Rovnováha (geometrie) - Equipollence (geometry)

v Euklidovská geometrie, vybavenost je binární relace mezi směrované úsečky. Úsečka AB z bodu A ukazovat B má opačný směr než úsečka BA. Dva směrované úsečky jsou ekvivalentní když mají stejnou délku a směr.

Dějiny

Přehled

Koncept ekvipolentních segmentů čáry byl posunut o Giusto Bellavitis v roce 1835. Následně termín vektor byl přijat pro třídu ekvipolentních úseček. Bellavitis využívá myšlenku a vztah porovnávat různé, ale podobné objekty, se stalo běžnou matematickou technikou, zejména při použití ekvivalenční vztahy. Bellavitis použila speciální notaci pro vyrovnání segmentů AB a CD:

${ displaystyle AB bumpeq CD.}$

Následující pasáže, přeložené Michaelem J. Crowem, ukazují očekávání, které Bellavitis měla vektor koncepty:

Rovnováha pokračuje v držení, když jeden nahradí řádky v nich, další řádky, které jsou jim odpovídajícím způsobem vyrovnány, mohou však být umístěny v prostoru. Z toho lze pochopit, jak může být libovolný počet a jakýkoli druh linek shrnuto, a že v jakémkoli pořadí budou tyto řádky vzaty, získá se stejný ekvipolentní součet ...

V ekvipolencích, stejně jako v rovnicích, může být čára přenesena z jedné strany na druhou, za předpokladu, že se změní znaménko ...

Protikladně orientované segmenty jsou tedy navzájem negativy: ${ displaystyle AB + BA bumpeq 0.}$

Vyrovnanost ${ displaystyle AB bumpeq n.CD,}$ kde n znamená kladné číslo, znamená to AB je paralelní a má stejný směr jako CD, a že jejich délky mají vztah vyjádřený AB = n.CD.^[1]

Segment z A na B je vázaný vektor, zatímco třída segmentů, které jsou jí rovnocenné, je volný vektor, v řeči Euklidovské vektory.

Příklady

Mezi historickými aplikacemi ekvipolence od Bellavitis a dalších, průměry konjugátu elipsy a hyperboly budou diskutovány:

a) Průměr konjugátu elips

Bellavitis (1854)^[2] definoval ekvipolenci OM elipsa a příslušná tangenta MT as

(1a) ${ displaystyle { begin {matrix} & mathrm {OM} bumpeq x mathrm {OA} + y mathrm {OB} & mathrm {MT} bumpeq -y mathrm {OA} + x mathrm {OB} & left [x ^ {2} + y ^ {2} = 1; x = cos t, y = sin t right] Rightarrow & mathrm {OM} bumpeq cos t cdot mathrm {OA} + sin t cdot mathrm {OB} end {matice}}}$

kde OA a OB jsou konjugované poloprůměry elipsy, které oba vztažil ke dvěma dalším konjugovaným poloprůměrům OC a OD následujícím vztahem a jeho inverzí:

${ displaystyle { begin {matrix} { begin {aligned} mathrm {OC} & bumpeq c mathrm {OA} + d mathrm {OB} & qquad && mathrm {OA} & bumpeq c mathrm {OC} -d mathrm {OD} mathrm {OD} & bumpeq -d mathrm {OA} + c mathrm {OB} &&& mathrm {OB} & bumpeq d mathrm {OC} + c mathrm {OD} end {zarovnáno}} vlevo [c ^ {2} + d ^ {2} = 1 vpravo] end {matrix}}}$

produkovat invariant

${ displaystyle ( mathrm {OC}) ^ {2} + ( mathrm {OD}) ^ {2} bumpeq ( mathrm {OA}) ^ {2} + ( mathrm {OB}) ^ {2 }}$.

