Projekce (matematika) - Projection (mathematics) - Wikipedia

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Projekční“ matematika  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Října 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a projekce je mapování a soubor (nebo jiný matematická struktura ) do podmnožiny (nebo podstruktury), která se rovná jejímu čtverci pro mapovací kompozice (nebo jinými slovy, což je idempotentní ). The omezení do podprostoru projekce se také nazývá a projekce, i když dojde ke ztrátě vlastnosti idempotence. Každodenním příkladem projekce je vrhání stínů na rovinu (list papíru). Projekce bodu je jeho stínem na list papíru. Stín bodu na listu papíru je tento bod sám o sobě (idempotency). Stín trojrozměrné koule je uzavřený disk. Pojem projekce byl původně zaveden v roce Euklidovská geometrie označit projekci Euklidovský prostor tří dimenzí na rovinu v ní, jako příklad stínu. Dvě hlavní projekce tohoto druhu jsou:

• The projekce z bodu do roviny nebo centrální projekce: Pokud C je bod zvaný střed projekce, pak projekce bodu P odlišný od C na rovinu, která neobsahuje C je průsečík čáry CP s letadlem. Body P takové, že linka CP je rovnoběžná s rovinou nemá žádný obraz podle projekce, ale jeden často říká, že se promítají do bodu v nekonečnu roviny (viz projektivní geometrie pro formalizaci této terminologie). Projekce bodu C sama o sobě není definována.
• The projekce rovnoběžná se směrem D, na rovinu nebo paralelní projekce: Obraz bodu P je průsečík s rovinou přímky rovnoběžné s D procházející P. Vidět Afinní prostor § Projekce pro přesnou definici, zobecněnou na jakoukoli dimenzi.

Koncept projekce v matematika je velmi starý, nejspíše má kořeny ve fenoménu stínů vržených objekty z reálného světa na zem. Tato základní myšlenka byla zdokonalena a abstrahována, nejprve v geometrickém kontextu a později v jiných oborech matematiky. Postupem času se vyvinuly různé verze konceptu, ale dnes v dostatečně abstraktním prostředí můžeme tyto varianty sjednotit.

v kartografie, a mapová projekce je mapa části povrchu Země na rovinu, což v některých případech, ale ne vždy, představuje omezení projekce ve výše uvedeném smyslu. The 3D projekce jsou také základem teorie perspektivní.

Potřeba sjednocení dvou druhů projekcí a definování obrazu centrální projekcí jakéhokoli bodu odlišného od středu projekce je původem projektivní geometrie. Nicméně, a projektivní transformace je bijekce projektivního prostoru, vlastnosti ne sdílen s projekce tohoto článku.

Definice

Komutativita tohoto diagramu je univerzálnost projekce π pro jakoukoli mapu F a nastavte X.

V abstraktním prostředí můžeme obecně říci, že a projekce je mapování a soubor (nebo z matematická struktura ) který je idempotentní, což znamená, že projekce se rovná její složení sám se sebou. A projekce může také odkazovat na mapování, které má správnou inverzi. Oba pojmy spolu úzce souvisejí. Nechat p být idempotent mapa ze sady A do sebe (tedy p ∘ p = p) a B = p(A) být obrazem p. Pokud označíme π mapa p zobrazeno jako mapa z A na B a tím i the injekce z B do A (aby p = i ∘ π), pak máme π ∘ i = Id_B (aby π má správnou inverzi). Naopak, pokud π má tedy pravou inverzi π ∘ i = Id_B to naznačuje i ∘ π je idempotentní.

Aplikace

Původní pojetí projekce bylo rozšířeno nebo zobecněno na různé matematické situace, často, ale ne vždy, související s geometrií, například:

• v teorie množin:
  • Operace typizovaná j ^th projekční mapa, písemné proj_j , který přebírá prvek X = (X₁, ..., X_j , ..., X_k) z kartézský součin X₁ × … × X_j × … × X_k na hodnotu proj_j (X) = X_j . Tato mapa je vždy surjektivní.
  • Mapování, které převezme prvek do svého třída ekvivalence pod daným vztah ekvivalence je známý jako kanonická projekce.
  • Vyhodnocovací mapa odešle funkci F na hodnotu F(X) pro pevné X. Prostor funkcí Y^X lze identifikovat s kartézským produktem ${ displaystyle prod _ {i v X} Y_ {i}}$, a vyhodnocovací mapa je projekční mapa z kartézského produktu.
• Pro relační databáze a dotazovací jazyky, projekce je unární provoz psáno jako ${ displaystyle Pi _ {a_ {1}, ldots, a_ {n}} (R)}$ kde ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ je sada názvů atributů. Výsledek takové projekce je definován jako soubor který se získá, když vše n-tice v R jsou omezeny na sadu ${ displaystyle {a_ {1}, ldots, a_ {n} }}$. R je relace databáze.
• v sférická geometrie, projekci koule na rovinu použil Ptolemaios (~ 150) v jeho Planisphaerium. Metoda se nazývá stereografická projekce a používá tečnou rovinu ke kouli a a pól C diametrálně proti bodu tečnosti. Jakýkoli bod P kromě toho na kouli C určuje čáru CP protínající rovinu v promítaném bodě pro P. Díky korespondenci je sféra a jednobodové zhutnění pro letadlo, když a bod v nekonečnu je zahrnuto, aby odpovídalo C, který jinak nemá projekci na rovinu. Běžnou instancí je složité letadlo kde zhutnění odpovídá Riemannova koule. Alternativně a polokoule se často promítá do roviny pomocí gnomonická projekce.
• v lineární algebra, a lineární transformace zůstává nezměněn, pokud se použije dvakrát (p(u) = p(p(u))), jinými slovy, an idempotentní operátor. Například mapování, které bere bod (X, y, z) ve třech rozměrech k bodu (X, y, 0) v rovině je projekce. Tento typ projekce se přirozeně zobecňuje na libovolný počet rozměrů n pro zdroj a k ≤ n pro cíl mapování. Vidět ortogonální projekce, projekce (lineární algebra). V případě ortogonálních projekcí prostor připouští rozklad jako produkt a operátor projekce je projekcí také v tomto smyslu.
• v diferenciální topologie, jakýkoli svazek vláken zahrnuje projekční mapu jako součást své definice. Lokálně alespoň tato mapa vypadá jako projekční mapa ve smyslu topologie produktu, a proto je otevřená a surjektivní.
• v topologie, a odvolání je spojitá mapa r: X → X který omezuje na mapu identity na svém obrázku. To splňuje podobnou podmínku idempotence r² = r a lze jej považovat za zobecnění projekční mapy. Obrazu zatažení se říká zatažení původního prostoru. Zatažení, které je homotopický k identitě se označuje jako a zatažení deformace. Tento termín se také používá v teorii kategorií k označení jakéhokoli rozděleného epimorfismu.
• The skalární projekce (nebo rozhodné) jednoho vektor do jiného.
• v teorie kategorií, výše uvedený pojem kartézského součinu množin lze zobecnit na libovolný Kategorie. The produkt některých objektů má a kanonická projekce morfismus na každý faktor. Tato projekce bude mít mnoho podob v různých kategoriích. Projekce z kartézský součin z sady, topologie produktu z topologické prostory (což je vždy surjektivní a otevřeno ), nebo z přímý produkt z skupiny atd. Ačkoli tyto morfismy jsou často epimorfismus a dokonce i surjektivní, nemusí být.

Další čtení

• Thomas Craig (1882) Pojednání o projekcích z Michiganská univerzita Historická matematická sbírka.