Rodový počet - Rod calculus

Rodový počet nebo výpočet tyče byl mechanickou metodou algoritmické výpočet s počítací tyče v Číně od Válečné státy na Dynastie Ming než byly počítací tyče nahrazeny pohodlnějšími a rychlejšími počitadlo. Rodový počet hrál klíčovou roli ve vývoji čínské matematiky do její výšky v roce Dynastie písní a Yuan Dynasty, které vyvrcholily vynálezem polynomiální rovnice až čtyř neznámých v díle Zhu Shijie.

Japonská počítací deska s mřížkami

Faksimile tyčového kamene z Encyklopedie Yongle

Hardware

Základním vybavením pro provádění prutového počtu je svazek počítací tyče a počítací deska. Počítací tyče jsou obvykle vyrobeny z bambusových tyčinek o délce asi 12 cm - 15 cm, průměru 2 mm až 4 mm, někdy ze zvířecích kostí nebo ze slonoviny a nefritu (pro obchodníky s dobrým podpatkem). Počítací deskou může být deska stolu, dřevěná deska s mřížkou nebo bez ní, na podlaze nebo na písku.

V roce 1971 čínští archeologové objevili balíček dobře zachovaných prutů pro počítání zvířecích kostí uložených v hedvábném pouzdře z hrobky v okrese Qian Yang v provincii Šan-si, datované do první poloviny roku Dynastie Han (206 př. N. L. - 8 n. L.). V roce 1975 byl objeven svazek bambusových počítacích tyčí.

V r Válečné státy, ačkoli nebyly nalezeny žádné archeologické artefakty dříve než západní dynastie Han (první polovina roku 2006) Dynastie Han; archeologové však objevili softwarové artefakty prutového počtu sahající až do Válečné státy ); vzhledem k tomu, že software pro výpočet počtu prutů musel být doprovázen hardwarem pro výpočet počtu prutů, není pochyb o tom, že počet prutů již vzkvétal během válčících států před více než 2200 lety.

Software

Klíčovým softwarem potřebným pro výpočet počtu tyčí byla jednoduchá 45 frázová poziční desítková multiplikační tabulka používaná v Číně od starověku, nazývaná stůl devět devět, které se naučily nazpaměť žáci, obchodníci, vládní úředníci i matematici.

Rodové číslice

Zobrazuji čísla

Dvě formy čínských číslic tyčí

Znázornění čísla 231 a možná zavádějící umístění prutu.

Tyčové číslice jsou jediným číselným systémem, který používá různé kombinace umístění jednoho symbolu k vyjádření jakéhokoli čísla nebo zlomku v desetinném systému. U čísel na místě jednotek každá svislá tyč představuje 1. Dvě svislé tyče představují 2 atd., Až 5 svislých tyčí, což představuje 5. U čísla mezi 6 a 9, a biquinary používá se systém, ve kterém vodorovná čára nad svislými čárami představuje 5. První řada je číslo 1 až 9 v číslech tyčí a druhá řada je stejná čísla v horizontální formě.

Pro čísla větší než 9, a desetinná soustava se používá. Tyče umístěné o jedno místo nalevo od místa jednotek představují desetinásobek tohoto počtu. Pro stovky lidí je vlevo umístěna další sada prutů, což představuje stokrát větší počet z tohoto počtu atd. Jak je znázorněno na sousedním obrázku, číslo 231 je znázorněno čísly tyčí v horní řadě, přičemž jedna tyč v místě jednotek představuje 1, tři tyče v místě desítek představují 30 a dvě tyče v místě stovek představují 200, s součet 231.

Při výpočtu obvykle na povrchu nebyla mřížka. Pokud jsou číslice tyče dvě, tři a jedna umístěny postupně ve svislé formě, existuje možnost, že dojde k jejich záměně za 51 nebo 24, jak je znázorněno ve druhé a třetí řadě sousedního obrázku. Aby nedocházelo k nejasnostem, jsou čísla na po sobě jdoucích místech umístěna ve střídavé vertikální a horizontální formě, přičemž jednotky jsou umístěny ve vertikální formě^[1] jak je znázorněno ve spodním řádku vpravo.

