Rozsah funkce - Range of a function

${ displaystyle f}$ je funkce z doména X na codomain Y. Žlutý ovál uvnitř Y je obraz z ${ displaystyle f}$. Někdy se „rozsah“ týká obrazu a jindy kódomény.

v matematika, rozsah a funkce může odkazovat na jeden ze dvou úzce souvisejících pojmů:

• The codomain funkce
• The obraz funkce

Terminologie

Vzhledem k tomu, že pojem „rozsah“ může mít různé významy, je dobré jej definovat při prvním použití v učebnici nebo článku. Starší knihy, když používají slovo „rozsah“, mají tendenci používat k označení toho, čemu se nyní říká codomain.^[1][2] Modernější knihy, pokud vůbec používají slovo „rozsah“, obecně to používají k označení toho, co se nyní nazývá obraz.^[3] Aby se předešlo nejasnostem, řada moderních knih vůbec nepoužívá slovo „rozsah“.^[4]

Vypracování a příklad

Vzhledem k funkci

${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$

s doména ${ displaystyle X}$, rozsah ${ displaystyle f}$, někdy označován ${ displaystyle operatorname {běh} (f)}$ nebo ${ displaystyle operatorname {Rozsah} (f)}$,^[5][6] může odkazovat na doménu nebo cílovou sadu ${ displaystyle Y}$ (tj. množina, do které je veškerý výstup ${ displaystyle f}$ je omezen na pokles), nebo na ${ displaystyle f (X)}$, obrázek domény ${ displaystyle f}$ pod ${ displaystyle f}$ (tj. podmnožina ${ displaystyle Y}$ skládající se ze všech skutečných výstupů ${ displaystyle f}$). Obraz funkce je vždy podmnožinou codomainu funkce.^[7]

Jako příklad dvou různých použití zvažte funkci ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ jak se používá v skutečná analýza (tj. jako funkce, která vstupuje a reálné číslo a vydá svůj čtverec). V tomto případě je jeho codomain množina reálných čísel ${ displaystyle mathbb {R}}$, ale jeho obraz je množina nezáporných reálných čísel ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$, od té doby ${ displaystyle x ^ {2}}$ není nikdy negativní, pokud ${ displaystyle x}$ je skutečný. Pokud pro tuto funkci použijeme „rozsah“, znamená to codomain, odkazuje to na ${ displaystyle mathbb { displaystyle mathbb {R} ^ {}}}$; použijeme-li „rozsah“ obraz, odkazuje to na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$.

V mnoha případech se obraz a doména mohou shodovat. Zvažte například funkci ${ displaystyle f (x) = 2x}$, který zadává reálné číslo a vydává své dvojnásobné. Pro tuto funkci jsou codomain a obrázek stejné (oba jsou množinou reálných čísel), takže rozsah slov je jednoznačný.

Viz také

• Bijekce, injekce a surjekce
• Základní rozsah

Poznámky a odkazy

Bibliografie

• Děti (2009). Konkrétní úvod do vyšší algebry. Pregraduální texty z matematiky (3. vyd.). Springer. ISBN  978-0-387-74527-5. OCLC  173498962.
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. ISBN  978-0-471-43334-7. OCLC  52559229.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. 73. Springer. ISBN  0-387-90518-9. OCLC  703268.
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza (2. vyd.). McGraw Hill. ISBN  0-07-054236-8.