} end {bmatrix}}.}$

Tento špatná kondice velmi ztěžuje vývoj robustního numerického algoritmu pro Jordanovu normální formu, protože výsledek kriticky závisí na tom, zda jsou dvě vlastní čísla považována za stejná. Z tohoto důvodu se Jordánská normální forma obvykle vyhýbá numerická analýza; stáj Schurův rozklad^[17] nebo pseudospectra^[18] jsou lepší alternativy.

Viz také

• Kanonický základ
• Kanonická forma
• Frobeniova normální forma
• Jordanova matice
• Jordan – Chevalleyův rozklad
• Maticový rozklad
• Modální matice
• Weyr kanonická forma

Poznámky

Reference