Zobrazování nul

v Rodové číslice, nuly jsou reprezentovány mezerou, která slouží jak jako číslo, tak jako zástupná hodnota. Na rozdíl od v Arabské číslice, neexistuje žádný konkrétní symbol představující nulu. Na sousedním obrázku je číslo nula znázorněno pouze mezerou.

Záporná a kladná čísla

Píseň matematici použili červenou k vyjádření kladných čísel a černou pro záporná čísla. Jiným způsobem je však přidat lomítko na poslední místo, aby se ukázalo, že číslo je záporné.^[2]

Desetinný zlomek

Matematické pojednání o Sunzi používalo metrologii desetinných zlomků. Jednotka délky byla 1 chi,

1 chi = 10 kunda, 1 kunda = 10 fen, 1 fen = 10 li, 1 li = 10 hao, 10 hao = 1 shi, 1 shi = 10 hu.

1 chi 2 kunda 3 fen 4 li 5 hao 6 shi 7 hu je položen na počítací desce jako

kde je jednotka měření chi.

Jižní dynastie Song matematik Qin Jiushao rozšířilo používání desetinných zlomků nad rámec metrologie. Ve své knize Matematické pojednání v devíti sekcích, formálně vyjádřil 1,1446154 dne jako

日

Označil jednotku slovem „日“ (den) pod ní.^[3]

Přidání

Přidání tyčového počtu 3748 + 289 = 4037

Rodový počet funguje na principu sčítání. Na rozdíl od Arabské číslice, číslice představované počítacími tyčemi mají aditivní vlastnosti. Proces přidávání zahrnuje mechanické posouvání tyčí bez nutnosti zapamatování si přídavná tabulka. Toto je největší rozdíl s arabskými číslicemi, protože nelze mechanicky spojit 1 a 2 dohromady do formy 3 nebo 2 a 3 dohromady do formy 5.

Sousední obrázek představuje kroky při přidávání 3748 k 289:

1. Umístete rozšířit 3748 v první řadě a přidat 289 ve druhém.
2. Vypočítejte od LEVÉHO po PRAVÝ, nejprve od 2 z 289.
3. Sejměte dva pruty zespodu a přidejte 7 nahoře, abyste vytvořili 9
4. Přesuňte 2 pruty shora dolů 8, jednu odneste dopředu na 9, která se stane nulou a nese 3, aby se vytvořila 4, odstraňte 8 ze spodní řady.
5. Přesuňte jeden prut z 8 v horní řadě na 9 ve spodní části, abyste vytvořili nosnou jednu k další hodnosti a přidejte jeden prut ke 2 prutům v horní řadě, abyste vytvořili 3 pruty, horní řada vlevo 7.
6. Výsledek 3748 + 289 = 4037

Tyče v augendu se během přidávání mění, zatímco tyče v dodatku dole „mizí“.

Odčítání

Bez půjčky

V situaci, kdy č výpůjčka je potřeba, stačí vzít počet prutů v subtrahend z minuend. Výsledkem výpočtu je rozdíl. Sousední obrázek ukazuje kroky odečtení 23 od 54.

Výpůjčka

V situacích, kdy je třeba si půjčit, například 4231–789, je třeba použít složitější postup. Kroky pro tento příklad jsou zobrazeny vlevo.

1. Umístěte minuendu 4231 nahoře, subtrahend 789 na dno. Vypočítejte zleva doprava.
2. Půjčte si 1 místo z tisíců na deset na místě stovek, minus 7 z řádku níže, rozdíl 3 se přidá k 2 nahoře a vytvoří 5. Sedm na dně se odečte, což ukazuje mezera.
3. Půjčte si 1 ze stovek, které opustí 4. 10 na desítkách místo minus 8 níže má za následek 2, které se přidají ke 3 nahoře do formy 5. Horní řada je nyní 3451, spodní 9.
4. Půjčte si 1 z 5 na desítkovém místě nahoře, které opouští 4. 1 vypůjčený z desítek je 10 na jednotkovém místě, odečte se 9, což má za následek 1, které se přidají na vrchol a vytvoří 2. Se všemi pruty v odečtený spodní řádek, 3442 v horním řádku je pak výsledkem výpočtu