Nahrazením inverze do (1a) ukázal, že OM si zachovává svoji formu

${ displaystyle { begin {matrix} mathrm {OM} bumpeq (cx + dy) mathrm {OC} + (cy-dx) mathrm {OD} left [(cx + dy) ^ {2 } + (cy-dx) ^ {2} = 1 vpravo] konec {matice}}}$

b) Průměr konjugátu hyperboly

Ve francouzském překladu článku Bellavitis '1854, Charles-Ange Laisant (1874) přidal kapitolu, ve které přizpůsobil výše uvedenou analýzu hyperbola. Vyrovnanost OM a její tangens MT hyperboly je definována^[3]

(1b) ${ displaystyle { begin {matrix} & mathrm {OM} bumpeq x mathrm {OA} + y mathrm {OB} & mathrm {MT} bumpeq y mathrm {OA} + x mathrm {OB} & left [x ^ {2} -y ^ {2} = 1; x = cosh t, y = sinh t right] Rightarrow & mathrm {OM} bumpeq cosh t cdot mathrm {OA} + sinh t cdot mathrm {OB} end {matrix}}}$

Tady jsou OA a OB konjugované poloprůměry hyperboly s OB je imaginární, přičemž oba se vztahoval ke dvěma dalším konjugovaným poloprůměrům OC a OD následující transformací a její inverzí:

${ displaystyle { begin {matrix} { begin {aligned} mathrm {OC} & bumpeq c mathrm {OA} + d mathrm {OB} & qquad && mathrm {OA} & bumpeq c mathrm {OC} -d mathrm {OD} mathrm {OD} & bumpeq d mathrm {OA} + c mathrm {OB} &&& mathrm {OB} & bumpeq -d mathrm {OC} + c mathrm {OD} end {zarovnáno}} vlevo [c ^ {2} -d ^ {2} = 1 vpravo] end {matrix}}}$

vytváření invariantního vztahu

${ displaystyle ( mathrm {OC}) ^ {2} - ( mathrm {OD}) ^ {2} bumpeq ( mathrm {OA}) ^ {2} - ( mathrm {OB}) ^ {2 }}$.

Dosazením do (1b) ukázal, že OM si zachovává svoji formu

${ displaystyle { begin {matrix} mathrm {OM} bumpeq (cx-dy) mathrm {OC} + (cy-dx) mathrm {OD} left [(cx-dy) ^ {2 } - (cy-dx) ^ {2} = 1 vpravo] konec {matice}}}$

Z moderní perspektivy lze Laisantovu transformaci mezi dvěma páry konjugovaných poloprůměrů interpretovat jako Lorentz posiluje z hlediska hyperbolických rotací, jakož i jejich vizuální demonstrace z hlediska Minkowského diagramy.

Rozšíření

Geometrická ekvipolence se také používá na kouli:

Vážit si Hamiltonova Nejprve si připomeňme mnohem jednodušší případ abelianské skupiny překladů v euklidovském trojrozměrném prostoru. Každý překlad je reprezentovatelný jako vektor v prostoru, pouze směr a velikost jsou významné a umístění irelevantní. Složení dvou překladů je dáno pravidlem rovnoběžníku „head-to-tail“ rovnoběžky; a převrácení znamená obrácení směru. V Hamiltonově teorii obratů máme zevšeobecnění takového obrazu z Abelianské překladové skupiny na neabelskou SU (2). Místo vektorů v prostoru se budeme zabývat směrovanými oblouky velkých kruhů o délce <π na jednotkové sféře S² v euklidovském trojrozměrném prostoru. Dva takovéto oblouky jsou považovány za rovnocenné, jestliže posunutím jednoho podél jeho velkého kruhu lze dosáhnout shody s druhým.^[4]

Na velký kruh koule, dvě směrované kruhové oblouky jsou vyrovnaní, když souhlasí ve směru a délce oblouku. Třída ekvivalence takových oblouků je spojena s a čtveřice versor

${ displaystyle exp (ar) = cos a + r sin a,}$ kde A je délka oblouku a r určuje rovinu velké kružnice kolmostí.

Reference

Další čtení

• Giusto Bellavitis (1835) „Saggio di applzioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)“, Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, odkaz od Knihy Google.

• Charles-Ange Laisant (1874): Francouzský překlad s dodatky Bellavitis (1854) Expozice de la méthode des equipollences, odkaz od Knihy Google.

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton a další Relazione col Metodo delle Equipollenze, odkaz od HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence, Gauthier-Villars, odkaz z Michiganská univerzita Historická matematická sbírka.
• Lena L. Severance (1930) Teorie rovnováhy; Metoda analytické geometrie Sig. Bellavitida, odkaz od HathiTrust.

externí odkazy

• Axiomatická definice ekvipolence