Násobení

38x76 = 2888

al Uqlidis (952 nl) násobení, variace Sunziho násobení

Sunzi Suanjing podrobně popsal algoritmus násobení. Vlevo jsou kroky pro výpočet 38 × 76:

1. Umístete multiplikátor nahoře, multiplikátor dole. Vyrovnejte místo jednotek multiplikátoru s nejvyšším místem multiplikátoru. Uprostřed ponechejte prostor pro nahrávání.
2. Začněte počítat od nejvyššího místa multiplikátoru (v příkladu vypočítejte 30 × 76 a poté 8 × 76). Za použití násobilka 3 krát 7 je 21. Umístěte 21 do tyčí uprostřed, přičemž 1 je zarovnáno s desítkami místa multiplikátoru (na vrcholu 7). Potom 3krát 6 se rovná 18, místo 18, jak je znázorněno na obrázku. Když se 3 v multiplikátoru a úplně násobí, sundejte pruty.
3. Přesuňte multiplikátor o jedno místo doprava. Změňte 7 na vodorovnou formu, 6 na svislou.
4. 8 × 7 = 56, místo 56 ve druhé řadě uprostřed, přičemž jednotky jsou zarovnány s číslicemi vynásobenými v multiplikátoru. Vezměte 7 z multiplikátoru, protože byl multiplikován.
5. 8 × 6 = 48, 4 přidané k 6 z posledního kroku činí 10, přenášet 1. Sejměte 8 jednotek umístěných v multiplikátoru a 6 vzlétněte na místě jednotek multiplikátoru.
6. Součet 2380 a 508 uprostřed, což má za následek 2888: produkt.

Divize

Divize al-Uqlidis z 10. století

Sunziho divize 309/7 = 441/7

Al Khwarizmi Division of 825AD byl identický s algoritmem Sunzi Division

.

Divize Kushyar ibn Labban z 11. století, replika divize Sunzi

Animace vlevo ukazuje kroky výpočtu 309/7 = 441/7.

1. Umístěte dividendu 309 do střední řady a dělitele 7 do spodní řady. Ponechejte prostor horní řadě.
2. Přesuňte dělitele 7 o jedno místo doleva a změňte jej na vodorovný tvar.
3. Za použití Čínská násobilka a dělení, 30 ÷ 7 se rovná 4 zbytek 2. Umístěte kvocient, 4, do horní řady a zbytek, 2, do střední řady.
4. Přesuňte dělitel o jedno místo doprava a změňte jej na svislý tvar. 29 ÷ 7 se rovná 4 zbytek 1. Umístěte kvocient, 4, nahoře, přičemž dělitel ponechte na místě. Zbytek vložte v tomto kroku do prostřední řady na místo dividendy. Výsledkem je kvocient 44 se zbytkem 1

Sunziho algoritmus pro dělení byl přenesen in al Khwarizmi do islámské země z indických zdrojů v roce 825 nl. Kniha Al Khwarizmi byla přeložena do latiny ve 13. století, z algoritmu Sunziho dělení se později vyvinul Divize kuchyně v Evropě. Algoritmus dělení v Abu'l-Hasan al-Uqlidisi kniha 925AD Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi a v 11. století Kushyar ibn Labban je Zásady hinduistického zúčtování byly totožné s Sunzuovým dělícím algoritmem.

Zlomky

Pokud je v desítkové části dělení počtu desítek desetinná čárka zbytek, musí být zbytek i dělitel ponechány na místě s jedním na druhém. v Liu Hui poznámky k Jiuzhang suanshu (2. století př. N. L.) Se číslo nahoře nazývá „shi“ (实), zatímco číslo dole se nazývá „fa“ (法). v Sunzi Suanjing, číslo nahoře se nazývá „zi“ (子) nebo „fenzi“ (rozsvícený, syn zlomku) a číslo na spodní straně se nazývá „mu“ (母) nebo „fenmu“ (rozsvícený, matka zlomek). Fenzi a Fenmu jsou také moderní čínský název pro čitatel a jmenovatel, resp. Jak je znázorněno vpravo, 1 je zbytek čitatele, 7 je dělitel jmenovatele, tvoří zlomek 1/7. Kvocient rozdělení 309/7 je 44 + 1/7.Liu Hui použil mnoho výpočtů s zlomkem Haidao Suanjing.

Tato forma zlomku s čitatelem nahoře a jmenovatelem dole bez vodorovného pruhu mezi nimi byla přenesena do arabské země v knize 825AD al Khwarizmi přes Indii a používán 10. stoletím Abu'l-Hasan al-Uqlidisi a 15. století Džamšíd al-Káší "Aritematický klíč".

Přidání

sčítání zlomku tyčinkového počtu

1/3 + 2/5

• Umístěte dva čitatele 1 a 2 na levou stranu počítadla, dva jmenovatele 3 a 5 na pravou stranu
• Kříž vynásobte 1 s 5, 2 s 3 a získejte 5 a 6, nahraďte čitatele odpovídajícími součinovými produkty.
• Vynásobte dva jmenovatele 3 × 5 = 15, vpravo dole
• Přidejte dva čitatele 5 a 6 = 11 umístěné vpravo nahoře na počítací desce.
• Výsledek: 1/3 + 2/5 = 11/15

Odčítání

odečtení dvou zlomků zlomků

8/9 − 1/5

• Na levé straně počítací desky vložte číslici tyče pro čitatele 1 a 8
• Odložte tyče pro jmenovatele 5 a 9 na pravé straně počítadla
• Křížové vynásobení 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40, nahrazení odpovídajících čitatelů
• Vynásobte jmenovatele 5 × 9 = 45, vložte 45 vpravo dole na počítací desce, vyměňte jmenovatele 5
• Odečtěte 40 - 9 = 31, vpravo nahoře.
• Výsledek: 8/9 − 1/5 = 31/45

Násobení

násobení zlomku prutového počtu

31/3 × 52/5

• Uspořádejte počítací tyče pro 31/3 a 52/5 na počítací desce ve formátu shang, shi, fa.
• časy shang fa přidat do shi: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• shi vynásobený shi: 10 × 27 = 270
• fa vynásobeno fa: 3 × 5 = 15
• shi děleno fa: 31/3 × 52/5 = 18

Nejvyšší společný faktor a redukce zlomků

nejvyšší společný faktor

Algoritmus pro nalezení nejvyššího společného faktoru dvou čísel a redukčního odporu byl stanoven v Jiuzhang suanshu Nejvyšší společný faktor se zjistí postupným dělením zbytky, dokud nejsou poslední dva zbytky identické. Animace vpravo ilustruje algoritmus pro nalezení nejvyššího společného faktoru 32,450,625/59,056,400 a redukce zlomku.

V tomto případě je hcf 25.

Vydělte čitatele a jmenovatele 25. The redukovaný zlomek je 1,298,025/2,362,256.

Interpolace

π ve zlomku

Kalendář a matematik He Chengtian (何承天 ) použitý zlomek interpolace metoda zvaná „harmonizace dělitele dne“ (调 日 法 ) získat lepší přibližnou hodnotu než ta stará iterativním přidáním čitatelů a jmenovatelů „slabší“ zlomek se „silnějším zlomkem“.^[4] Zu Chongzhi je legendární π = 355/113 lze získat metodou He Chengtian^[5]

Systém lineárních rovnic

systémové rovnice

Kapitola osm Obdélníková pole Jiuzhang suanshu poskytl algoritmus pro řešení Systém lineárních rovnic podle způsob eliminace:^[6]

Problém 8-1: Předpokládejme, že máme 3 svazky obilovin nejvyšší kvality, 2 svazky obilovin střední kvality a svazek obilovin nízké kvality s kumulativní hmotností 39 dou. Máme také 2, 3 a 1 svazky příslušných obilovin ve výši 34 dou; máme také 1,2 a 3 svazky příslušných obilovin, celkem 26 dou.

Najděte množství špičkových, středních a nekvalitních obilovin. V algebře lze tento problém vyjádřit ve třech systémových rovnicích se třemi neznámými.

${displaystyle {egin {cases} 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26end {cases}}}$

Tento problém byl vyřešen v Jiuzhang suanshu s počítacími tyčemi vyloženými na počítací desce v tabulkovém formátu podobném matici 3x4:

kvalitní	levý sloupec	středový sloup	pravý sloupec
horní
střední
nízký
shi

Algoritmus:

• Vynásobte střední sloupec číslem nejvyšší kvality pravého sloupce.
• Opakovaně odečtěte pravý sloupec od středního sloupce, dokud horní počet středního sloupce = 0
• vynásobte levý sloupec hodnotou horního řádku pravého sloupce
• Opakovaně odečtěte pravý sloupec od levého sloupce, dokud horní počet levého sloupce = 0
• Po aplikaci výše uvedeného eliminačního algoritmu na zmenšený středový sloupec a levý sloupec byla matice zmenšena na trojúhelníkový tvar:

kvalitní	levý sloupec	středový sloup	pravý sloupec
horní
střední
nízký
shi

Množství na svazku obilovin nízké kvality${displaystyle {frac {99} {36}} = 2 {frac {3} {4}}}$

Z čeho snadno zjistíte množství jednoho svazku špičkových a středně kvalitních obilovin:

Jeden svazek vysoce kvalitních obilovin = 9 dou ${displaystyle {frac {1} {4}}}$

Jeden svazek středních obilovin = 4 dou ${displaystyle {frac {1} {4}}}$>

Extrakce druhé odmocniny

Algoritmus pro extrakci druhé odmocniny byl popsán v Jiuzhang suanshu as menším rozdílem v terminologii v Sunzi Suanjing.

extrakce druhé odmocniny 234567 v Sunzi Suanjing

extrakce odmocniny od Kushyara ibn Labbana

Animace ukazuje algoritmus pro extrakci prutového počtu aproximace druhé odmocniny ${displaystyle {sqrt {234567}} přibližně 484 {frac {311} {968}}}$ z algoritmu v kapitole 2, problém 19 Sunzi Suanjing:

Nyní je čtvercová plocha 234567, najděte jednu stranu čtverce.^[7]

Algoritmus je následující:

• Nastavte 234567 na počítací desce, v druhé řadě shora, pojmenované shi
• Nastavte značku 1 na pozici 10 000 ve 4. pojmenované řadě xia fa
• Odhadněte první číslici druhé odmocniny, která má být počítána číslem prutu 4, vložte do horní řady (shang) pozice stovek,
• Znásobte shang 4 s xiafa 1, vložte produkt 4 do 3. řádku s názvem fang fa
• Násobit shang s fang fa odečíst produkt 4x4 = 16 od shi: 23-16 = 7, zůstane číslice 7.
• zdvojnásobit fang fa 4, aby se stal 8, posuňte o jednu pozici doprava a po přesunutí doprava změňte svislou 8 na vodorovnou 8.
• Hýbat se xia fa dvě pozice vpravo.
• Odhad druhé číslice shang jako 8: vložte číslici 8 na desáté místo do horní řady.
• Násobit xia fa s novou číslicí shang, přidat do fang fa

.

• 8 volání 8 = 64, odečtěte 64 od číslice horního řádku „74“, přičemž jeden prut ponecháte na nejvýznamnější číslici.
• zdvojnásobte poslední číslici fang fa 8, přidejte k 80 = 96
• Hýbat se fang fa96 jedna pozice vpravo, změnit konvenci; přesunout xia fa „1“ dvě pozice vpravo.
• Odhad 3. číslice shang být 4.
• Znásobte novou číslici shang 4 s xia fa 1, v kombinaci s fang fa udělat 964.
• odečíst postupně 4 * 9 = 36,4 * 6 = 24,4 * 4 = 16 od shi, přičemž 311
• zdvojnásobte poslední číslici 4 z fang fa do 8 a sloučit s fang fa
• výsledek ${displaystyle {sqrt {234567}} přibližně 484 {frac {311} {968}}}$

Matematik z dynastie Severní Song Jia Xian vyvinul aditivní multiplikativní algoritmus pro extrakci druhé odmocniny, ve kterém nahradil tradiční „zdvojnásobení“ „fang fa“ přidánímshang číslice do fang fa číslice, se stejným účinkem.

Extrakce krychlového kořene

Jia Xianova aditivní multiplikativní metoda kubické extrakce kořenů

Jiuzhang suanshu svazek iv „shaoguang“ poskytl algoritmus pro extrakci kubického kořene.

〔一九〕 今 有 積 一百 八十 六萬 八百 六十 七尺。 問 為 立方 幾何？ 答曰 ： 一百 二十 三尺。

problém 19: Máme kubickou chi 1860867, jaká je délka strany? Odpověď: 123 chi.

Matematik z dynastie Severní Song Jia Xian vynalezl metodu podobnou zjednodušené formě Hornerovo schéma pro extrakci kubického kořene. Animace vpravo ukazuje algoritmus Jia Xiana pro řešení úlohy 19 v Jiuzhang suanshu vol 4.

${displaystyle {sqrt [{3}] {(}} 1860867) = 123}$

Polynomiální rovnice

Algoritmus „Hornera“ Qin Jiushao

Matematik z dynastie Severní Song Jia Xian vynalezl Hornerovo schéma pro řešení jednoduché rovnice 4. řádu formuláře

${displaystyle x ^ {4} = a}$

Matematik z dynastie Jižní Song Qin Jiushao vylepšená Hornerova metoda Jia Xian pro řešení polynomiální rovnice až do 10. řádu. Následuje algoritmus pro řešení

${displaystyle -x ^ {4} + 15245x ^ {2} -6262506,25 = 0}$ v jeho Matematické pojednání v devíti sekcích díl 6 problém 2.^[8]

Tato rovnice byla uspořádána zdola nahoru s počítacími tyčemi na počítací desce ve formě tabulky

Algoritmus:

1. Uspořádejte koeficienty do tabulky, konstantní na shi, koeficient x na shang lian, koeficient X ^ 4 na yi yu; čísla seřiďte na jednotkovou hodnost.
2. Advance shang lian dvě řady
3. Postavte se o tři řady
4. Odhadovaná změna = 20
5. ať xia lian = shang * yi yu
6. ať fu lian = shang * yi yu
7. sloučit fu lian s shang lian
8. nechť fang = shang * shang lian
9. odečíst shang * fang od shi
10. přidat shang * yi yu do xia lian
11. zatáhnout xia lian 3 řady, zatáhnout yi yu 4 řady
12. Druhá číslice shangu je 0
13. sloučit shang lian do tesáku
14. sloučit yi yu do xia lian
15. Přidejte yi yu do fu lian, odečtěte výsledek od fang, nechť je výsledek jmenovatelem
16. najděte nejvyšší společný faktor = 25 a zjednodušte zlomek ${displaystyle {frac {32450625} {59056400}}}$
17. řešení ${displaystyle x = 20 {frac {1298205} {2362256}}}$

Tian Yuan shu

Tian yuan shu v Li Zhi:Yigu yanduan

Matematik z dynastie Yuan Li Zhi vyvinul prutový počet do Tian juan šu

Příklad Li Zhi Ceyuan haijing vol II, problém 14 rovnice jedné neznámé:

${displaystyle -x ^ {2} -680x + 96000 = 0}$

元

Polynomiální rovnice čtyř neznámých

faksimile Zhu Shijie: Jade Mirror of Four Unknowns

Matematik Zhu Shijie dále rozvinutý tyčový počet tak, aby obsahoval polynomiální rovnice 2 až čtyř neznámých.

Například polynomy tří neznámých:

Rovnice 1:${displaystyle -y-z-y ^ {2} * x-x + xyz = 0}$

太

Rovnice 2:${displaystyle -y-z + x-x ^ {2} + xz = 0}$

Rovnice 3:${displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} + x ^ {2} = 0;}$

太

Po postupné eliminaci dvou neznámých byly polynomiální rovnice tří neznámých redukovány na polynomiální rovnici jedné neznámé:

${displaystyle x ^ {4} -6x ^ {3} + 4x ^ {2} + 6x-5 = 0}$

Vyřešeno x = 5;

Viz také

• Čínská matematika
• Počítání prutů

Reference

• Lam Lay Yong (丽蓉 丽蓉) Ang Tian Se (洪 天赐), Fleeting Footsteps, World Scientific ISBN  981-02-3696-4
• Jean Claude Martzloff, Historie čínské matematiky ISBN  978-3-540-33782-9